一類彎曲空間超可積哈密頓系統的研究

閆夢姣,黃晴

(西北大學數學學院,陜西 西安 710127)

1 引言

根據劉維爾意義下完全可積性[1-2]的定義,一個自由度為n的哈密頓系統H若有包括在H內的n個相互獨立且兩兩對合的守恒積分,那么系統H在劉維爾意義下就是完全可積的.此外,如果完全可積系統H還存在僅與H對合,未必與其他守恒積分對合且相互獨立的m個守恒積分,則稱系統H為超可積系統.m的最大值為n?1,當m=n?1時,系統H是最大超可積系統[3].對兩個自由度的系統而言,最大超可積性與超可積性是等價的.有限維哈密頓系統的可積性和超可積性的相關研究已有很多成果,可參考綜述性文獻[4]及其中文獻.這些成果大部分是基于常曲率空間或零曲率空間的,因為變曲率空間復雜多變,相關的分析和計算有很大難度.但變曲率空間卻是更常見的空間,因此對于變曲率空間中有限維哈密頓系統的研究有很重要的意義.

變曲率空間中有限維哈密頓系統的研究也有一些結果,文獻[5]分析了變曲率空間中一類二維哈密頓系統的超可積性.文獻[6]不僅利用二次守恒積分得到了非常曲率空間中的n維最大超可積系統,還根據Bertrand理論得到了變曲率空間中一類新的超可積模型[7],隨后又通過St?ckel變換得到了非常曲率空間中的四種最大超可積經典哈密頓系統[8].最近,文獻[9]利用微分Galois理論研究了彎曲空間中形如

的哈密頓系統的可積必要條件,其中a(r),b(r),c(r),d(r)都是關于r的任意亞純函數,還將得到的結論應用到三個具體的實例中來展示這些結論的簡便實用性.

本文主要根據文獻[9]中的第一個實例展開研究,分析形如

的哈密頓系統的可積性和超可積性.主要的分析方法是利用動能的Killing向量場構造系統的二次守恒積分,得到可積系統和超可積系統.最后,構造各個超可積系統中守恒積分的Poisson代數,并給出這些守恒積分之間的多項式代數關系.

2 哈密頓系統 (1)的可積性

哈密頓系統(1)的動能為:

其Killing向量場由與T正交且關于動量pr和pφ線性的函數

張成,其中三個Killing向量滿足交換關系:

由此可知K1,K2,K3形成了一個SO(3)代數,它的一個Casimir函數為:

這個代數還容許以下變換:

哈密頓系統二次守恒積分的一般形式為:

因為奇次和偶次不能同時出現[10],只需考慮:

這里利用動能T的Killing向量場(2)構造守恒積分,僅考慮以下形式的二次守恒積分:

其中Ki,Kj為(2)中的Killing向量.若假設

是系統(1)的守恒積分.根據Poisson交換關系{H,F1}=0,可解得h,f1為:

其中A(φ),B(r)分別是關于r,φ的任意函數.經檢驗H,F1相互泛函獨立,所以系統

是劉維爾完全可積的.

3 哈密頓系統 (4)的超可積性

完全可積系統(4)如果還存在另一個守恒積分F2,且H,F1,F2相互獨立,則(4)是超可積的.本節通過引入新的二次守恒積分討論(4)的超可積性,以建立超可積系統和相應的Poisson代數.

3.1 超可積約束 F2=K1K3+f2(r,φ)

假設系統(4)容許如下形式的二次守恒積分:

根據{H,F2}=0得到pr,pφ的系數,并令這些系數等于零得到A,B,f2滿足:

易知,H,F1,F2相互獨立,可得到超可積的哈密頓系統.由于F1和F2的交換子不能用H,F1,F2來表示,為構造守恒積分的Poisson代數,引入

因此H,F1,F2,F3構成一個Poisson代數.二維可積哈密頓系統最多有3個相互獨立的守恒積分,故H,F1,F2,F3應是相互依賴的,這四個守恒積分所滿足的多項式代數關系為:

此外,對以上所得超可積系統實行變換(3),還能得到如下超可積系統:

3.2 超可積約束 F2=K22+f2(r,φ)

假設系統(4)有如下形式的二次守恒積分:

由{H,F2}=0,得到A,B,f2所滿足的方程組,解得

為構造封閉的Poisson代數,引入如下函數:

則H,F1,F2,F3滿足以下非零交換關系:

由此守恒積分H,F1,F2,F3構成一個Poisson代數,其中各積分滿足以下關系:

對該系統做變換(3)可得如下超可積系統:

3.3 超可積約束 F2=K1K2+f2(r,φ)

如果系統(4)容許形如

的二次守恒積分,由{H,F2}=0解得

經檢驗H,F1,F2不滿足封閉的Poisson代數關系,令

H,F1,F2,F3構成一個Poisson代數且滿足:

4 總結

本文利用動能的Killing向量場構造二次守恒積分,得到了一系列彎曲空間的2維超可積系統,并對每個超可積系統給出了相應的守恒積分構成的Poisson代數以及Poisson代數中各守恒積分之間的代數關系.