基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言信息群決策方法

俞錦濤， 王金山

(陸軍炮兵防空兵學院基礎部，安徽 合肥 230031)

0 引言

決策在人們?nèi)粘Ｉ钪邪l(fā)揮著非常重要的作用，針對某一目標進行優(yōu)化選擇是決策的一種常見形式。人作為決策的主體，因其自身認知能力的局限性和客觀事物的復雜性，往往不能夠在決策過程中做精確描述，而是以不確定信息形式表達出來。Zadeh提出的模糊集合[1]是一種很好的工具，在此基礎上進一步發(fā)展出了直覺模糊集[2]和猶豫模糊集[3]，但是前者不能描述猶豫性，后者不能體現(xiàn)非隸屬度，因而猶豫直覺模糊集[4]發(fā)展成為更加實用的工具，受到了眾多學者的青睞。Zhou等[5]提出了一種猶豫直覺模糊信息下的偏好關系，在此基礎上討論了一種群決策方法；Peng等[6]討論了猶豫直覺模糊集新的運算體系，并在此基礎上給出了相應的集結(jié)算子和排序方法；Yang等[7]利用Choquet積分建立了猶豫直覺模糊語言信息的集結(jié)算子，并提出了屬性互相關聯(lián)時的線性分配方法；Faizi等[8]基于直覺模糊支持函數(shù)、風險函數(shù)和可信度函數(shù)，提出了一種基于猶豫直覺模糊語言信息的群決策排序方法。

另一方面，語言信息在決策表達中也發(fā)揮了重要作用。在現(xiàn)實決策中，人們往往更傾向于用自然語言、不確定語言或多粒度語言等定性信息來描述對決策對象的偏好[9]。心理學研究指出，人能有效區(qū)分7～9個等級，學者們在此基礎上用語言術語集做了很多研究。Xu[10]將語言術語集從離散拓展到了連續(xù)，從而方便了語言術語間的運算；Xu還提出了不確定語言[11]的概念，并給出了相應的運算法則和比較方法；Pang等[12]提出了概率語言集，并用擴展的TOPSIS方法將其用于多屬性群決策；Gou等[13]基于兩種等價變換函數(shù)提出了語言術語集、猶豫模糊語言集、概率語言集的運算規(guī)則，彌補了傳統(tǒng)運算規(guī)則的缺陷。

猶豫直覺模糊語言集[14]綜合了上述描述決策信息的優(yōu)點，既能描述決策者的心理偏好，也能表示隸屬度、非隸屬度和猶豫度。然而，語言術語集的下標在運算中，會出現(xiàn)不封閉的問題，比如在一個粒度為7的語言術語集中，會出現(xiàn)s4+s5=s9的情況，雖然在實際運算中通過加權不會出現(xiàn)這種情形，但是在邏輯上是有缺陷的。針對語言術語集運算不封閉的問題，本文基于Archimedean三角模，討論猶豫直覺模糊語言信息下的封閉運算體系。首先介紹四種典型的滿足封閉運算的Archimedean三角模：Algebra型、Einstein型、Hamacher型和Frank型；然后提出基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言集，給出了其得分函數(shù)、精確函數(shù)、排序方法、加權的算術平均和幾何平均算子；并在此基礎上提出一種群決策方法；最后以九甸峽水庫運作方案選擇為例，經(jīng)過對比分析，說明本文方法的優(yōu)越性和有效性。

1 基本概念

1.1 基于Archimedean三角模的代數(shù)運算體系

考慮基于Archimedean三角模的封閉代數(shù)運算體系，首先給出三角模的概念。

定義1[15]記區(qū)間I=[0,1]，若函數(shù)T:I×I→I滿足：

(1)T(1,x)=x,x∈I，

(2)T(x,y)=T(y,x),x,y∈I，

(3)T(x,T(y,z))=T(T(x,y),z),x,y,z∈I，

(4)若x≤z，則T(x,y)≤T(z,y),x,y,z∈I；則稱函數(shù)T是I上的三角模。

若將(1)改成T(0,x)=x，并用S替換T，則稱函數(shù)S是I上的三角余模。容易看出，三角模和三角余模滿足對偶關系[15]。

文獻[16]指出滿足嚴格Archimedean性的三角模可以與實數(shù)的普通加法相互轉(zhuǎn)化，即存在嚴格單調(diào)遞減的算子φ:[0,1]→[0,∞)，φ(1)=0，使得

T(x,y)=φ-1(φ(x)+φ(y))

(1)

根據(jù)對偶關系的性質(zhì)，同樣有

S(x,y)=φ-1(φ(x)+φ(y))

(2)

其中，φ(x)=φ(1-x)。常見的Archimedean三角模和三角余模如表1所示。

表1 常見的Archimedean三角模和三角余模

根據(jù)式(1)、(2)描述的性質(zhì)，文獻[17,18]提出了基于Archimedean三角模的模糊信息代數(shù)運算體系，并且依舊滿足封閉性。

定義2[17,18]設x,y∈[0,1]，λ≥0為常數(shù)，則基于Archimedean三角模的運算規(guī)則定義為：

(1)x⊕y=S(x,y)=φ-1(φ(x)+φ(y))；

(2)x?y=T(x,y)=φ-1(φ(x)+φ(y))；

(3)λx=φ-1(λφ(x))；

(4)xλ=φ-1(λφ(x))。

1.2 猶豫直覺模糊語言集

A={|x∈X}

(3)

關于猶豫直覺模糊語言集的運算規(guī)則可以參考文獻[14]。

2 基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言集及其集結(jié)算子

(4)

(5)

