古典概型教學方式研究

上海電機學院文理學院 劉美玲

古典概型也叫傳統概率或等可能概型，其定義是由法國數學家拉普拉斯 (Laplace)提出的。內容簡單，但數學題目千變萬化，在多年的教學實踐中發現，學生在古典概型的概率求解中依然存在很多問題。

一、古典概型定義

（1）試驗的樣本空間只包含有限個樣本點；

（2）試驗中每個基本事件發生的可能性相同。

具有以上兩個特點的試驗稱為古典概型或等可能概型。

二、古典概型計算公式

設試驗E的樣本空間由n個樣本點(基本事件)構成，A為E的任意一個事件，且包含k個樣本點(基本事件)，則事件A出現的概率記為：

這里解釋基本事件的發生概率相同，所以一個事件的概率值即是事件所含基本事件的個數除以基本事件總數。常見的古典概型有擲硬幣試驗、擲骰子試驗、摸球試驗等。具體的計算舉例說明，以下兩個例題分別取自參考教材[2][3]。

例1：設袋中有10只球，編號分別為1,2,…,10. 從中任取3 只球,求：

（1）取出的球最大號碼為5 的概率；

（2）取出的球最小號碼為5 的概率；

（3）取出的球最大號碼小于5 的概率。

解：設A={取出的球最大號碼為5}，B={取出的球最小號碼為5}，C={取出的球最大號碼小于5}，基本事件總數為。

（3）由于取出的三只球中，最大號碼小于5，C所包含基本事件的個數為，

本題目中取球的方式是任意的，每個球被取到的概率都是一樣的，所以是古典概型。另外，只要觀察取出來的號碼，沒有順序問題，所以用組合數計算。下面再看另一個例題：

例2：一個家庭中有兩個小孩，已知其中一個是女孩，問另一個也是女孩的概率是多少？（假定生男生女是等可能的）

解法1：由題意知，樣本空間為：

Ω={（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}

A表示事件“至少有一個是女孩”，B表示事件“兩個都是女孩”，則有：

A={（男，男），（女，男），（女，女）}，B={（女，女）}，

本題目解法1 用古典概率公式計算，較為煩瑣。實際上，這是典型的條件概率問題，用條件概率公式則可以簡潔地計算出結果。條件概率在后續的學習中經常用到，例2 是一個曾經在網絡盛傳過的小題目，這里經過條件概率的理論解釋和計算，想必大家都能了解什么是條件概率了。條件概率的計算和應用是非常多的，全概率、貝葉斯以及隨機變量的計算中都會用到，所以從這個例題引出其重要性和基礎性，激發學生認真學習、理解透徹。