考慮徑向間隙的非理想雙圓弧滾道滾珠絲杠副接觸角建模和分析

姜洪奎， 宋現(xiàn)春， 許向榮， 李彥鳳， 王樂(lè)源， 劉 濤， 杜 偉， 榮伯松

(1.山東建筑大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，濟(jì)南 250010；2.山東濟(jì)寧博特有限公司，濟(jì)寧 272071)

精密滾珠絲杠副是數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的關(guān)鍵部件，由于滾珠絲杠副傳動(dòng)效率高，且能夠消除傳動(dòng)間隙、精度高以及運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)，因而在數(shù)控機(jī)床和機(jī)械制造中得到廣泛應(yīng)用。雙圓弧滾道(哥特式滾道)是目前精密滾珠絲杠副廣泛采用的截型形式。相對(duì)于單圓弧滾道，雙圓弧滾道型面的滾珠絲杠副能夠使接觸角基本保持不變，從而其傳動(dòng)效率、承載能力和軸向剛度比較穩(wěn)定，但是雙圓弧滾道的精磨削相對(duì)于單圓弧滾道磨削比較困難，在這一磨削工藝過(guò)程中即使采用砂輪修整方法，也容易造成滾道的截形誤差[1]。在實(shí)際生產(chǎn)中，螺母?jìng)?cè)和絲杠側(cè)滾道加工后的接觸角與理想接觸角相差較大，有的滾道相差2°～3°，哥特式滾道實(shí)際加工誤差如圖1所示。彈性變形接觸角是衡量滾珠絲杠副裝配質(zhì)量的關(guān)鍵技術(shù)參數(shù)。彈性變形接觸角的大小不僅決定了滾珠絲杠副的整體傳動(dòng)效率，而且與載荷分布、剛度、摩擦力矩、磨損等性能密切相關(guān)[2-5]。

由于精密滾珠絲杠副的彈性變形接觸角無(wú)法直接測(cè)量，應(yīng)用成熟的力學(xué)模型對(duì)彈性變形接觸角進(jìn)行理論計(jì)算成為控制滾珠絲杠副裝配質(zhì)量的主要方法。由于滾動(dòng)軸承與滾珠絲杠副存在結(jié)構(gòu)的相似點(diǎn)，而且其彈性接觸角[6-8]的計(jì)算相對(duì)成熟，因此許多工程人員往往參考其計(jì)算模型進(jìn)行計(jì)算。胡建忠等[9]以雙螺母定位預(yù)緊滾珠絲杠副為研究對(duì)象，對(duì)軸向接觸剛度的影響因素進(jìn)行分析。Wang等[10]在計(jì)算滾珠絲杠副彈性接觸角的理論指導(dǎo)下，探索了使用磁致伸縮材料改變滾珠絲杠副預(yù)緊力的方法。趙國(guó)平等[11]根據(jù)彈塑性變形理論，研究了在超負(fù)荷工況下的滾珠絲杠副變形和剛度的計(jì)算方法。趙訓(xùn)貴等[12]在假設(shè)彈性變形接觸角等于45゜的條件下，研究了制造誤差對(duì)彈性變形接觸角的影響，并給出了計(jì)算彈性接觸角的簡(jiǎn)易公式。李夢(mèng)奇等[13]基于赫茲理論和滾道控制理論，建立了滾珠絲杠動(dòng)態(tài)接觸角模型，得到面向結(jié)構(gòu)參數(shù)的接觸角非線性方程組。對(duì)于研究不同工況下的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)滾珠絲杠副動(dòng)態(tài)接觸角的影響規(guī)律有很好的指導(dǎo)作用。張承瑞等[14]基于MEAS仿真建模方法，建立了考慮黏性摩擦和傳動(dòng)剛度的滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的二階數(shù)學(xué)模型，對(duì)于提高滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的控制性能具有重要的工程應(yīng)用意義。黃俊等[15]考慮絲杠螺母副,支撐軸承及直線滾動(dòng)導(dǎo)軌結(jié)合面參數(shù)對(duì)動(dòng)態(tài)剛度的影響，利用能量法建立了雙驅(qū)動(dòng)進(jìn)給系統(tǒng)多自由度模型為了研究雙驅(qū)動(dòng)進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。楊勇等[16]充分考慮滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)柔性以及耦合特性,構(gòu)建了滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)多柔體動(dòng)力學(xué)模型,為實(shí)現(xiàn)滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)與伺服控制系統(tǒng)的集成建模提供了重要理論和方法。

