對拓撲凝聚態物理學基礎知識的教學思考

陽成熙 李 楠

(東北大學理學院物理系，遼寧 沈陽 110819)

凝聚態物理學是高等院校物理類專業高年級本科課程的重要組成部分，對學生進一步從事磁性物理學、超導物理學及納米科學等方向的學習與研究都具有重要的意義。近年來，隨著微分幾何學與拓撲學在物理學中發揮越來越重要的作用，拓撲凝聚態物理學逐漸發展為一個具有深刻理論基礎與廣泛實驗應用的領域。2016年Nobel物理學獎就被授予這一領域的3位物理學家Thouless、Haldane和Kosterlitz，以表彰他們在凝聚態物質的拓撲相與拓撲相變領域的理論研究[1]。因此，在物理類專業高年級本科課程中開展拓撲凝聚態物理學基礎知識的教學，不但可以豐富傳統固體物理學的課程內容，也對學生盡快了解凝聚態物理學的前沿與生長點具有深遠的意義。

盡管拓撲凝聚態物理學在實驗與理論上的發展日新月異，然而令人遺憾的是，當前本科物理類專業課程中并未給予這一前沿領域以足夠的重視。首先，在大部分高校物理類專業的固體物理學教學中，仍然只講授單電子能帶理論的傳統內容，著重從電子能帶的色散關系εn(k)出發分析物質的電子性質，而并不涉及電子能帶結構的拓撲性質。其次，在量子力學的教學中，反映電子波函數拓撲性質的Berry相位理論也較少被提及。進而，在熱力學與統計物理學的教學中，關于物質的相與相變的知識也一般局限在Landau的連續相變與對稱破缺理論，而很少從拓撲學的角度來考慮物質相的分類與相變。然而事實上，拓撲凝聚態物理學中的基本思想是完全可以給物理類專業高年級本科生講授的。為此，我們面向三年級本科生，組織了拓撲凝聚態物理學基礎知識的討論班。我們希望借此開闊學生的科學視野、激發學生的求知熱情、深化學生對課堂知識的理解，達到不同課程之間(量子力學、統計物理學、固體物理學等)的融會貫通，并最終為學生接觸凝聚態物理學研究的前沿課題做好鋪墊。本論文在教學實踐的基礎上，以拓撲凝聚態物理學中的典型問題——量子Hall效應為切入點，對拓撲凝聚態物理學基礎知識的教學提出一些思考。

1 數學與物理學的預備知識

Hall效應是指在有電流通過的導體上加入外磁場后，導體邊緣產生電勢差的物理現象，其發現迄今已有百年以上的歷史[2]。經典Hall效應可以由導體中的電子在外磁場中受Lorentz力而偏轉得到合理的解釋。然而，在低溫與強磁場下，還會出現更加豐富多彩的量子Hall效應。1980年，von Klitzing 等人發現了整數量子Hall效應[3]，其本質則由Thouless等人在1982發表的論文[4]中給出了影響深遠的解釋，其中揭示了Hall電導的量子化與電子能帶結構的拓撲性質之間的深刻聯系。從此，拓撲學思想在凝聚態物理學中得到廣泛應用，物質的拓撲相與拓撲相變已成為當前凝聚態物理學中的研究熱點。進而，實驗上又相繼發現了分數量子Hall效應[5]、量子自旋Hall效應[6]、拓撲絕緣體[7]等物理現象，相應的實驗與理論研究成果極大地推動了拓撲凝聚態物理學這一領域的發展。迄今，整數與分數量子Hall效應的實驗發現與理論研究均已被授予Nobel物理學獎。

量子Hall效應的教學需要在傳統固體物理學的基礎上，進行一定的數學與物理學相關知識的擴充，主要體現在3個方面：微分幾何學與拓撲學、量子力學、固體物理學，其中涉及的數學與物理學概念(如示性數、Berry相位等)在物理類專業本科教學中通常較少提及。為此，本文分3個方面依次對這些數學物理知識做必要的鋪墊，理解這些內容可以極大地提升學生對數學與物理學的認知能力。

