傳輸矩陣法在大學物理波動光學教學中的應用

王 輝 朱 浩 樊代和 吳 平 何 鈺 馬小娟

(西南交通大學物理科學與技術學院，四川 成都 611756)

1 提出問題

在現代光學技術中，從基本的光學元件增反膜和增透膜[1]，到超快光路中用來補償飛秒激光色散的啁啾鏡，以及半導體微腔領域中廣泛使用的分布式布拉格反射器(DBR)[2]，這些光學元件基本的特征是具有均勻各向同性的多層介質結構，其基本原理是線性光學范圍內的電磁波的疊加干涉原理[3]。

對于多層介質光學系統，由于電磁波在介質分界面上的多次反射和折射，形成了復雜的多光束疊加干涉。多光束的疊加干涉是大學物理波動光學中的重點教學內容。在大學物理的教學過程中，對于多光束的疊加干涉一般以闡述光程差為主，相應的明暗條紋分布公式也相對抽象，不利于直觀地反映光學系統的光學特性[4]。如何更直觀地反映電磁波在多層介質上的傳播性質，對于深入理解物理基本概念、培養學生的創新能力和“學以致用”的能力具有重要意義。

傳輸矩陣法在薄膜光學中廣泛用于處理多層介質的光學特性，在光學器件的設計和應用中起到了重要的作用[5-7]。傳輸矩陣法采用矩陣形式處理復雜的多光束疊加干涉的過程，最終從反射系數和透射系數的角度來衡量光學系統對電磁波幅度和相位的調制，從而能更直觀地反映光學系統的工作原理和光學特性，同時更清晰地闡述電磁波相干疊加的物理意義及其應用。

我們通過向學生布置小課題的形式，讓學生應用Matlab軟件解決、研究具體物理問題。Matlab是美國MathWorks公司開發的一套高性能的數值計算和可視化軟件，由于其具有豐富的計算功能和科學計算數據的可視化能力，在大學物理教學和培養學生的科學素養方面具有重要的應用價值[8-11]。我們以“增反膜”為研究起點，同時鼓勵本科生進階到較復雜的“分布式布拉格反射器(DBR)”光學系統的研究。通過建立物理模型，基于傳輸矩陣思想以及Matlab編程讓本科生對大學物理波動光學中電磁波的相干疊加進行了深入研究。實現了多層介質系統中傳輸矩陣的數學算法，直觀形象地展示了電磁波在多層介質分界面上的傳播性質和光學器件的光學特性。

2 多層均勻平板介質系統的傳輸矩陣原理

多層均勻平板介質系統的傳輸矩陣的基本思想是將電磁波的電場分量和磁場分量所遵循的麥克斯韋方程組在邊界上分解為線性方程組，電場分量和磁場分量的振幅和相位的改變通過其系數，即矩陣元來改變，因此出射電磁波的場分量和入射電磁波的場分量通過傳輸矩陣相聯系。假設系統含有n層介質，如圖1所示。

圖1 傳輸矩陣示意圖

最終從第一層介質反射的波Er與入射波復振幅的比值為系統的總反射系數r，從第n層透射的波Et與入射波復振幅的比值為系統的總透射系數t：

Er=r·Ein，Et=t·Ein

(1)

(2)

其中rn-1,n，tn-1,n為第(n-1)和第n層分界面上的反射系數和透射系數，它們可由菲涅耳公式給出[12，13]。對于理想的無損耗介質，介質內的傳播矩陣只改變在其中的傳播波的相位，因此與傳播相位因子相聯系：

(3)

其中β為傳播相位因子，由第(n-1)層的介質厚度dn-1、折射率nn-1以及角度θn-1給出：

(4)

界面矩陣和傳播矩陣共同作用在入射波上來調制入射波的振幅和相位，因此對應系統的總的傳輸矩陣為

(5)

有了傳輸矩陣S，總的反射系數r和透射系數t，可由傳輸矩陣的矩陣元給出：

(6)

上述公式默認存在2個以上的介質分界面，即n≥3。對于n=2的情況，即單一分界面，不存在傳播矩陣，傳輸矩陣S退化為單一的界面矩陣H1,2，這時系統的總的反射系數和透射系數就是菲涅耳公式給出的單一界面的求解公式[12-13]。

3 實例分析

3.1 研究案例1：增反膜

在大學物理教學中，對于“增反膜”內容的教學一般是圍繞干涉相長和相消的條件展開，學生接受起來比較抽象，不利于直觀地反映光學系統的光學特性。在我們給學生布置的“增反膜”小課題中，基于傳輸矩陣思想，通過Matlab編程，從反射率、透射率的角度，直觀展示了增反膜的反射率、透射率隨入射波長及介質膜厚度的變化規律，同時直觀展示了能量守恒定律。