這些計(jì)算方法和理論或者沒(méi)有考慮徑向間隙、滾道參數(shù)不相等的情況或者限定了彈性變形接觸角的取值，不能適用于新型的具有不同滾道參數(shù)的滾珠絲杠副的裝配和研制開(kāi)發(fā)。

圖1 螺紋滾道實(shí)際加工廓形Fig.1 The actual machining profiles of Gothic raceway

基于上述原因，本文充分考慮滾珠絲杠副在實(shí)際加工中產(chǎn)生的滾道截型磨削誤差、加工接觸角不對(duì)等、徑向間隙等因素，以非理想滾道的滾珠絲杠副為研究對(duì)象，根據(jù)赫茲理論和幾何變形關(guān)系建立了通用的滾珠絲杠副彈性接觸角的計(jì)算模型和相應(yīng)的數(shù)值方法，分析了螺母滾道、絲杠滾道、滾珠半徑、徑向間隙的幾何誤差對(duì)彈性變形接觸角的影響。該研究對(duì)研制開(kāi)發(fā)新型滾珠絲杠副產(chǎn)品、優(yōu)化滾珠絲杠副裝配工藝、提升滾珠絲杠副的保養(yǎng)效率具有實(shí)際意義。

1 非理想滾道彈性變形接觸角建模

為了使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，準(zhǔn)確地構(gòu)造求解模型，本文做出以下假設(shè)：①滾珠絲桿副中各滾珠受力均勻；②假設(shè)滾珠不出現(xiàn)打滑現(xiàn)象；③滾珠與滾道之間為赫茲接觸；④非理想滾道為幾何中心與滾珠中心成一定角度的雙半圓弧。

1.1 非理想滾道的初始接觸角

圖2 消除徑向間隙前后滾珠與滾道幾何關(guān)系Fig.2 Geometric relation between ball and raceway before and after diametric clearance is diminished

螺母沒(méi)有發(fā)生平動(dòng)前，滾珠中心位于點(diǎn)Oon(0,Sd/2)處時(shí)，直線OonOn與y軸之間夾角為螺母?jìng)?cè)設(shè)計(jì)接觸角αn，點(diǎn)On(xn,yn)位于螺母?jìng)?cè)右半外圓曲率中心，設(shè)rs,rn,rb,分別為絲杠側(cè)滾道半徑、螺母?jìng)?cè)滾道半徑、滾珠半徑，因此，

(1)

(2)

滾珠中心位于點(diǎn)Os(xs,ys)處時(shí)，滾珠與絲杠側(cè)滾道右半外圓接觸，直線OosOs與y軸之間夾角為絲杠側(cè)設(shè)計(jì)接觸角αs，因?yàn)镺osOs的距離為滾道半徑與滾珠半徑之差rs-rb，所以

(3)

(4)

(xo-xs)2+(yo-ys)2=(rs-rb)2

(5)

(6)

(7)

將公式(2)，(3)代入式(7)，可以得出初始接觸角α0為

(8)

1.2 滾珠與滾道之間的彈性變形協(xié)調(diào)模型

(rn+rs-2rb)cosα0=(rs+rn-2rb+δns+δnm)cosα

(9)

圖3 預(yù)載后滾珠與滾道之間的彈性變形協(xié)調(diào)幾何關(guān)系Fig.3 Displacements of ball and raceway before and after axial preload is applied

將式(8)代入式(9)可得彈性變形接觸角α為

(10)

由式(10)可以看出，只要求出滾珠與兩側(cè)滾道的法向變形量就可以得出彈性變形接觸角α。

由于軸承鋼是滾珠絲杠副常用的材料，根據(jù)赫茲理論[14]可得出，滾珠與滾道之間的法向變形量δns和δnn為

(11)

式中i=n表示螺母?jìng)?cè)，i=s表示絲杠側(cè)，Qi為單個(gè)滾珠承受的法向載荷，∑ρi為滾珠與滾道接觸表面的曲率和。根據(jù)文獻(xiàn)[17]單個(gè)滾珠承受的法向載荷Qi的計(jì)算公式為

(12)

式中：Fa為絲杠副所承受的軸向預(yù)緊載荷，z為單個(gè)螺母內(nèi)的承載滾珠個(gè)數(shù)，λ為螺旋升角。忽略重力對(duì)滾珠平衡狀態(tài)的影響，滾珠在兩側(cè)滾道內(nèi)法向載荷大小相等，即Qn=Qs。將式(11)～(12)代入式(10)可得初始接觸角α0和實(shí)際彈性接觸角α之間的關(guān)系式。

