尋問題根源，覓解題佳徑

梁淑穎

摘 要：文章通過分析學生在解決“分段計費”這一類問題時出現的錯誤，在尋因的過程中反思日常教學中教師在教學觀念和教學行為方面存在的誤區，以此提出從例題重構、幾何直觀、題組對比三方面入手，對?“分段計費”這一類問題的探討與再思考。

關鍵詞：“分段計費”;錯因分析;再思考

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 收稿日期：2019-03-05 文章編號：1674-120X（2019）24-0069-02

一、“分段計費”問題的錯因分析

在一次五年級數學模擬考中，出現了這樣一道“分段計費”題目：某校五（1）班42名師生照相合影，給每人印一張照片，一共需要付多少錢？[合影定價為30元（含5張照片），每加印一張2元]批改后發現：全班42人，其中有10人出現了錯誤，得分率是76.1%。這道題目與書本P18 練習題中第7小題類型相同，表達方式也相似，但結果卻不盡如人意。這是為什么呢？

我翻閱了學生的試卷，主要有以下的錯誤如圖一。

從表面上看，學生的錯法是五花八門，探其根源卻都是在理解題意上出現了偏差。

而在《義務教育教科書教師教學用書（數學）五年級上冊》第26頁的編寫意圖中提到，例題9意在“結合現實生活中乘出租車付費問題，進一步提升學生解決問題的能力，經歷解決問題的過程，初步體會函數思想”。教學建議中也提示可以抓住“行駛里程和收費標準”來理解題意，借助觀察“行駛里程和車費之間的聯系及變化”滲透函數思想。由此可見，“理解題意”是解決這類題型的重中之重。

但在日常教學中，我們卻發現教師在引導學生解決這一類問題時，卻存在以下誤區。

（一）重視對“分段”的理解，忽視對“整體”的把握

這一類的題目都統稱為分段計費，因為它們是分段函數的雛形，實際上就是“對于自變量x的不同的取值范圍，有著不同的解析式的函數。它是一個函數，而不是幾個函數”。有的教師被這種類型的名稱固定了自己的思維，在教學中過分地強調分段，而忽略了對“一個函數”這個整體的把握，導致學生對分段一詞非常熟悉，但對于什么時候需要分段，對誰進行分段卻非常模糊，甚至出現為分而分的現象。

（二）只按例題套路走，忽視舉一反三

題目如下：

（1）打固定電話每次前3分鐘內收費0.3元，超過3分鐘，每分鐘收0.1元（不足1分鐘按1分鐘計算）。媽媽一次通話8分15秒，她這次通話費用是多少？

（2）打固定電話每次前3分鐘內，每分鐘收費0.3元，超過3分鐘，每分鐘收0.1元（不足1分鐘按1分鐘計算）。媽媽一次通話8分15秒，她這次通話費用是多少？

從題目上看，第一小題與例題基本相似，而第二小題則出現了微小的變化。但是呈現題目時，全班42名學生中有5名學生認為這兩道題題目是一樣的，有3名學生認為不太清晰，也就是有接近20%的學生因為題目的表述出現了微小的變化而導致出錯。學生認為“與例題不一樣”而造成錯誤，探其根源，是對分段計費中自變量x的變化把握不到位，只關注與例題相同的地方，而忽視了舉一反三與深入的研究。有的學生甚至對解答這種類型的題目的方法是“死記硬背”，稍有變化就無從下手。

（三）扼殺學生個性思考

從教材“分析與解答”的呈現中我們不難發現，這種類型的題目還可以用假設法進行思考——先假設全路程的單價都相同再加上前一部分少算的部分。實際上無論用哪種方法，它的本質都是以“一個函數”為整體進行研究，只是對于自變量x的取值進行了微調。但在實際教學中我們發現，教師對于這種解題方法是粗略帶過或視而不見，而學生對于這種方法也是一知半解，這扼殺了學生的個性思考。