我們以設計的 “空氣+介質膜(TiO2)+玻璃(SiO2)+空氣”增反膜結構為例展開研究，其中增反膜結構中空氣折射率n1=1、介質膜(TiO2)折射率n2=2.45、玻璃(SiO2)折射率n3=1.5。

3.1.1 反射率、透射率隨入射波長的變化規律

川端康成將女性當作是圣潔的化身與純潔愛情的象征，對少女美的執著與追求，使其成為審美的主體，并且毫不掩飾地對這種美進行贊譽與褒獎。作者還會將女性的美當作是現實社會中的精神救贖者，因此展現出女性的生命意義與價值，《睡美人》將女性生命的意義表現得淋漓盡致，并詮釋了女性的價值，男性崇拜與敬畏此種女性特有的救贖意義，這也讓其作品具有了更為深刻的理性探索價值。

選取可見光波段λ(390～730nm)，入射角為30°，介質膜厚度為150nm，玻璃厚度為5mm。反射率、透射率隨入射波長的變化如圖2、圖3所示。

圖2 反射率隨入射波長的變化

圖3 透射率隨入射波長的變化

從圖2、圖3可以看出，在入射角度和介質膜厚度確定的條件下，增反膜的反射率隨入射波長大體上呈先增后減的趨勢，在波長460nm附近達到最大值0.58；透射率隨入射波長大體上呈先減后增的趨勢，在波長460nm附近達到最小值0.42。圖3中透射率的變化和圖2中反射率的變化趨勢相反，但透射率和反射率的和始終等于1。

3.1.2 反射率、透射率隨介質膜厚度的變化規律

設定入射波長為600nm，入射角為30°，介質膜厚度為100～190nm，反射率、透射率隨介質膜厚度的變化規律如圖4、圖5所示。

圖4 反射率隨介質膜厚度的變化

圖5 透射率隨介質膜厚度的變化

如圖4所示，反射率隨介質膜厚度的變化大體上呈現先減后增再減的趨勢。在介質膜厚度為115nm時反射率最小；在115～180nm之間，反射率隨介質膜厚度的增大而增大，并在介質膜厚度為180nm時達到最大值，最大值為0.5左右。在180～190nm之間，反射率又隨著介質膜厚度的增大而減小。如圖5所示，透射率的變化規律和反射率的變化規律相反，但反射率和透射率之和仍然為1。

3.2 研究案例2：分布式布拉格反射器

在“增反膜”研究的基礎上，我們鼓勵學有余力的學生進一步進行拓展、深入研究。例如，我們構建了由砷化鎵GaAs和鋁化砷AlAs組成的分布式布拉格反射器(DBR)。為了更好地模擬實際情況，我們考慮了組成DBR的GaAs和AlAs的實驗測定的折射率。設定入射波長范圍為800～1100nm, 在此范圍內GaAs和AlAs的折射率隨波長緩慢變化。我們選取其折射率的平均值來設計DBR中GaAs和AlAs的厚度，設定為相應光學波長的1/4：

d1=λ0/4n1，d2=λ0/4n2

(7)

其中，n1=3.54和n2=2.97分別為GaAs和AlAs的平均折射率；d1和d2為每層GaAs和AlAs的厚度；λ0為真空中的波長。在Matlab編程中，菲涅爾公式采用p偏振光入射的情況。

以λ0=950nm為例，設置腔體長度為429nm，前后兩端的DBR的周期數為M=N=15，微腔的反射率隨波長的變化規律如圖6所示：

圖6 微腔的反射率隨波長的變化曲線

從圖6可以看出，微腔在900nm到1020nm的范圍內出現了接近于1的反射率，重要的是電磁波的干涉疊加造成了微腔在970nm處出現了帶寬很窄的共振峰，實現了很好的選頻特性。

4 結論

我們基于傳輸矩陣法的基本原理，通過Matlab編程實現了多層均勻介質系統(增反膜和分布式布拉格反射器)中傳輸矩陣的數學算法，從反射率、透射率的角度直觀展示了電磁波在復雜多層介質中的傳播，為本科生進行大學物理波動光學部分的深入、探究式學習提供了范例。通過上述研究案例可以看到，在大學物理的教學過程中，如果將數值仿真和理論知識有機融合，并對研究內容進行適當拓展，讓學生成為學習的“參與者”而非“旁觀者”，可以有效提高學生解決問題的能力和“學以致用”的能力，為本科生進行后續專業的學習和研究“留接口、開窗口”，這也是提升“大學物理課程”在新時代人才培養中的地位和作用的有益探索。