高中數學三角函數最值問題的常見解法

江蘇省揚州市邗江區瓜洲中學 戚明兵

三角函數最值問題是三角函數知識體系中一個常見的知識點，也是高考的重要內容，它不僅與三角函數變換直接相關，還和二次函數、導數、不等式等知識存在緊密關系。三角函數最值問題中涉及知識點比較多，題型靈活多變，解法也非常多樣。為了幫助學生順利解決三角函數最值問題，教師需要引導學生掌握最常見的解法，并幫助學生構造三角函數解題模型，如此才能提升學生的解題效率。

一、借助函數值域，構建三角函數最值模型

值域是三角函數知識的一個重要內容。三角函數sinx、cosx的定義域為R，值域為[-1,1]；函數tanx、cotx的值域均為R。掌握三角函數的值域，是解決三角函數最值問題的關鍵，只有靈活掌握了三角函數的值域，才能順利求出三角函數最值。對于形如y=asinx+b、y=acosx+b的三角函數最值問題，教師可引導學生通過函數值域建立函數模型，幫助學生掌握解題的一般規律，從而更好地提升學生解題效率。

例如，求三角函數y=2sinx+1 的最值。解決這個問題的關鍵，就是緊抓三角函數的值域。首先，找出值域。已知任意角的三角函數y=sinx的定義域為全體實數，值域為[-1,1]。其次，建立不等式。根據三角函數值域，得出-1 ≤sinx≤1。最后，轉化式子。將三角函數值域不等式一步步轉化為問題模型。因為-1 ≤sinx≤1，那么-2 ≤2sinx≤2，所以可以得出-1 ≤2sinx+1 ≤3，所以ymin=-1，ymax=3。化解形如y=asinx+b的三角函數最值問題，最關鍵的就是思考三角函數的值域，并通過“找出值域→建立不等式→轉化式子”三個步驟建立解題模型，實現順利求解。

在上述案例中，教師根據三角函數值域這一知識點，引導學生構建了形如y=asinx+b的三角函數最值問題解題模型，如此不但優化了學生的解題思路，還幫助學生更好地認識了三角函數性質。

二、借助函數配方，構建三角函數最值模型

配方法是一種常見的解題方式，它是將一個式子或一個式子的一部分，通過恒等變形轉化為完全平方式或者幾個完全平方式的和的一種解題方法。這種解題方法常被用到三角函數恒等變形中，以挖掘題目中的隱含條件，是一種有效的解題方式。對于形如y=asin2x+bsinx+c、y=acos2x+bcosx+c的三角函數最值問題，采用配方法是一種便捷的解題方式。

在上述案例中，教師根據配方法這一常見的函數解題方法，引導學生構建了形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數最值問題解題模型，如此不但幫助學生復習鞏固了二次函數的知識，還引導學生解決了三角函數最值問題，可謂是一舉兩得。

三、借助分離常數，構建三角函數最值模型

總而言之，對于三角函數最值問題，教師不能讓學生急于動筆，而是應當引導學生認真閱讀題目信息，從函數形式入手，仔細觀察三角函數的形式，通過三角函數最值、二次函數配方法、分式函數常數分解法等方法找到解題的關鍵，從而選擇最優的解題方式進行問題求解。當然，三角函數最值問題常見的解法除了上文提到的最值法、配方法和常數分解法之外，還有反函數法、函數表達式變形法、輔助角法、換元法等不同方法，教師應當指導學生根據具體問題建立解題模型，從而幫助學生順利解決三角函數最值問題。