1.1 微分幾何學與拓撲學

必要的數學基礎是理解拓撲凝聚態物理學的前提，其核心內容是閉曲面的Gauss-Bonnet公式：

(1)

其中，等號左邊的K為閉曲面上某點的Gauss曲率;dA為閉曲面的面積元，所以上式等號左邊完全由閉曲面的局域幾何性質決定；等號右邊則是刻畫閉曲面整體性質的2個拓撲不變量：閉曲面的虧格數g與Euler示性數χ，兩者的關系為

χ=2-2g

(2)

因此，Gauss-Bonnet公式把閉曲面的局域微分性質與整體拓撲性質有機地聯系在一起。進而，我們分別以虧格為0的球面S2與虧格為1的環面T2為例，引導學生計算驗證了式(1)。下面，分別闡述教學中需要注意的問題。

首先，對于式(1)中等號左邊，關鍵在于介紹Gauss曲率K。考慮到學生已經在狹義相對論中學習過張量運算，并在高等數學中接觸過基礎的微分幾何學，因此，可以比較容易地引入曲面的第一基本形式，即曲面上兩點間線元平方ds2的二次型表達式，

ds2=gμνduμduν

(3)

其中，uμ,uν(μ,ν=1,2)為曲面的坐標；gμν為曲面的度規。進而，再形象地引入曲面的第二基本形式，即曲面上某點鄰域內的另一點對該點處切平面的偏離δ的二次型表達式，

2δ=ωμνduμduν

(4)

由此，說明利用曲面上某點處的兩個基本形式之比就可以刻畫曲面在這一點某個方向上的彎曲程度，即曲面的法曲率κn=2δ/ds2。很容易看出，法曲率在兩個正交的方向上分別有最大值κ1與最小值κ2。在此基礎上，即可給出曲面的Gauss曲率K：

(5)

這樣下來，學生就會比較自然地接受這些概念。考慮到一些高水平的學生學習過廣義相對論，我們還可以進一步討論二維曲面的Gauss曲率與二維流形的Riemann曲率、Ricci曲率及Ricci標量的關系，從而更深刻地理解Gauss曲率的幾何意義。

其次，對于式(1)中等號右邊，虧格數g可以直觀地理解為閉曲面上孔洞的數目(見圖1)，Euler示性數χ則可定義為

χ≡F-E+V

(6)

其計算方法為在閉曲面上任意選定V個點，再畫出E條彼此不相交的曲線段連接各點，并將閉曲面分為F個曲面片，由此即可計算閉曲面的Euler示性數χ(見圖2)，且可證明χ與閉曲面的剖分方式無關。事實上，這正是高中數學中凸多面體的Euler公式對閉曲面情形的推廣。這樣的定義可以讓學生容易接受、便于理解，同時還可以形象地解釋拓撲不變量的幾何意義。通常，拓撲學的數學抽象性并不切合物理類專業學生傾向于直覺的思維特點，因此說明拓撲不變量是閉流形在同胚映射下的不變量，這對于教學并不必要，只需簡單說明閉曲面在連續形變后，其虧格數g與Euler示性數χ保持不變即可。進而，需要著重闡明的則是這兩個量與閉曲面的局域性質無關，而是描述其整體性質的參量，這樣可以為后面講解電子能帶結構的拓撲性質做好數學上的必要準備。

圖2 Euler示性數圖解

誠然，上述的數學準備工作需要花費一定時間與精力。雖然不具備這些數學知識也可以為學生講授拓撲凝聚態物理學的基本思想，但我們認為對物理學的深入理解必然要建立在堅實的數學基礎之上，為此值得花時間介紹這些微分幾何學與拓撲學基礎。我們確信物理學與幾何學是相通的，恰如幾何學大師陳省身所言“物理幾何是一家，共同攜手到天涯”。

1.2 量子力學

在必要的數學準備之后，我們轉入物理學部分。量子Hall效應中所需的量子力學知識主要是Berry相位理論[8]。

γn≡i ∮〈n(λ)|?α|n(λ)〉dλα

(7)

