熱傳導系數跳躍的三維非Fourier溫度場分布的奇攝動雙參數解*

包立平 李文彥 吳立群

1) (杭州電子科技大學理學院,杭州 310018)

2) (杭州電子科技大學機械學院,杭州 310018)

應用非Fourier熱傳導定律構建了溫度場模型,即一類在無界域上的三維奇攝動雙曲拋物方程的初邊值問題.隨著溫度急劇變化,熱傳導系數發生跳躍,相應可以用非線性的具有間斷系數的奇攝動雙參數雙曲方程表示.通過奇攝動雙參數展開方法,得到了該問題的漸近解.首先應用奇攝動方法得到該問題的展開式,通過對解做出估計以及古典解的存在唯一性定理給出了內解和外解的存在性、唯一性.其次,由奇攝動理論,得到該類奇攝動雙曲方程進行了初始層矯正,得到了解關于時間的導數的估計.并且通過用Fourier 變換確定了熱傳導系數跳躍的位置表達式,從而得到了解的形式漸近展開式.最后通過余項估計,得到了漸近解的一致有效性,從而得到了熱傳導系數間斷的溫度場的分布.

1 引 言

隨著超短脈沖激光加熱、金屬快速凝固等現代高新技術的發展,熱作用的周期時間短到皮秒以至飛秒量級的超急速,超常規熱傳導規律的研究越來越引起人們的重視.

在許多實際物理問題中,會遇到含有間斷系數的擴散問題,例如,熱傳導過程中在不同溫度下,熱傳導系數會出現間斷[1],從而這些物理問題的數學模型就歸結于間斷系數問題.如何有效和準確地求解它們仍然是一個很大的挑戰.雖然許多學者針對這類問題的數值求解做了大量的研究工作,但是使用經典的有限元方法求解很難獲得高精度的數值解.關建飛等[1]和沈中華等[2]用Fourier熱傳導定律描述了板狀金屬材料中脈沖激光激發的超聲波,并用有限元方法進行了數值模擬.對于常規條件下的非穩態熱傳導問題,人們經常采用Fourier熱傳導定律來描述熱流密度與溫度梯度之間的關系,也足夠精確,但是延伸到溫度急劇變化的場合,由于經典Fourier熱傳導定律是準平衡假設,假定熱播傳播速度為無限大的熱擴散行為,就在應用中產生了問題,實驗表明溫度傳播速度是有限的熱波行為,因此應用非Fourier熱傳導定律更合適.文獻[3,4]分別報道了鐵、鋼鋁合金等材料中的實驗結果,表明了熱傳播中的非Fourier性質.李金娥等[5]建立了一個雙層材料層合板瞬態加熱情況下的非Fourier熱傳導分析模型,用向后差分法得到了溫度場的數值解.張浙等[6]對非傅里葉熱傳導的性質、模型、模型的求解及應用與實驗等幾個方面的研究進展做了較詳盡的概括與評述,并指出了今后需要著重研究的方向.我們采用非Fourier熱傳導定律來構建模型,考慮由于溫度急劇變化熱傳導系數出現跳躍的情況,得到了非線性的具有間斷系數的奇攝動雙曲方程.文獻[7]討論了一類二階擬線性雙曲型偏微分方程的 H1-Galerkin混合有限元方法,分析了兩種有限元方法,分別證明了連續問題和離散問題解的存在唯一性.對一維空間問題做出了誤差估計,討論了 H1-Galerkin混合有限元方法在二元和三元空間問題中的推廣,通過數值例子驗證了數值方法的可行性.Amirov[8]構造了新的積分來表示具有分段常導系數和間斷條件的Sturm-Liouville方程的基本解,研究了邊值問題的重要譜性質.Farrel等[9]和Silva[10]研究了具有間斷源項的半線性微分方程奇攝動問題.上述文獻都是通過數值模擬的方法得到相關結果.Teixeria等[11]研究了一類微分方程系數出現間斷時,利用爆破技術對非光滑動力系統進行正則化.文獻[12-15]討論了具有間斷系數的微分方程的穩定性、正則性.文獻[16]研究了一類具有非 線性初邊值條件的奇攝動問題的n維擬線性雙曲拋物方程，文獻[17]研究了一類具有變動邊界的初邊值問題的奇攝動擬線性雙曲拋物方程，兩者均給出了有效解的存在性.文獻[18]討論了非Fourier溫度場分布的奇攝動解.文獻[19]用數值方法研究了具有界面耦合的Frenkel-Kontorova (FK)晶格的熱傳導.文獻[20]通過應用數值分析方法詳細分析了引起多個人工神經網絡發生的內在物理機制.以上文獻均是用數值模擬的方法研究的.文獻[21]應用數值分析方法研究了隨著偏壓的增大,即絕對負遷移率現象(ANM),其平均速度會減小,并且詳細討論了ANM任意段產生的內在物理機制和條件.文獻[22]研究了具有耦合位移的對稱FK晶格的熱傳導,通過數值計算得出耦合位移對控制熱流起著至關重要的作用.但文獻[16,17]的模型并未出現系數間斷的情況.文獻[12-15]只是涉及了間斷系數,并沒有確定位置關系.迄今為止,尚未見到關于具有間斷系數的奇攝動雙曲方程的研究的報道,特別是未見關于間斷位置未定的情形的報道.

