一道高考立幾解答題的解析及教學啟示

陳藝平

(福建省龍海第一中學新校區 363100)

近日,在課堂上講解一道高考立幾解答試題,本以為是較為簡單的題目,因而沒有給出預設,學生卻在課堂上給出了不一樣的精彩解答.現整理如下,以期共勉.

一、試題呈現

(1)在平面PAB內找一點M,使得直線CM∥面PBE,并說明理由;

(2)若二面角P-CD-A的大小為45°,求直線PA與面PCE所成角的正弦值.(略)

二、課堂實錄

1.初步分析

師:本題的第一步是屬于存在性問題的證明,找出的點M必須滿足兩個條件:(1)M∈面PAB;(2)直線CM∥面PBE.請同學們思考:如何找出滿足上述兩個條件的點M?

生:思考……

師:首先,大家一起把與四邊形ABCD有關的條件理順,進而看看能得到哪些有用的結論.

生(一起):與四邊形ABCD有關的條件是:

師:是的,按照上述條件,不妨將底面四邊形ABCD單獨分解出去,如圖2所示.可知四邊形BCDE為正方形.下面請同學們思考:在四邊形ABCD中,直線AB與CD的位置關系如何?

生1:同一個平面內的兩條直線只有相交和平行這兩種情況,顯然直線AB與CD是相交的.

師:回答得很好.既然這兩條直線是相交的,我們把它們延長,交于一點,如圖3所示.假設交點為M.請同學繼續思考:這里的點M就是我們要找的點嗎?

生2:由于四邊形BCDE為正方形,所以CM∥BE.又BE?面PBE,CM?面PBE,所以CM∥面PBE.

師:該同學證明了CM∥面PBE,也就是點M滿足條件(2);還必須證明點M滿足條件(1).

生3:由于M∈AB,AB?面PAB,所以M∈面PAB.

師:同學們回答得很好,通過大家的共同努力,我們完成了本道題目第一步的證明.對于該步,我們并沒有采用建系法解決問題,這顯然不是命題者的初衷.命題者設計該步的目的,從知識層面來講是要考查同學們對立幾何中點,線,面位置關系的理解以及相關性質定理的應用,從能力層面來講是要考查同學們對圖形整體上的直觀感知能力,通過直觀的形象和對圖形的把握,發展空間想象力.因此,對于立體幾何試題,同學們要注重基礎,概念,公理,性質,定理,而不是一味地去追求建系,以算代證,從而扼殺了幾何方法的直觀簡潔之美,將幾何推證淪為機械計算的數字游戲.

2.思維碰撞

當筆者總結完本步,準備講解第二步時,學生4給出了自己的想法.

生4:我覺得還可以這么處理.如圖4所示.過點P作PM∥AB且PM=AB,則此時的點M也是符合題意的點.

師:該同學給出了不一樣的點M,說明同學們有認真在思考.那么這樣的點M能滿足上述兩個條件嗎?

生5:可以.如圖4所示,按照生4的作法,可知四邊形PMBA為平行四邊形,顯然M∈面PAB,滿足條件(1).連接CM,CE,由于CE平行等于AB,PM平行等于AB,所以PM平行等于CE,因此四邊形PMCE為平行四邊形,故有CM∥PE,即CM∥面PBE,也就是點M滿足條件(2).

師:同學們真棒,給出了不同于老師的想法,并且證明了結論的正確性,非常值得贊賞.相信通過這樣的探究,同學們對立體幾何當中直觀感知,操作確認,思辨論證，度量計算等方法認識和探索幾何圖形與空間性質的過程有了更深刻的體會.

3.乘勝追擊

在與學生一起分析了上述新的思路之后,筆者看到學生熱情高漲,不由自主地問:還有別的想法嗎?此時又有一個同學提出了自己的看法.

生6:老師,我還有一個想法.可以延長PM,使得PM=PA.則此時的點M也是符合題意的點.

師:(十分驚訝,感嘆同學們還有新的思路)這位同學又給出了一個新的思路,現在讓我們一起思考:這樣的點M能滿足上述兩個條件嗎?

眾生:(躍躍欲試,干勁十足)連接CA,交BE于點O,根據三角形的全等可知點O為CA中點.又點P為AM中點,所以CM∥PO,即CM∥面PBE,也就是點M滿足條件(2).又由于M∈AP,AP?面PAB,所以M∈面PAB,滿足條件(1).

師:同學們的思維十分活躍,又給出了一個不一樣的點M.充分說明大家真正理解了本道試題并提升數學思辨智慧以及數學核心素養.由于時間關系,對本道試題的討論暫時告一段落,大家如果有更好的解法可以課后繼續探討…….

三、教學啟示

1.課堂應該要有生成的精彩

葉瀾教授說過,課堂應是向未知方向挺進的旅程,隨時都有可能發現意外的通道和美麗的圖景,而不是一切都必須遵循固定而沒有激情的行程.布魯姆說過,人們無法預料教學所產生的成果的全部范圍,沒有預料不到的成果,教學也就不成為一種藝術了.因此,面對學生的意外,我們應耐心聆聽,睿智追問,開啟學生的思維,讓創造的火花燦爛地綻放,讓教學中的節外生枝演繹出獨特的價值.教師要善于抓住這樣千金難買的教學意外,將課堂生成的資源巧妙靈活地整合到知識思維的鏈條中.也就是說,關注生成應該成為一種教學常規,高效課堂應有精彩的生成.

2.立體幾何的教學要注重數學核心素養的培養

2014年,教育部出臺的《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》首次提出了核心素養體系這個概念，并且將核心素養定義為適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力.高中數學課標修訂組給出了數學抽象,邏輯推理，數學建模，直觀想象,數學運算和數學分析六個數學核心素養.立體幾何的教學可以很好地滲透數學核心素養.

立體幾何是研究現實世界中物體的形狀,大小和位置關系的數學學科.人們通常采用直觀感知,操作確認,思辨論證,度量計算等方法認識和探索幾何圖形及其性質.在空間幾何體部分,強調通過大量的觀察,認識柱,錐,臺,球及其組合體的結構特征.提倡動手操作和分析正棱柱,正棱錐,正棱臺側面展開圖形的內在聯系,讓學生感知其側面展開圖的關系,進一步領會數形結合思想,提高直觀想象素養.

在立體幾何定理教學中,八個定理是知識目標,應用八個定理證明一些空間位置關系的命題是技能目標.八個定理的教學思路緊密相連,均是以探究為核心,在探究的過程中讓學生實踐直觀想象,操作確認,體會數學抽象,學會邏輯推理,滲透數學核心素養.