(13)

式(13)涉及到橢圓積分是一個(gè)非線性程度較高的方程，需要采用相應(yīng)的數(shù)值算法對(duì)其進(jìn)行求解。該方法已獲得專利[18]。

2 案例及討論

為了驗(yàn)證本文提出的計(jì)算方法的通用性和正確性，應(yīng)用本文提出的計(jì)算方法對(duì)雙半內(nèi)圈球軸承和3210的滾珠絲杠副進(jìn)行了計(jì)算和對(duì)比分析。

2.1 雙半內(nèi)圈球軸承

雙半內(nèi)圈球軸承是非等適應(yīng)度圓弧滾道的另一個(gè)特例。如圖4所示雙半內(nèi)圈球軸承的滾珠和滾道之間的幾何關(guān)系。雙半內(nèi)圈球軸承的外圈為單圓弧，雙半內(nèi)圈球軸承的內(nèi)圈為兩個(gè)半圓弧組成。在內(nèi)圈磨削時(shí)，在兩半內(nèi)圈之間加有墊片，當(dāng)移去墊片并將雙半內(nèi)圈靠緊組合成軸承內(nèi)圈。墊片角αs(即滾珠與外滾道的接觸角)通過(guò)墊片厚度確定。由于螺母滾道為單圓弧，可以確定滾珠與螺母?jìng)?cè)接觸角為αn=0，代入式(8)可以得出雙半內(nèi)圈球軸承的初始接觸角α0為

(14)

公式(14)與文獻(xiàn)[14]中的計(jì)算公式相同。

圖4 雙半內(nèi)圈球軸承墊片角Fig.4 the diametric clearance of split inner-ring ball bearing

2.2 方法對(duì)比

以雙圓弧型的滾珠絲杠副為例，其主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為：鋼球5.953 mm，公稱直徑32 mm，徑向間隙0.038 mm,滾珠與滾道的彈性變形法向變形量0.069 mm。應(yīng)用本文所提出計(jì)算方法和文獻(xiàn)[12]中關(guān)于彈性接觸角的計(jì)算方法進(jìn)行對(duì)比。

表1 新方法與文獻(xiàn)[8]方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比Tab.1 Comparison of results from new method and method from literature [8]

從表1給出的兩種計(jì)算方法的計(jì)算結(jié)果可以看出：文獻(xiàn)[8]計(jì)算方法只能對(duì)絲杠、螺母滾道適應(yīng)比、接觸角均相同的情況進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)絲杠、螺母滾道的適應(yīng)比、接觸角不完全相同時(shí)就無(wú)法給出相應(yīng)的結(jié)果；在滾道適應(yīng)比、接觸角相同的情況下，兩種方法的計(jì)算結(jié)果基本一致；文獻(xiàn)[12]的計(jì)算方法沒(méi)有考慮導(dǎo)程的因素，如在滾道幾何參數(shù)不變的情況下，導(dǎo)程10 mm和20 mm所得出的結(jié)果沒(méi)有變化。

新方法與文獻(xiàn)[12]的計(jì)算結(jié)果存在差異的原因是由于二者的方法不同。文獻(xiàn)[12]的關(guān)于雙圓弧滾道的彈性接觸角的計(jì)算方法求解思路是先假定彈性接觸角等于45°，然后對(duì)彈性變形接觸角的幾何關(guān)系式進(jìn)行微分，得出設(shè)計(jì)接觸角增量、滾道尺寸增量、滾珠半徑增量和彈性接觸角之間的關(guān)系。由于采用微分方法得出各個(gè)幾何因素之間的關(guān)系式，因此各個(gè)參數(shù)的變動(dòng)量必須變化較小，才能符合方法二的要求。本文的模型考慮了滾珠絲杠副公稱直徑和螺旋升角因素，用數(shù)值求解方法求解變形協(xié)調(diào)方程，避免了計(jì)算過(guò)程中偏差值較大的情況，而且沒(méi)有等接觸角、等滾道半徑的限制。因此與原有手段相比，本文提出的計(jì)算方法準(zhǔn)確度高，通用性強(qiáng)，應(yīng)用廣泛，所得結(jié)果更可信。

3 非理想滾道截形誤差的影響分析

以雙圓弧滾道3210滾珠絲杠副為研究對(duì)象，分析設(shè)計(jì)接觸角誤差、滾道半徑誤差對(duì)彈性變形接觸角的影響。3210型滾珠絲杠副的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2，滾珠和絲杠、螺母的材料都是軸承鋼。

