境趣相生 融情育智 營造鮮活的數學課堂

汲淼

教學內容：人教版小學數學四年級上冊“莫比烏斯帶”。

教學目標：

1.在梳理直線、平面關系的基礎上，初步感知雙側曲面和單側曲面的特點，感受單側曲面的神奇。

2.在動手操作中培養學生的空間觀念，在猜測驗證中激發學生的創新思維。

3.在有效的數學學習和實踐操作中感受數學學科本身的魅力價值。

教具準備：多媒體課件、剪刀等。

學具準備：長方形紙條三根，剪刀、雙面膠、彩筆。

教學流程：

一、生活情境導入

師：孩子們，哈爾濱最有特色的季節是——（冬天。）這個季節里最有特色的運動就是滑雪了。滑雪不僅能讓人感受到冰雪世界里運動的樂趣，雪痕還能給人們帶來無限的遐想……看，這就是一片剛剛滑過的雪面，說說你都發現了些什么。（有好多線。有直直的線。有的線是彎彎曲曲的……）

師：看來我們生活中到處都有各種各樣的線，今天老師就和同學們一起走進線與面的世界。（板書：線與面。）

二、驗證平行

師：誰說說“兩條直線在同一平面內有哪些位置關系”？（平行和相交。）誰來說說平行線的概念是什么？（鞏固平行。）老師注意到了，他特意強調了在同一平面內。（板書：平面。）看來同一平面這個特定的范圍對于平行線非常重要。看看手中長方形紙條上的兩條直線，想一想有什么好方法來驗證它們是否平行。

學生匯報：

1.用直尺和三角板，利用平移的方法來驗證平行。

2.通過測量兩條直線之間的距離，發現它們不相等，從而判定這兩條直線不平行。

師：看來他手中長方形紙條上的兩條直線不平行，那它們一定會（相交。）可是你們看見它們相交了嗎？（延長后就會相交。）看來延長是驗證這兩條直線是否平行的好方法，可是延長的結果只能靠我們的想象而不能真實地看到，能不能只用手中的長方形紙條，而不借助其他工具來驗證這兩條直線是否平行呢？想一想，動手試一試……

學生匯報：

1.用折紙的方法看兩條直線是否重合。重合就平行。

2.借助燈光看對折后的兩條線是否重合。

3.把手中的紙條卷起來，先讓一條線首尾相連，看另一條線，如果也首尾相連就是平行。

三、認識曲面

1.認識雙側曲面。

師：看來平面上的兩條直線的位置關系，我們也可以把它卷起來，做成一個曲面來幫我們驗證。（板書：曲面。）來讓我們把這個紙環粘起來，在粘的時候要注意：內對外，外對內。邊粘邊想一想手中的紙環有幾個面、幾條邊，并說說你是怎么發現的。

（學生動手實踐。）

匯報：

（1）我是看出來的，發現它有兩個面，一個面是紅色的，一個面是白色的。（看）

（2）我是摸出來的，發現它有兩個面、兩條邊。里面一個，外面一個。邊也是兩條。（摸）

（3）我發現剛才的兩條線現在在紙環的外面，里面看不見。所以有兩個獨立的面。（畫）

師：我們把有兩個面、兩條邊的曲面稱作：雙側曲面。（板書。）想一想生活中，你在哪些地方見過這樣的雙側曲面？（雙面膠、手表……）

師：就像雙面膠里面有一個面，外面有一個面，它們相互不連接，獨立存在。其實自然界也有一些動物是不能生活在一起的，就像叢林之王的獅子和山林之王的老虎，就不能生活在一起。如果它們在一起一定會有一場慘烈的斗爭！可是我們的馴獸師們就巧妙地借助雙側曲面讓它們同時出現在我們的面前，我們去看一看……（視頻：馬戲團演出。）

2.認識單側曲面。

師：讓我們把手中的雙側曲面先放下，再拿起一張長方形的紙條，這次我們首尾相連的時候保持一端不動，另一端旋轉180度，把紙條原來的內對內相連或外對外相連，就得到了一個新的紙環。你也做一做，看看新得到的紙環還只兩個面、兩條邊嗎？

（學生動手實踐。）

匯報：

（1）我動手摸發現這個紙環只有一個面。（我們一起摸一摸。）

（2）我從一點看，發現一圈后又回到了這一點，說明只有一個面。

（3）我用畫線的方法，發現有一條邊。（指導同桌合作，一起來畫一畫，再請兩名學生到前面來在大學具上畫一畫。）

師：為什么同樣是首尾相連，新得到的紙環只有一個面、一條邊呢？小組同學研究一下。

匯報：

（1）我發現一旋轉里面的面和外面的面就連起來了，所以只有一個面。

（2）我發現上面的邊轉到下面和下面的邊來連起來了，下邊的邊轉到上邊和上邊的邊也連起來了，所以只有一條邊。

師：讓我們給這個只有一個面、一條邊的紙環起個名字吧。（單側曲面。）你們的想法和數學家一樣，你知道嗎？這個單側曲面里還藏著一個數學故事呢。（出示：很久以前有人曾提出，用一張長方形的紙條，首尾相粘，做成一個紙圈，然后只允許用一種顏色，在紙圈上的一面涂抹，最后把整個紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。這個紙圈應該怎樣粘？如果紙條的首尾相粘，做成的紙圈有兩個面，勢必要涂完一個面再重新涂另一個面，不符合涂抹的要求。能不能做成只有一個面、一條封閉曲線做邊界的紙圈呢？ 對于這樣一個看似簡單的問題，數百年間，曾有許多科學家進行了認真研究，結果都沒有成功。1858年，德國數學家莫比烏斯走在一片玉米地里。微風吹過，玉米葉子隨風卷曲，他順手一捏就發現了單側曲面，從此這個單側的曲面就以莫比烏斯的名字命名，稱它為莫比烏斯帶，也有人稱為怪圈。）你想知道這個圈怪在哪里嗎？

