賞圖、析境、意會，解決一類一次函數(shù)中的行程問題

江蘇省太倉市第一中學(xué) 霍 燕

函數(shù)概念引入后，行程問題往往與一次函數(shù)圖像結(jié)合，能有效考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識運(yùn)用及解決實際問題能力，因此歷來都是考試中的常見題型。如何更好地讓學(xué)生理解并掌握這一類應(yīng)用題，筆者在教學(xué)中做了一些嘗試，結(jié)合2018 年的中考試題，將常見問題分為“一人一線”問題、“兩人兩線”問題、“兩人一線”問題，與大家分享我的教學(xué)思路。

一、“一人一線”問題

例1（2018 年江蘇南京中考題）小明從家出發(fā)，沿一條直道跑步，經(jīng)過一段時間原路返回，剛好在第16 min 回到家中。設(shè)小明出發(fā)第tmin 時的速度為vm/min，離家的距離為Sm。v與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖1 所示（圖中的空心圈表示不包含這一點(diǎn)）。

（1）小明出發(fā)第2 min 時離家的距離為__________m；

（2）當(dāng)2 ＜t≤5 時，求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式；

（3）畫出S與t之間的函數(shù)圖像。

方法點(diǎn)撥：欣賞圖形，并在圖中找出有利于問題解決的特殊點(diǎn)，理解特殊點(diǎn)與圖形情境的意義，思考解決方法。畫出線段示意圖，將一次函數(shù)圖像轉(zhuǎn)化為行程問題。

解題過程：

（1）當(dāng)t=2 時，v=100，故S=vt=100×2=200。

（2）審題，讀透圖形中蘊(yùn)含的路程、時間、速度信息，求出去時的時間，再確定返回的時間。引導(dǎo)學(xué)生先求出每一段的路程，并在題目圖中標(biāo)示。求出來回總時間是16 min，往返總路程是200+480+880=1560 m，因此可求出去時的時間為（1560÷2-200-480）+5=6.25 min，從而在2 ＜t≤5 時，S=200+160(t-2),即：S=160t-120。

第二問是第三問的鋪墊，對特殊點(diǎn)進(jìn)行分析，可得答案。（答案略）

點(diǎn)評：本題是倒數(shù)第二題，在設(shè)計上比較新穎，它跳脫出了S-t圖像的常規(guī)思維，改成了v-t圖像，既要求學(xué)生具備扎實的基礎(chǔ)知識，又考查學(xué)生的綜合理解和學(xué)習(xí)能力，是一道好題，也是一道難題。

二、“兩人兩線”問題

例2（2018 牡丹江中考題略改動）在一條筆直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙兩人同時出發(fā)，甲從A地騎自行車去B地，途經(jīng)C地休息1 分鐘，繼續(xù)按原速騎行至B地，甲到達(dá)B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行從B地前往A地。甲、乙兩人距A地的路程y（米）與時間x（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2 所示，請結(jié)合圖像解答下列問題：

（1）請寫出甲的騎行速度為____米/分，點(diǎn)M的坐標(biāo)為________；

（2）請寫出兩人出發(fā)后，在甲返回A地之前，經(jīng)過多長時間兩人距C地的路程相等。

方法點(diǎn)撥：根據(jù)題意，分離圖像。易知，折線O-M-N是甲的圖像，線段DE是乙的圖像。畫線段示意圖，理清甲、乙中特殊點(diǎn)的意義，進(jìn)而解決問題。

解題過程：

（2）設(shè)甲返回A地前，經(jīng)過x分兩人距C地路程相等。由乙的速度：1200÷20=60 米/分，進(jìn)而求出AB=1200，AC=1020，BC=180。分類如下：

當(dāng)時，即甲乙在A、C之間，∴1020-240x=60x-180，解得x=4。

當(dāng)x=6 時，甲到B地，距離C地180 米，乙距C地：6×60-180=180 米，即：x=6，兩人距C地的路程相等。

當(dāng)x＞6 時，甲在返回途中，若甲在B、C之間時，180-[240(x-1)-1200]=60x-180，解得x=6，不符題意，舍去。若甲在A、C之間，240(x-1)-1200-180=60x-180，解得x=8。

綜上所述，在甲返回A地之前，經(jīng)過4 分鐘或6 分鐘或8 分鐘時，兩人距C地的路程相等。

點(diǎn)評：本題是倒數(shù)第二題，題目難度呈現(xiàn)螺旋式上升，考查的知識點(diǎn)是一次函數(shù)圖像的識別及其性質(zhì)的綜合運(yùn)用以及行程問題中的追及問題與相遇問題，特別是第2 問還涉及分類討論思想，題目難度較高，對學(xué)生的能力要求也比較高。

三、“兩人一線”問題

例3（2018 江蘇鹽城中考題）學(xué)校與圖書館在同一條筆直道路上，甲從學(xué)校去圖書館，乙從圖書館回學(xué)校，甲、乙兩人都勻速步行且同時出發(fā)，乙先到達(dá)目的地。兩人之間的距離y（米）與時間t（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖3 所示。

（1）根據(jù)圖像信息，當(dāng)t=_______時甲、乙兩人相遇，甲的速度為_______米/分鐘；

（2）求出線段AB所表示的函數(shù)表達(dá)式.

方法點(diǎn)撥：（1）根據(jù)題意，分析圖像。（2）畫線段示意圖。（3）利用方程、一次函數(shù)解析式等手段解決問題。

解題過程：

點(diǎn)評：此題需要學(xué)生在理解特殊點(diǎn)的基礎(chǔ)上解題，對學(xué)生的理解能力、讀圖能力都有較高的要求。在教學(xué)中，教師還是需要強(qiáng)調(diào)學(xué)生對知識的理解與掌握，進(jìn)而提升學(xué)生的解題能力。此題牽涉的知識點(diǎn)很豐富，需要學(xué)生具備一定的理解能力，筆者認(rèn)為，還是要以速度為突破口解決問題。

教師通過引導(dǎo)學(xué)生賞圖、析境，層層遞進(jìn)的傳授知識只是其一，更重要的是學(xué)生領(lǐng)悟力的提高，“悟”是一種修行，教師有效的引領(lǐng)，有利于學(xué)生實現(xiàn)高效的意會。