基于改進Landweber算法的ECT圖像重建?

嚴春滿，穆 哲，張道亮，陸根源

(1.西北師范大學物理與電子工程學院，蘭州730070；2.甘肅省智能信息技術與應用工程研究中心，蘭州730070)

電容層析成像(Electrical Capacitance Tomography，ECT)技術具有無輻射、響應速度快、結構簡單、非接觸等優點，因而在多相流檢測領域獲得了廣泛應用。ECT系統主要包括傳感器、數據采集及圖像重建單元，其中圖像重建較為關鍵，是系統能否成功應用到工業實踐上的關鍵技術之一[1]。

圖像重建的主要原理是根據所測得的電極對之間的獨立電容值，計算出相應的靈敏度矩陣，再通過一定的圖像重建算法，重建出管道內流體截面圖形[2-5]。依據算法主要原理，可將圖像重建算法大致分為三類:直接法、迭代法及智能算法。線性反投影算法(LBP)是直接法中較典型的代表[6]，該算法采用靈敏度矩陣的轉置代替逆矩陣進行成像，具有計算量小、速度快等優點，但重建圖像的質量不理想。迭代法主要包括Landweber算法[7]、共軛梯度算法(CG)[8]等。迭代類算法相對于非迭代類算法具有較好的成像質量，但是隨著迭代步數的增加，算法的實時性受到一定的影響。智能算法主要包括神經網絡算法等[9-10]。由于神經網絡可以建立輸入與輸出數據的非線性映射關系，因此可以應用于求解ECT圖像重建的問題中，然而神經網絡需要大量的訓練樣本，且由于多相流的復雜性，訓練樣本的獲取并不容易。

在各類算法中，Landweber算法在重建質量及速度方面具有較好的折衷性，該算法相對于直接算法有著較高的成像精度，且算法復雜度不高。經典Landweber算法的主要缺點是:存在著半收斂問題，針對不同流型為了獲得最佳重建圖像所需要的迭代次數并不一致，對一些復雜流型，為了得到較為理想的重建圖像質量所需要的迭代步數往往更大，進而導致圖像重建速度較慢[11]。針對算法的主要缺點，文獻[12]通過在殘差P處添加參數β構造一個新的算子P′，以獲取算法的穩定收斂特性，但算法針對不同流型需要設定不同的參數，重建圖像的精度不高。文獻[13]在經典Landweber的基礎上引入Runge_Kutta優化算法，并推導出解決電容層析成像問題的數學模型，有效提高了重建圖像的質量。文獻[14]提出了改進初值的方法，即引入了阻尼算子并添加一個帶參數的單位矩陣，通過參數調節以提高重建圖像的質量。文獻[15]通過同倫攝動推導出二階迭代公式并在公式上添加全變差正則項，通過正則化思想提高了重建圖像的質量，但依然沒有有效解決算法半收斂的問題。

本文在文獻[15]的基礎上，基于同倫攝動方法推導出二階迭代公式，并針對二階迭代公式存在的半收斂問題，通過添加約束因子使譜半徑小于1，以有效提高算法的收斂性。為驗證改進算法的收斂性及有效性，選擇 LBP、Tikhonov、HPIM、原 Landwber算法及四種常見的流型完成了圖像重建的對比實驗，并對重建圖像的主觀質量及客觀指標做了對比分析。重建圖像質量評價的客觀指標選取較常用的相關系數及相對誤差。實驗結果表明，改進算法在重建圖像的主觀質量上更接近原始流型，在較少迭代次數的前提下，重建圖像的相對誤差及相關系數優于其他對比算法，實驗結果驗證了改進算法的收斂性及有效性。

1 改進的Landweber圖像重建算法

1.1 Landweber算法基本原理

Landweber迭代算法是由最速下降法演變而來的，它以最小二乘準則為主要依據，是ECT應用領域較為普遍的一種方法。算法的主要原理是在數據殘差的負梯度方向上對解進行修正。根據最優化理論，由式C＝SG得到ECT圖像重建的極小化目標:

式中:S為靈敏度分布矩陣，G為歸一化介電常數分布向量，C為歸一化電容向量。

根據向量范數定義，目標函數可寫為:

按照最速下降法的原理，將負梯度方向作為優化搜索的方向，則ECT圖像重建的迭代公式為:

式中:?k為最優步長。

1.2 改進的Landweber算法

ECT系統中解決圖像重建問題較有效的方法是非線性最小二乘法，即解決式(5)所示的最優化問題:

式中:δ為介電常數分布，Uα為帶有噪聲的測量電容值，其中α＞0為噪聲等級。

式(5)相應的歐拉方程為:

根據同倫思想，構造不動點同倫函數H，R×[0，1]→R且滿足:

式中:p∈[0，1]為嵌入同倫參數，v為方程(7)的解，δ0為介電常數分布的初始值。

假設式(7)的解可以展開成關于p的冪級數:

當p→1時，式(7)與式(6)等價，則可得到式(6)的近似解:

將式(7)中的F(v)在δ0處進行泰勒級數展開并忽略高階項，可以得到:

將式(8)代入式(10)可得到:

按照p的不同冪次進行同類項合并得到:

根據以上形式，構造兩種迭代形式:

式(18)為經典的Landweber算法迭代公式，而式(19)則是二階近似Landweber迭代算法(Homotopy Perturbation Iterative Method，HPIM)，即同倫攝動反演方法。

根據以上分析可知式(6)的解可進一步寫為:

令 R＝I-F′(δ0)?F′(δ0)為殘差，僅當殘差的譜半徑ρ(R)＜1時才能保證級數收斂，而級數半收斂的主要原因為 F′(δ0)?F′(δ0)不滿秩，為解決半收斂問題，利用 F′(δ0)?F′(δ0)的對稱性與非負定性，構造新算子 R′＝μ[I-F′(δ0)?F′(δ0)]，令 ρ(R′)＝ μ‖[I-F′(δ0)?F′(δ0)]‖，ζ＝ρ(R)＝ ‖[I-F′(δ0)?F′(δ0)]‖則:

根據式(21)可見，譜半徑ρ(R)存在著大于1的可能，從而影響算法的收斂，因此我們在譜半徑處加上約束因子μ，使得ρ(R′)＜1，構造新的迭代公式為:

本文算法具體步驟如下所示:

(1)預處理

①對測量所得的電容值、靈敏度矩陣進行歸一化處理；②由LBP算法計算出初始介電常數分布向量；③由預處理實驗獲取各流型的最優迭代步數、確定約束因子μ；

(2)根據式(22)進行迭代運算；

(3)判斷是否滿足迭代終止條件，若滿足則轉至步驟(4)否則返回步驟(2)繼續迭代。

(4)輸出重建結果。

2 實驗及分析

為驗證改進算法的收斂性及有效性，本文以兩相流為研究對象，選取較經典的 LBP、Tikhonov、Landweber、HPIM與改進算法完成對比實驗，其中Landweber、HPIM屬于迭代類算法。實驗中選取四種常見兩相流流型:泡流、核心流、層流以及環流(并依次標定為流型 1、2、3、4)，通過有限元分析軟件計算獲得電容值及靈敏度矩陣，并完成ECT圖像重建。實驗中，用64×64的網格將管道截面剖分為4 096個單元，其中3 228個成像單元為該截面的有效區域。重建圖像的客觀評價指標選取較為常用的相對誤差及相關系數。

式(23)為相對誤差評價指標公式，式(24)為相關系數評價指標公式。式中g表示通過圖像重建算法獲得的介電常數分布，為管道內真實介電常數分布，分別為g和的平均值，D為g和的維度。依據計算公式，相對誤差越小表示重建介電常數分布越接近原始介電常數分布，而相關系數表明原始介電常數分布和重建介電常數分布在統計上的相似性，相關系數越大表示二者越相似，反映重建圖像(介電常數分布)質量越高。