表2 滾珠絲杠副參數(shù)表Tab.2 Parameters of example ball screw mechanism

(1)不對(duì)等的螺母、絲杠滾道設(shè)計(jì)接觸角的影響

為了方便分析螺母、絲杠滾道接觸角的不對(duì)等對(duì)彈性變形接觸角的影響，本文以3210滾珠絲杠副為研究對(duì)象，分別設(shè)定螺母、絲杠滾道設(shè)計(jì)接觸角變化范圍36.5°～39.5°，滾道適應(yīng)比為0.54，以滾珠與滾道的法向彈性變形量0.006 9 mm為加載條件，徑向間隙0.067 mm，應(yīng)用本文方法計(jì)算相同滾道半徑情況下不同滾道設(shè)計(jì)接觸角對(duì)滾珠絲杠副的彈性變形接觸角變化情況，其計(jì)算結(jié)果如圖5。

圖5 不同設(shè)計(jì)接觸角條件下的彈性接觸角等值線圖Fig.5 The contour map of elastic contact Angle under different design contact angle

從圖5可以看出，不同設(shè)計(jì)接觸角條件下滾珠絲杠副彈性接觸角等高線沿著圖8的對(duì)角線對(duì)稱分布。滾珠絲杠副彈性接觸角等于45°的等高線近似一個(gè)斜放置的“M”字分布。在絲杠側(cè)設(shè)計(jì)接觸角(37.2°～38.8°)、螺母?jìng)?cè)設(shè)計(jì)接觸角(37.2°～38.8°)的范圍內(nèi)，45°的等高線的形狀接近直線，周圍的等高線分布范圍最為稀疏，而在圖5的四個(gè)角處等高線分布相對(duì)致密，絲杠側(cè)、螺母?jìng)?cè)設(shè)計(jì)接觸角分別等于(37.8°，37.8°)是“M”線的核心位置。因此從設(shè)計(jì)角度來(lái)看，37.8°是絲杠側(cè)、螺母?jìng)?cè)滾道設(shè)計(jì)接觸角的最佳值，因?yàn)檫@樣可以使得兩側(cè)滾道的接觸角加工誤差對(duì)滾珠絲杠副的彈性接觸角影響最小。從滾珠絲杠副的裝配理論來(lái)看，由于45°等高線接近斜度45°的直線，因此只要絲杠側(cè)、螺母?jìng)?cè)實(shí)際的接觸角滿足之和等于75.6°就可以保證滾珠絲杠副彈性接觸角等于45°的最優(yōu)裝配性能。

(2)不對(duì)等的螺母、絲杠滾道半徑的影響

螺母、絲杠滾道半徑不標(biāo)準(zhǔn)、不對(duì)等是絲杠副磨削過(guò)程常見(jiàn)的加工誤差之一。以3210滾珠絲杠副為研究對(duì)象，分別設(shè)定螺母、絲杠滾道適應(yīng)比變化范圍0.525～0.555，同樣以滾珠與滾道的法向彈性變形量0.006 9 mm為加載條件，絲杠側(cè)、螺母?jìng)?cè)接觸角均等于38°，徑向間隙0.067 mm，應(yīng)用本文方法計(jì)算相同滾道設(shè)計(jì)接觸角下不同滾道半徑情況對(duì)滾珠絲杠副的彈性變形接觸角變化情況，其計(jì)算結(jié)果如圖6。

從圖6可以看出，不同滾道適應(yīng)比條件下滾珠絲杠副彈性接觸角等高線沿對(duì)角線對(duì)稱分布。滾珠絲杠副彈性接觸角等于45°的區(qū)域分布在一個(gè)長(zhǎng)軸與對(duì)角線平行的近似橢圓以及兩個(gè)近似半圓區(qū)域內(nèi)。 在預(yù)緊載荷、徑向間隙不變的情況下，在螺母滾道適應(yīng)比：0.531～0.548，絲杠滾道適應(yīng)比：0.548～0.531這個(gè)近似橢圓區(qū)域內(nèi)，滾珠絲杠副彈性變形接觸角的變化基本在45°附近。即在一定幾何參數(shù)范圍內(nèi)滾道誤差的變化對(duì)滾珠絲杠副彈性變形接觸角的影響相對(duì)設(shè)計(jì)接觸角的影響較小。