面對這樣的問題，我們又該如何解決呢？

二、“分段計費”問題的再思考

（一）例題重構，從特殊到一般，幫助學生理解題意

在數學學習的過程中，從特殊開始，通過特殊的情況探討解題的思路或過程，再在一般的情況下得出結論，這是小學數學學習中經常使用的歸納法。借助這種方法，有利于幫助學生在第一次接觸這種“分段計費”的問題時弄清楚題意，找準“整體”。因此，例題可以重構如下：

出租車收費標準： 3km以內7元，超過3km，每千米1.5元（不足1km按1km計算）

（1）行程2km，乘客要付多少錢？（2）行程2.3km，乘客要付多少錢？

（3）行程3km，乘客要付多少錢？（4）行程5km，乘客要付多少錢？

（5）行程6.3km，乘客要付多少錢？（6）行程8.7km，乘客要付多少錢？

通過不斷變化的總里程數，教師幫助學生重點理解“3km以內7元”和“超過3km”的具體含義。同時在找準整體也就是總里程的基礎下，結合具體的情境引導學生進一步分析什么時候要分段，什么時候不需要分段，以此順理成章地引出“分段點”。這樣，通過從特殊到一般的層層深入，教師能逐步幫助學生理解題意，初步建立解決這一類問題的審題步驟。

（二）借助幾何直觀，幫助學生建立分段函數的雛形

以上述例題為例，可以把題目簡化成以下的線段圖，幫助學生結合圖形進一步理解整體與分段點，從圖形中理解分段點的作用如圖二。

還可以利用函數圖形展現分段計費的結果，讓學生初步、直觀感知分段函數的圖像，再次體會“整體”與“分段點”的關系，結合圖像理解題意如圖三。

車費/元

里程/km

（三）歸類分析，明確本質，舉一反三

筆者把此類問題做了如下的分類與設計：

題組一：

（1）某市自來水公司為鼓勵節約用水，采取按月分段計費的方法收取水費。12噸以內的每噸2.5元;超過12噸的部分，每噸3.8元。小云家上月用水量為17噸，應繳水費多少元？

（2）某市自來水公司為鼓勵節約用水，采取按月分段計費的方法收取水費。12噸以內25元;超過12噸的部分，每噸3.8元。小云家上月用水量為17噸，應繳水費多少元？

題組二：某市居民用電按階梯收費，收費標準如表一。

（1）小明家上月用電230千瓦時，電費是多少？

（2）小華家上月用電260千瓦時，電費是多少？

（3）李強家上月用電420千瓦時，電費是多少？

說明：本題改編自《義務教育教科書教師教學用書（數學）五年級上冊》P38 第（4）小題。此題組包含多種類型，一是不需要進行分段計費，二是要進行兩段或多段的分段計費。意在強化學生對信息的提取能力，以及對分段點的判斷能力，學生要分幾段進行針對性的練習。

題組三： 郵局印刷品收費如表二。

（1）小明寄一本重540克的書給本埠同學，應付郵費多少元？

（2）小華寄一本重540克的書給外埠同學，應付郵費多少元？

說明：本題取材于學生日常生活的情境，意在發揮線段圖的作用，凸顯數形結合在解決此類型題目時的價值。

題組四：某停車場的收費標準如下：停車2小時以內（含2小時）收費10元，超過2小時部分，每0.5小時收費3.5元，不滿0.5小時按0.5小時計算。

（1）王叔叔在這個停車場停車3.2小時，他要繳停車費多少元？

（2）王叔叔在這個停車場停車3.8小時，他要繳停車費多少元？

“分段計費”這一類的問題雖然千變萬化，但其實萬變不離其宗，教師從例題重構、幾何直觀、題組對比三方面入手，有助于學生理解題意，更好地解決 “分段計費”這一類的問題。俗話說“教無定法”，作為教師，我們需放下身段，善于從學生的點滴錯誤中尋找根源，并以此回頭審視我們的教學，不斷摸索最適合的方法，以促進學生的發展。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]陶 強.分段函數：“分身”不“分心”解決方法研究[J].教育界（綜合教育研究版），2018（1）：132-133.