單色點(diǎn)光源經(jīng)梅斯林透鏡的干涉現(xiàn)象分析

馮才鑫 孟慶國 馮立峰 孟慶裕 孫文軍

(哈爾濱師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150025)

光的干涉現(xiàn)象是其波動性的重要表征，若干個滿足相干條件的光波相遇時產(chǎn)生的光強(qiáng)分布不等于由各個光波單獨(dú)存在的光強(qiáng)分布之和，而出現(xiàn)光強(qiáng)相長或相消的現(xiàn)象。梅斯林透鏡可產(chǎn)生很多干涉現(xiàn)象[1-3]，但相關(guān)文獻(xiàn)對梅斯林透鏡產(chǎn)生的干涉現(xiàn)象總結(jié)得不夠全面，理論分析也不夠系統(tǒng)。本文將梅斯林透鏡的干涉進(jìn)行分類，從理論上詳細(xì)地分析了產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的基本原理，采用Matlab軟件[4-7]模擬計(jì)算了干涉光強(qiáng)的分布，并提供可視化的干涉場條紋分布，為師生的后續(xù)學(xué)習(xí)與研究提供非常有價值的借鑒。

1 基礎(chǔ)理論[8，9]

強(qiáng)度分別為I1和I2的兩列光波在空間某點(diǎn)P相遇時，若兩列光波不滿足相干條件，則P點(diǎn)的強(qiáng)度由式(1)給出；若兩列光波滿足相干條件，則P點(diǎn)的強(qiáng)度由式(2)給出。

圖1 點(diǎn)光源經(jīng)梅斯林透鏡的光路圖

其中，I1(P)和I1(P)分別為兩列光波在P點(diǎn)的強(qiáng)度；φ1(P)和φ2(P)分別為兩列光波到達(dá)P點(diǎn)的相位；而δ(P)=φ1(P)-φ2(P)為兩列光波在P點(diǎn)產(chǎn)生的相位差。令I(lǐng)1(P)=I2(P)=I0，則I(P)=2I0[1+cosδ(P)]，

當(dāng)δ(P)=2nπ時，I(P)=4I0，P點(diǎn)為干涉極大，即亮點(diǎn)，

當(dāng)δ(P)=(2n+1)π時，I(P)=0，P點(diǎn)為干涉極小，即暗點(diǎn)，

可見干涉會導(dǎo)致接收屏上強(qiáng)度的周期性分布，而非均勻強(qiáng)度。

2 梅斯林透鏡干涉

為更好地分析點(diǎn)光源經(jīng)梅斯林透鏡的干涉，給出如圖1所示的7種光路。圖1中的S為單色點(diǎn)光源，S1和S2分別為S經(jīng)L1和L2所成的像，M為經(jīng)L1和L2的邊緣光線的交點(diǎn)，建立如圖1所示的坐標(biāo)系，光軸方向沿z軸，接收屏位于xOy平面內(nèi)(y軸垂直紙面向上)，圖1(a)為薄凸透鏡對切成相等的L1和L2，并沿其光軸方向彼此錯開，軸上點(diǎn)光源S位于L1之左，△S1MS2為光線的交疊區(qū)域。圖1(b)為薄凸透鏡對切成相等的L1和L2，并沿其光軸方向彼此錯開，軸上點(diǎn)光源S位于L2之左，△S1MS2為光線的交疊區(qū)域。圖1(c)為兩個口徑相同，焦距不同的兩薄凸透鏡對切成相等的兩半，然后將各自的一半透鏡L1和L2對接在一起(L1的焦距大于L2的焦距)，兩個薄透鏡的光軸在同一直線上，△S1MS2為光線的交疊區(qū)域。圖1(d)為兩個口徑相同，焦距不同的兩薄透鏡對切成相等的兩半，然后將各自的一半透鏡L1和L2對接在一起(L1的焦距小于L2的焦距)，兩個薄透鏡的光軸在同一直線上，△S1MS2為光線的交疊區(qū)域。圖1(e)為薄凸透鏡對切成相等的L1和L2，并沿其光軸方向彼此錯開，軸上點(diǎn)光源S位于L2的前焦點(diǎn)上，△S1OM為光線的交疊區(qū)域。圖1(f)為薄透鏡沿其光軸方向上下對稱切去一小部分， 然后對接在一起，單色點(diǎn)光源S不在L1和L2的焦平面上。圖1(g)為薄透鏡沿其光軸方向上下對稱切去一小部分，然后對接在一起，單色點(diǎn)光源S位于L1和L2的焦平面上。