本文考慮脈沖激光作用于材料表面基于熱彈機制產生的溫度場.過去通常用Fourier熱傳導定律描述由激光激發的溫度場,但由于激光作用的周期非常短,在瞬態熱傳導過程中(特別是某些極端情況,如激光加熱等),熱量傳遞具有和經典熱傳導理論所認為的擴散行為完全不同的物理機制,物理機制的差異反映在描述物理行為的數學表達式上,就是說以經典的Fourier定律為基礎建立起來的熱傳導理論,已不能對這種情況下的熱量傳遞規律做出合理的解釋,因此用Fourier熱傳導定律來描述就存在問題.所以我們采用非Fourier熱傳導定律構造模型,克服了這一問題.由于溫度急劇變化,熱傳導系數出現跳躍,得到了非線性的具有間斷系數的奇攝動雙曲方程,應用奇攝動雙參數展開法得到該問題的展開式,并且通過給出最大模估計得到了內外解的存在唯一性,進而通過Fourier變換確定了熱傳導系數跳躍的位置關系,從而得到了解的形式漸近展開式.其次通過余項估計,得到了漸近解的一致有效性,從而得到了完整溫度場的分布.為非Fourier熱傳導在非均勻材料領域中的應用研究提供參考依據.

2 模型建立

現在做如下的假設：

[H1]f1(x,y,z),f2(x,y,z)是已知的任意階連續可微函數,記

其中M是正整數.

[H2]f(r)及 g(t) 是脈沖激光的空間分布,可以表示成

式中,r0是激光輻照的光斑半徑,t0是脈沖激光的上升時間.

[H3]u(x,y,z,t)表示t時刻的溫度分布; ρ ,c,k分別表示密度、熱容量和熱擴散系數.記m=k/(ρc).

在 ?1,?2,?3,?4,上,k(u)=k1,在 ?5上,k(u)=k2(μu),?1∩?2∩?3∩?4∩ ?5=?.

[H5]k(u)為熱傳導系數,

k1,C為常數,k2導數連續,μ 是小參數.假設熱傳導系數在 T=C 處滿足 z?=φ(x,y,t?,ε)=0,其中 t?＜t＜T ,t?為發生跳躍的時間,其中

根據非Fourier熱傳導理論,溫度場u(x,y,z,t)滿足以下偏微分方程

其初始條件和邊界條件為

式中,R是樣品表面的反射率; h是樣品的厚度;I0是單脈沖激光的輻照能量.令 m=k1,把問題(1)改寫為

3 形式展開

分別對(2)式和(3)式構造形式漸近解.

首先對(2)式做正則展開,得到

比較 ε 的同次冪系數,可得：

現給出(2)式的合成展開式：

將(7)式代入到(2)式中,比較 ε 的同次冪系數,可得

對(3)式做正則展開,得到：

將(10),(11)式代入到(3)式中,可得

討論(12)式中的 εkμl項的系數 pk,l只能為0.因為即

同理,ε 的次數為

比較 εμ 的同次冪系數,可得(3)式的展開式為

我們給出如下定理.

定理1考慮下述線性方程在 QT=×(0,T) ,?=R2×(0,h)的初邊值問題,

證明上述估計式已在文獻[18]中證明,在此不詳述.下面證明存在唯一性.