2.1 重建圖像客觀指標對比實驗

表1、表2為各對比方法重建的圖像與原始圖像的相對誤差以及相關系數。其中，經典Landweber算法和HPIM算法對流型1、3及流型4迭代次數均為100次，對流型2的迭代次數為200次，本文算法對流型1、2、3以及流型4迭代次數分別為:40次、50次、4次以及35次。

表1 相對誤差

表2 相關系數

分析表1與表2數據可見，對于所選四種流型，本文算法的相對誤差以及相關系數均優于其他對比算法，且迭代次數要明顯少于迭代類算法中的Landweber及HPIM算法。對實驗中的四種流型，HPIM算法和Landweber算法在相同迭代次數下對于流型3，所得相對誤差以及相關系數差別較小；對流型1、2、4，HPIM 算法略優于 Landweber算法。 在迭代類算法中，本文算法在相對誤差及相關系數上均有改善，且對于流型2、3、4，在迭代次數較少的前提下，相對誤差的下降與相關系數提高均較為明顯；相對于LBP算法及Tikhonov算法，本文算法的相對誤差以及相關系數均有明顯改善。

實驗結果驗證了本文算法的有效性，但同時也揭示了迭代次數對算法的影響問題。為進一步驗證本文算法的收斂性，我們測試了不同迭代次數對重建圖像質量的影響。限于篇幅，這里選取環流(流型4)的實驗數據，并將實驗結果繪制為圖1與圖2所示的對比曲線。

圖1 環流(流型4)相關系數對比

由圖1、圖2可見，在初次迭代時(迭代步數為1)，本文算法與Landweber算法、HPIM算法在相關系數和相對誤差上幾乎相同，但是，隨著迭代次數的增加，本文算法能以較快的速度收斂，在迭代35次時就能達到較好的客觀評價指標，相關系數高于其他兩種對比算法，同時相對誤差低于其他兩種對比算法。

圖2 環流(流型4)相對誤差對比

2.2 重建圖像主觀質量對比

為進一步驗證本文算法重建圖像的有效性，我們將對比算法所獲取的最佳重建圖像在表3中做展示。表中第1行為原始流型截面圖，第2至6行分別為:LBP、Tikhonov、Landweber、HPIM 以及本文算法的重建流型截面圖。

表3 重建圖像主觀質量對比

由表3重建圖像的主觀結果可見，LBP算法和Tikhonov算法重建圖像發生形變、區分度不佳。原Landweber算法和HPIM算法的重建圖像在形狀上均大體接近原始流型，主觀對比略有差別。相對于其他算法，本文算法能夠以較高精度對場域中的各種流型進行重建，尤其是對流型2、3、4，本文算法能夠較清楚的重建場域內物體的位置信息和邊緣信息，重建圖像的物體區分度較好、分辨率較高，且更加接近原始流型。

3 結論

本文對比分析了ECT系統常見的三類圖像重建算法，并以Landweber算法為研究重點，闡述了經典Landweber算法的基本原理，分析了影響算法收斂性的主要因素，并針對原算法的半收斂問題，通過同倫攝動方法推導出二階迭代公式。為解決二階迭代公式中譜半徑影響算法收斂的問題，通過添加約束因子，獲得一種全收斂的改進Landweber算法。為驗證改進算法的收斂性及有效性，本文以兩相流為研究對象，選取四種常見流型:泡流、核心流、層流以及環流，通過較經典的 LBP、Tikhonov、HPIM、Landweber與改進算法完成對比實驗。實驗結果證明了本文算法的收斂性及有效性，相較于迭代類算法中的HPIM、Landweber算法，在較少迭代次數的前提下，本文算法可獲得更高的圖像重建精度。