師：試想一下，我們用剪刀在不破壞邊的情況下沿線剪，會得到什么結果呢？（兩個翻開的圈、兩個連起來的圈、斷開了……）

交流剪的方法：我們這樣剪可以嗎？（剪刀豎直：不行破壞邊了。）那怎樣剪？（先把紙對折剪一小口，再把剪刀放進去剪。）

師：我們開始吧，剪的時候要注意安全。

學生操作，匯報結果：有的是一個大環。有的是兩個套在一起的環。

師：為什么不一樣呢？看看你們所用的材料，再交流一下剪法，看看哪不一樣。

生：我發現我的紙條上的線在中間，所以得到的是一個大環，他的線在邊上，剪出來就是兩個環。

生：我發現線的位置不一樣，剪出的結果也不一樣。

師：這真是一個神奇的面、一條神奇的線。（補充課題：神奇的。）你想不想得到同桌剪出的紙環？（想。）怎么辦？（交換紙條，再剪。）

師：把我們剪出的結果舉起來，讓大家看看！孩子們，如果這樣繼續剪下去，我們還會有更多的發現。

三、實踐應用

師：莫比烏斯帶可不僅僅是好玩，在我們的生活中還有著廣泛的應用呢。（介紹：克萊因瓶、三葉紐結，感受過山車。）

討論：1.單側曲面的錄音帶。2.跑步機可不可以用單側曲面來做。

師：其實生活中有很多時候只要細心觀察就會引發思考，從而有所發現。像莫比烏斯就因為看見卷曲的玉米葉子，從而發現了單側曲面。讓我們從今天開始，也留心觀察生活，也許有一天你也會有新發現……

（本課在中國教育科學研究院組織的全國第十七屆小學數學優質課觀摩評議會上榮獲一等獎。）

反思：

最初選定這節課是因為我被莫比烏斯帶的神奇所吸引，于是便想能不能帶著我的學生也一同領略它的神奇。但怎樣才能讓莫比烏斯帶的“神奇”在課堂上展現得淋漓盡致，我陷入了迷茫……

把想法告訴了我的伙伴們，數學團隊的教師便坐在一起，研討就這樣開始了……一次次的研磨，一次次的模擬，每一個細節大家都深思熟慮很久很久。有時為了一個環節的設計大家爭得面紅耳赤，為了一個方法的選定大家又各自選擇學生的視角一次又一次的嘗試。從教材與學生、教者與學生、數學與學生、生活與學生……多個層面、多個角度來解析。還記得多少次失敗后，大家靜靜地坐在一起，回想著研討的一個又一個細節尋求著解決的方法。還記得多少次校園中相遇，大家都會欣喜地交換著剛剛產生的新點子、新思路。為了更好地體現神奇，我們想把引導學生動手剪作為平臺，從而發現線在面的位置不同，剪出的結果就會不同。

神奇的感覺好像有了，但總覺得還缺少些什么。是什么呢？一個又一個困惑讓研磨又陷入了困境。翻閱相關的材料，查找各種信息，一串文字突然閃現出來：數學就是為學生思維的可持續發展奠基。對呀，這么神奇的帶子是怎樣產生的呢？為什么會產生呢？學生一定很想知道。應該把這段數學史像故事一樣講給學生聽，就是生活中的這樣一個細小的現象——玉米葉子的卷曲，就給人們的生活帶來了那么多的方便與快捷。其實生活中許許多多的發明創造都源于生活中一個細微的現象，仔細的觀察，大膽的嘗試。這才是應該教給學生的。這才能更好地擴展學生的思維，讓他們發現原來學習這么有價值、有意義，原來生活與學習真的息息相關，原來每一個人都可以成為發明家，只要他關注生活，大膽聯想，小心求證。

在教學設計中，我力求從情境出發，關注學生現有的生活經驗。教學過程中我力求從學生的興趣出發，關注學生的參與狀態。教學過程中我力求從學生思維出發，關注學生思維的多樣性體現創新。（多種方法驗證、應用解釋不同。）

作為執教者，我努力將教師團隊思維碰撞的結晶展現出來。其中，也有一些瑕疵。比如：學生通過動手實踐驗證得到的結果，在莫比烏斯帶的二分之一處剪一圈得到的是一個大圈，在三分之一處得到的是一個大圈套著一個小圈。此時，我收尾過于匆忙了，完全可以在學生興趣最濃時及時追問：“我們得到的這個大圈是不是一個新的莫比烏斯帶呢？”用本節課新學到的知識進行驗證，不僅僅是一道最好的課堂練習，更有助于培養學生科學嚴謹的學習態度。