圖6 不同滾道適應(yīng)比條件下的彈性接觸角等值線圖Fig.6 The contour map of elastic contact Angle under different ratio of raceway

(3)徑向間隙的影響

不同加工方式的滾珠絲杠副的徑向間隙也各不相同，如對(duì)于公稱直徑28～32 mm之間的扎制絲杠最大間隙在0.14 mm，而同樣直徑范圍內(nèi)的精密滾珠絲杠副則在0～0.005 mm。為了方便分析徑向間隙對(duì)彈性變形接觸角的影響，本文以3210滾珠絲杠副為研究對(duì)象，分別設(shè)置徑向間隙為0.001 mm，0.01 mm，0.04 mm，螺母、絲杠滾道適應(yīng)比等于0.54，以滾珠與滾道的法向彈性變形量0.006 9 mm為預(yù)緊條件。針對(duì)不同的徑向間隙，繪制相應(yīng)的滾珠絲杠副的彈性接觸角等高線，如圖7所示。

圖7 不同徑向間隙下的彈性接觸角等值線圖Fig.7 The contour map of elastic contact Angle under different radial clearance

由圖7可以看出：圖(b)中45°的彈性接觸角等高線位于圖的中心，而且呈現(xiàn)為“M”形狀；圖(a)，(c)中的45°的彈性接觸角等高線位于圖的斜上角，而且呈現(xiàn)為“V”形狀；圖(a),(b),(c)中最為稀疏的等高線中心都各不相同。當(dāng)徑向間隙為0.01 mm時(shí)，45°的彈性接觸角等高區(qū)域最大，因此三種徑向間隙的對(duì)比中，0.01 mm是3210型滾珠絲杠副在預(yù)緊變形為0.006 9 mm條件下的最佳值。圖7比較結(jié)果可以得出，滾珠絲杠副徑向間隙是影響滾珠絲杠副彈性接觸角的區(qū)域形狀大小的主要因素，因此要根據(jù)具體的滾珠絲杠副滾道的加工方式和加工誤差，合理設(shè)計(jì)徑向間隙的大小。

(4)滾珠大小的影響

在實(shí)際滾珠絲杠副的裝配中，往往采用非標(biāo)滾珠調(diào)節(jié)滾珠絲杠副的彈性接觸角，所以分析滾珠直徑大小對(duì)彈性接觸角的影響非常有必要。以3210滾珠絲杠副為研究對(duì)象，螺母、絲杠滾道適應(yīng)比變化范圍0.54，徑向間隙0.047 mm，以滾珠與滾道的法向彈性變形量0.006 9 mm為加載條件，參考軸承鋼球國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)分別設(shè)定滾珠直徑大小為5.953 mm， 5.954 mm，5.958 mm。應(yīng)用本文方法計(jì)算不同滾珠直徑對(duì)滾珠絲杠副的彈性變形接觸角等高線變化情況，其計(jì)算結(jié)果如圖8。

圖8 不同滾珠直徑的彈性接觸角等值線圖Fig.8 The contour map of elastic contact Angle under different diameter ball

比較圖11中(a)，(b)，(c)可以看出：滾珠直徑5.953～5.958 mm范圍內(nèi)，45°的彈性接觸角等高區(qū)分布變化不大。滾珠直徑大小不改變兩側(cè)滾道加工誤差對(duì)彈性接觸角的影響，因此采用改變滾珠直徑大小調(diào)節(jié)滾珠絲杠副的彈性接觸角的工藝比較合理。

4 結(jié) 論

(1)本文提出的非理想滾道滾珠絲杠副的彈性接觸角的計(jì)算方法具有通用性和正確性，不僅適合雙圓弧滾道的滾珠絲杠副，同樣適用于單圓弧滾道的滾珠絲杠副和雙半內(nèi)圈球軸承的彈性接觸角的計(jì)算。

(2)滾道半徑大小、滾珠直徑大小對(duì)滾珠絲杠副的彈性接觸角分布規(guī)律影響相對(duì)較小，徑向間隙對(duì)滾珠絲杠副的彈性接觸角分布規(guī)律影響相對(duì)較大；采用改變滾珠直徑大小調(diào)節(jié)滾珠絲杠副的彈性接觸角的工藝比較合理。

(3)對(duì)于特定型號(hào)的滾珠絲杠副，在預(yù)緊變形相同的條件下絲杠側(cè)、螺母?jìng)?cè)實(shí)際的接觸角之和等于一固定值，就可以保證裝配后滾珠絲杠副彈性接觸角等于45°或者特定值。