2.1 匯聚球面波與發(fā)散球面波之間干涉

圖1中(a)、(b)、(c)、(d)的兩個像點(diǎn)S1和S2在同一光軸上，產(chǎn)生的干涉均可看作為發(fā)散球面波與匯聚球面波之間的干涉。若S1在前，則發(fā)出的為發(fā)散球面波；若S1在后，則發(fā)出的為匯聚球面波。

另S1和S2距接收屏的距離分別為d1和d2，以圖1(a)為例，S1發(fā)出的為匯聚球面波，S2發(fā)出的為發(fā)散球面波，則傍軸近似下接收屏上會聚球面波和發(fā)散球面波的復(fù)振幅分別為

兩列光波在接收屏上各點(diǎn)的相位差為

式中，φ0=k(d2+d1)-(φ20-φ10)為兩列光波在坐標(biāo)原點(diǎn)O處的相位差；φ10和φ20分別為兩列光波在像點(diǎn)S1和S2處的初相位；而對于確定的干涉裝置，d1，d2均為確定值，即d1+d2為常量，則可令φ0=0。

干涉條紋的軌跡方程為

圖2 干涉條紋分布-同心圓環(huán)

圖1(a)與圖1(c)兩束光的交疊區(qū)域(△S1MS2)在x軸上方，形成的干涉條紋為以原點(diǎn)O為圓心的同心半圓環(huán)，如圖2(a)所示；圖1(b)與圖1(d)中兩束光的交疊區(qū)域(△S1MS2)在x軸下方，形成的干涉條紋為以原點(diǎn)O為圓心的同心半圓環(huán)，如圖2(b)所示。

對于第n級明紋有：δ(x,y)=2nπ

看見條紋內(nèi)疏外密。

2.2 平面波與發(fā)散球面波之間干涉

如圖1(e)所示，單色點(diǎn)光源S經(jīng)L1成像于S1，進(jìn)而發(fā)出發(fā)散球面波，而S經(jīng)L2變成平行于光軸的平面波，兩束交疊區(qū)域?yàn)椤鱏1OM，在z軸下方。傍軸近似下發(fā)散球面波與平面波的復(fù)振幅分別為

令φ0=0，則干涉條紋的軌跡方程為ρ2=x2+y2=常量

可見條紋是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的同心半圓環(huán)，如圖2所示。

2.3 兩發(fā)散球面波之間干涉

圖1(f)中的兩像點(diǎn)S1和S2不在同一光軸上，產(chǎn)生的干涉可看作為兩發(fā)散球面波之間的干涉。此種干涉現(xiàn)象類似于楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)[9]。令接收屏上任意一點(diǎn)P到光軸的距離為x，兩像點(diǎn)之間的距離為d，兩像點(diǎn)到接收屏的距離為D，若滿足傍軸和遠(yuǎn)場條件(x2?D2，d2?D2)，

2.4 兩平面波之間干涉

當(dāng)單色點(diǎn)光源S位于L1和L2的焦平面時，如圖1(g)所示，S發(fā)出的球面波經(jīng)L1和L2后分別變成兩束平面波，此時接收屏上的干涉場變成了兩平面波的干涉。

如圖1(g)所示，接收屏上P對應(yīng)坐標(biāo)為(x,y,0)，則有：

對于固定的干涉裝置，θ為定值，這樣光程差、相位差只與坐標(biāo)x有關(guān)，可見干涉條紋為直線條紋。

因亮紋處對應(yīng)ΔL=2xsinθ=nλ

可見接收屏上的干涉條紋為平行于y軸的等間距直線條紋，如圖3所示。

綜上所述，單色點(diǎn)光源經(jīng)梅斯林透鏡所產(chǎn)生的干涉可分為4類，形成的干涉條紋有兩種：平行直線條紋和同心半圓環(huán)。

3 結(jié)語

論文理論上詳細(xì)分析了單色點(diǎn)光源經(jīng)梅斯林透鏡產(chǎn)生的4類干涉(匯聚球面波與發(fā)散球面波之間的干涉、發(fā)散球面波與平面波的干涉、兩發(fā)散球面波之間的干涉、兩平面波之間的干涉)產(chǎn)生的干涉現(xiàn)象，并采用Matlab軟件模擬了上述4類干涉形成的干涉場光強(qiáng)分布圖，生動形象地展現(xiàn)了單色點(diǎn)光源經(jīng)梅斯林透鏡所產(chǎn)生的干涉現(xiàn)象，為相關(guān)師生的今后學(xué)習(xí)與研究提供了有價值的理論與技術(shù)借鑒。