考慮(1)在 QTk=k×(0,T) 上的初邊值問題,其中 ?k?? 是一個有界域.因為g∈C1,2(QTk),滿足文獻[15]中定理8.3.1的條件,則(1)在 QTk上的初邊值問題存在唯一的解因為即D有界所以與邊界k的選取無關,則在無界域上該問題的解存在且唯一.同理,可得(3)式的解的存在唯一性.證畢.

推論問題(8)-(13)的解存在唯一,且滿足

根據定理可得(4)-(15)式的解的存在唯一性,不再贅述.

4 熱傳導系數跳躍位置

定理2熱傳導系數 k(u) 在 u=C 處發生跳躍的位置z=φ(x,y,t,ε)=φ0(x,y,t,ε)+εφ1(x,y,t,ε)+···εnφn(x,y,t,ε)+···滿足

G是由 φ0,···,φn-1決定的已知函數.

證明考慮在 [0,T]×[0,h]×R2上的溫度場分布

其初始條件和邊界條件為

對(19)式的 x,y 進行Fourier變換,可得到

所以

u0t(x,y,φ0)+u0z(x,y,φ0)φ0x=0,φ0(x,y,t?)=0,u0z(x,y,φ0)φnt+u0zz(x,y,φ0)φn+u0tzφn=G(x,y,φ0,φ1,···),φn(x,y,t?)=0 則確定了熱傳導系數發生跳躍的位置關系.證畢.

由定理2可知,熱傳導系數的跳躍點位置是由問題(17)所決定的,由條件[H5],在 t?時刻,φ(x,y,t?,ε)=0,這是在 z=0 平面上的位置,此后隨著溫度的變化,位置由(17)式決定.跳躍點位置z=φ(x,y,ε)是一個曲面,將整個空間分割成u＞C 和 u＜C 兩個部分.在 u＜C 時,熱傳導系數為 k1,而在 u＞C 時,熱傳導系數為 k2(μu).在空間 ? 中,溫度場是連續的,但溫度場在跳躍位置上的變化率比較大.

5 余項估計

定理3(1)式的余項

滿足∥R∥L2(QT)+∥?R∥L2(QT)+∥Rt∥L2(QT)≤M.

證明(1)式經過極坐標變換后可得

考慮(1)式的余項

將(26)式代入到(25)式中,可得

可得

(28)式左右同乘 2Rt,并在上積分,可得

其中,

將(30),(31)式代入到(29)式,化簡可得

其中

6 結束語

采用非Fourier熱傳導定律來構造溫度場模型,即一類在無界域上的三維奇攝動雙曲拋物方程的初邊值問題,通過奇攝動分析,得到該問題的形式漸近解,通過對解做出估計以及古典解的存在唯一性定理給出了內解和外解的存在性、唯一性.其次對該類奇攝動雙曲方程進行了初始層矯正,得到了解關于時間的導數的估計.由于出現了熱傳導系數間斷的情形,而間斷的位置未定,從而產生了自由邊界問題,采用雙參數展開法、Fourier變換確定了熱傳導系數跳躍的位置表達式,得到了漸近展開式,克服了高維無界域上的自由邊界問題,從而得到了解的形式漸近展開式.最后通過余項估計,得到了漸近解的一致有效性,從而得到了熱傳導系數間斷的溫度場的分布.通過本文的分析,可以看到溫度場在 t=0 附近有一個極薄的初始層,溫度場是連續的,而導數則有一個明顯的變化.與以往工作比較可得,初始層呈現角層現象,即溫度場的變化是 O(ε) 階,而導數則是 O(1) 階,在熱傳導系數的跳躍位置兩側,我們應用雙參數奇攝動方法,得到了溫度場的漸近表達式.當熱傳導系數為常數時,溫度場由常系數線性雙曲方程表達,從而可以求得解.但當熱傳導系數不為常數時,溫度場則由非線性雙曲方程表達,求解就相當困難.而雙參數奇攝動漸近展開則將問題轉化為一系列的常系數雙曲方程,從而可以得到漸近解析解,是本文的創新之處.熱傳導系數跳躍位置是另一個困難所在.當熱傳導系數是跳躍的情形,本文實際上是關于雙曲方程的自由邊界問題.因此確定熱傳導系數跳躍的位置就具有重要意義.我們應用Fourier變換和奇攝動漸近展開,得到了熱傳導系數跳躍位置的表達式,從而可以確定其位置.到目前為止,還較少看到這方面的結果.