G_t/H₂*/m/k隊列模型流失人數的高負荷極限

王青青 牛鑫

摘 要 本文研究有限等待空間下帶有顧客流失的Gt/H2*/m/k隊列模型，結合隨機過程極限和概率測度收斂，應用連續映射等方法得到了高負荷條件下流失人數的極限表達。

關鍵詞 有限等待空間 多服務隊列 流失人數

中圖分類號：TM911文獻標識碼：A

0引言

排隊現象在日常生活中隨處可見，由于等待空間有限造成的顧客流失也很頻繁 Whitt在G/GI/n/m隊列模型的擴散中對H2*服務時間分布的Z隨機過程極限做了討論。Liu Yu-nan，Whitt對Gt/M/st+GI隊列模型用流體逼近的方法對參數隨時間變化情況進行了研究。James Dong， Whitt結合生滅過程對周期隊列的平穩分布進行了研究。本文在此基礎上對到達率隨時間變化的Gt/H2*/m/k模型進行研究。

1 Gt/H2*/m/k隊列模型高負荷極限

假設系統的到達過程由2個獨立到達源構成，且各自到達率隨均隨時間變化。有m個服務臺，k個等待空間，服務時間分布從由概率為p的指數分布和概率為1-p的零點集分布構成的H2*分布，設到達過程與服務過程是相互獨立的，且每個服務臺平均服務率為，設是一系列非負隨機變量，表示系統中第k個和第k-1個顧客的到達間隔時間，表示第i個服務臺第k個顧客接受服務的時間，則有

其中，是系統中第k個顧客的到達時間，是第i個服務臺前k個顧客累積服務時間。

構造2個到達率隨時間變化的到達過程，

是隨機到達計數過程滿足FCLT，，是隨時間變化的累積到達率函數，滿足

是隨時間變化的到達率函數，在有限區間內可積。

對到達率取均值，則

令，是第1，2類顧客到達計數過程，是顧客離去計數過程，則有

每個服務臺離去的顧客數為：

整個系統離去的顧客數為：

設是任意t時刻的隊長，是[0，t]內流失的顧客數。

對以上變量，以n作為指標，用n刻畫時間，用刻畫空間，表示不超過t的最大整數且，則有：

其中

2主要結論

定理1：（Gt/H2*/m/k隊列模型流失人數的高負荷極限）對于Gt/H2*/m/k序列模型，令初始狀態為空，設，，且，假設在空間上，有

且

則有

其中

參考文獻

[1] Whitt，W. A diffusion approximation for the? queue [J].Operations Research，2004，52（06）：922-941.

[2] Liu Yunan，Whitt W. Many-server heavy-traffic limit for queues with time-varying parameters[J].The Annals of Applied Probability，2014，24（01）：378-421.

[3] Dong，J&W.Whitt.Using a birth-and-death process to estimate the steady-state distribution of a periodic queue[J].Naval Research Logistics，2015，62（08）：664-685.

[4] W Whitt.Stochastic Process Limits， Springer[M].New York： Spriner，2002.

[5] Billingsley，P.Convergence of Probability Measures[M].New York：Second edition，Wiley，1999.