函數與方程思想在數列中的應用

湖北省十堰市鄖西職業技術學校 梅書彩

函數與方程思想是高中數學最重要的數學思想，它是從問題中的數量關系分析入手，運用數學語言將問題描述轉化為數學模型、函數、方程、不等式（組），然后通過函數性質、圖像或解方程、不等式（組）獲得問題解決，經常使用會使學生運用自如，思維開闊，優化解題策略，提高解題能力。

數列是定義域為正整數集（或其子集）的特殊函數，等差數列、等比數列的通項公式、前n項和公式都可以看成項數的函數。因而，某些數列問題常可以利用函數與方程的思想來分析，用函數與方程的思想來解決。下面從幾個方面探討函數與方程思想在數列問題中的應用。

一、數列中基本量a1，d(q)，n 的計算問題

例1 若{an}是等差數列，a15=8，a60=20，求a75。

例2 等比數列{an}的各項均為正數，若該數列的前n項和為Sn，且Sn=80，S2n=6560，在前n項和中，數值最大的一項為54，求數列{an}的首項和公比。

解：設公比為q，由S2n-Sn=6480 ＞Sn知q＞1，

又an＞0，所以前n項中最大項為an=a1qn-1=54 （1）

（2）（3）式聯立解得a1=2,q=3。

評述：等差數列、等比數列是兩類特殊的數列，是高考的重要考點，它們的通項公式和前n項和公式中有5 個元素：a1,n,d(q),an,Sn，其中a1,n,d(q)是基本量，5 個元素中“知三求二”，列方程或方程組求解。

二、通項公式an 的求解問題

例3 已知數列{an}是等差數列，且a5=11,a8=5，求數列{an}的通項公式。

解得a1=9,d=-2，

所以an=19+(n-1)(-2)，即an=-2n+21。

本例是等差數列的簡單問題，但是體現了方程與函數思想在數列中的應用。根據兩個獨立條件解出兩個量a1和d，進而寫出an的表達式，幾個獨立條件就可以解出幾個未知數，這是方程思想的應用。等差數列通項公式an是n的一次函數，前n項和Sn是n的二次函數，等比數列通項公式an是n的指數型函數，故有關問題可考慮相應的函數性質，以助問題的解決。

例4 已知數列{an}是以2 為首項，1 為公差的等差數列，{bn}是以1 為首項，2 為公比的等比數列，求數列{abn}的通項公式。解：由題意可知an=2+(n-1)×1=n+1，bn=1×2n-1=2n-1，所以abn=2n-1+1。

本例乍一看讓很多學生茫然不知所措，但明確數列的通項公式本質是函數的解析式，類比求函數解析式中已知f(x)，求f(g(x))，用代入法問題就迎刃而解了。

由此可見，函數與方程思想貫穿數列問題的始終，數列問題的解決離不開函數與方程思想的靈活應用。用函數與方程的思想研究數列問題，會讓我們對數列的認識更全面、理解更深刻，能從根本上提高我們的學習能力、思維能力及創新能力。