(6)

(7)

特別地，當權重都相等時，ATNHILWA算子退化為基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言變量的平均(ATNHILA)算子，表示為

(8)

基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言變量的加權幾何平均(ATNHILWG)算子可表示為

(9)

特別地，當權重都相等時，ATNHILWG算子退化為基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言變量時的幾何平均(ATNHILG)算子，表示為

(10)

定理1基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言變量的加權算術平均算子集結(jié)結(jié)果仍為基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言變量，且可以表示為

(11)

基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言變量的加權幾何平均算子集結(jié)結(jié)果仍為基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言變量，且可以表示為

(12)

證明只需證前半部分語言算子，采用數(shù)學歸納法，對于ATNHILWA算子，當n=1時，式(11)顯然成立。當n=2時，有

從而式(11)成立。

假設n=k≥2(k∈N+)時式(11)成立，當n=k+1時，有

從而式(11)成立。

同理，對于ATNHILWG算子，可證式(12)成立。

綜上可知，定理1成立。

對于本節(jié)給出的集結(jié)算子，實際計算中采用不同類型的Archimedean三角模可能會得到不同的決策結(jié)果，限于篇幅，本文只對最簡單的Algebra型進行分析。

3 基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言信息的群決策方法

(13)

Step2利用式(5)、(6)計算決策者k對方案Xi評價信息的得分函數(shù)和精確函數(shù)，再利用決策者權重加權得到方案Xi的得分函數(shù)和精確函數(shù)，如下：

(14)

(15)

Step3利用定義8給出的排序規(guī)則對所有的方案進行排序，得到最優(yōu)決策結(jié)果。

4 算例分析

下面以改編自九甸峽水庫運作方案選擇[21,22]的案例為背景，闡述本文方法的實現(xiàn)過程，并與現(xiàn)有方法進行對比分析，以顯示其優(yōu)勢。

九甸峽水庫的設計有多種用途，如發(fā)電、灌溉、工農(nóng)業(yè)用水、居民用水和環(huán)境用水等。根據(jù)對水量分配的不同要求，提出四種水庫運作方案X1、X2、X3和X4。

X1:使植物產(chǎn)量最大，保證洮河流域用水量充足，多的用于社會和經(jīng)濟供給；

X2:使植物產(chǎn)量最大，保證洮河流域用水量充足，多的用于社會和經(jīng)濟供給，減少生態(tài)系統(tǒng)供給；

X3:使植物產(chǎn)量最大，保證洮河流域用水量充足，多的用于社會和經(jīng)濟供給，生態(tài)環(huán)境總供給的90%用于低水期沖沙；

X4:使植物產(chǎn)量最大，保證洮河流域用水量充足，多的用于社會和經(jīng)濟供給，生態(tài)環(huán)境總供給的50%用于低水期沖沙。

為了選出最優(yōu)方案，當?shù)卣辛巳以u價機構相互獨立地對四個方案進行比較評估，機構的權重向量為v=(0.41,0.34,0.25)。評價結(jié)果以猶豫直覺模糊語言集的形式給出，其中語言術語集為S={s0:極差，s1:差，s3:對等,s4:好，s5:較好，s6:極好}，最終給出的偏好信息分別為A1、A2、A3。下面給出其上三角矩陣關系，下三角矩陣利用逆算子即可知。

本文決策方法步驟如下：

Step1將偏好信息轉(zhuǎn)化為基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言集后，集結(jié)不同決策者對每個方案偏好信息，具體公式為

Step2計算方案Xi的得分函數(shù)和精確函數(shù)，最后結(jié)果為

E1=0.4083,E2=0.4134,E3=0.3169,E4=0.4326

H1=0.5686,H2=0.5307,H3=0.4031,H4=0.5718

Step3利用定義8得到的方案排序為X4?X2?X1?X3，從而最優(yōu)方案為X4。

以下將使用直覺梯形模糊數(shù)來集結(jié)偏好信息的方法與本文的方法進行比較。為了保持一致，決策者的權重也為v=(0.41,0.34,0.25)，具體決策步驟如下：

(16)

(17)

Step2利用文獻[23]的集結(jié)算子計算不同決策者對方案的偏好信息，公式為

(18)

Step3根據(jù)決策者的權重計算方案總的評價結(jié)果，并進行排序，其中集結(jié)算子為

(19)

所有方案的最后評價信息為

I1=<[0.4174,0.4943,0.5713,0.6482](1,0)>

I2=<[0.4195,0.4964,0.5734,0.6503](1,0)>

I3=<[0.2749,0.3518,0.4287,0.5056](1,0)>

I4=<[0.4267,0.5036,0.5805,0.6574](1,0)>

容易得到方案排序為X4?X2?X1?X3，最優(yōu)方案為X4。

比較排序結(jié)果可知兩種方法得到的最優(yōu)方案相同，并且方案的排列順序也相同。本文的方法能減少將評價信息轉(zhuǎn)化為直覺梯形模糊數(shù)造成的信息損失，并且不需要用平均直覺梯形模糊集結(jié)算子來合并決策者的偏好，而是用基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言集相對直觀地表達偏好信息。另外，本文的方法還保證了語言術語下標運算的封閉性。

5 結(jié)論

本文通過建立基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言集，解決了語言術語下標運算不封閉的問題；同時給出了基于Archimedean三角模的猶豫直覺模糊語言集的得分函數(shù)、精確函數(shù)、排序規(guī)則、加權算術平均和幾何平均算子。將本文內(nèi)容拓展到猶豫直覺模糊不確定語言以及多粒度語言的情形是進一步研究的方向。