與一般的Schr?dinger方程中波函數的動力學相位不同，Berry相位是一種幾何相位。由此，可以進一步引入Berry聯絡：

An,α≡i〈n(λ)|?α|n(λ)〉

(8)

那么，Berry相位就可以Berry聯絡線積分形式表述：

(9)

在參量空間中存在以閉合路徑C為邊界的曲面S，那么，由廣義Stokes定理：

(10)

可以進一步引入Berry曲率：

Fn,α β≡?αAn,β-?βAn,α

(11)

作為上述一整套概念的應用，分別討論了磁場中的定域電子與晶格周期場中的單電子這兩個學生熟悉的模型，并通過具體的計算促進學生對以上概念的理解。

進而，結合電動力學中電磁勢Aμ與電磁場張量Fμν≡?μAν-?νAμ的關系以及電磁勢的規范變換，類比地幫助學生深化理解。很容易看出，Berry聯絡就相當于參量空間中的電磁勢，而Berry曲率則相當于參量空間中的電磁場張量。同理，在參量空間中的相位規范變換下，Berry聯絡具有與電磁勢一樣的規范變換形式，而Berry曲率則與電磁場張量一樣具有規范不變性。在三維參量空間中，Berry聯絡相應于三維坐標空間中的磁矢勢，Berry曲率相應于磁感應強度。進一步由3維形式的Stokes公式不難看出，Berry相位正是參量空間中的磁通量，具有相位規范不變性，這表明Berry相位實際上是一種可觀測的物理效應。推而廣之，還可以進一步向學生介紹電磁勢就是U(1)纖維叢上的聯絡，而電磁場則是其上的曲率，甚至還可以引申到引力場中的度規、聯絡與曲率的關系。

這樣通過不同課程中的知識進行類比，不但可以加深學生對新老知識的理解，更可以使學生意識到不同領域之間的交叉是學術創新的重要源泉，從而培養學生綜合運用物理知識去分析問題的能力。此外，我們還采取了固體物理學中構造具體模型去分析問題的思路，這樣可以使學生對所學的理論有一個實際的印象，避免了只談理論本身而帶來的空洞感。

1.3 固體物理學

對于固體物理學基礎，采取對討論課所涉及的內容選擇性地重點講解。例如，整數量子Hall效應涉及到能帶電子的平均速度，而學生在固體物理學課程中通常只了解能帶電子在Bloch波包狀態的群速度：

(12)

但是他們不理解這也正是電子處于Bloch本征態|ψn(k)〉時的平均速度。因此，我們特別在這一關鍵知識點上給出了完整的推導，以使學生深化理解。

又如，量子Hall效應中會反復涉及到周期性邊界條件，然而從教學實踐來看，學生對周期性邊界條件的理解并不深刻。通常，學生很少意識到周期性邊界條件需要建立在平移對稱性這一前提上，以及周期性邊界條件實際上包含了電子本征態在正空間中的周期性與在倒空間(即k空間)中的周期性的雙重含義；更沒有認識到倒空間中的周期性會使得第一Brillouin區拓撲等價于(實際上是拓撲緊致化)倒空間中的閉流形。因此，我們著重強調了以上幾點，并以矩形第一Brillouin區為例，說明其在周期性邊界條件下，Brillouin區相對的邊界上電子本征態完全相等，故可將矩形Brillouin區相對的兩對邊界“粘合”起來，這樣得到了一個環面，即在周期性邊界條件下(見圖3)二維Brillouin區拓撲等價于虧格為1的環面T2。

圖3 環面與二維Brillouin區拓撲等價示意圖

2 課程的主要內容與討論

在介紹了相應的數學與物理學的預備知識之后，可以正式為學生講授拓撲凝聚態物理學的主要思想與基礎知識。我們將精力集中于整數量子Hall效應，這是因為：首先，它比較簡單，不需要考慮電子之間相互作用，從而在單電子量子力學的范圍內即可完全解釋清楚，因此對本科生而言是可以接受的；其次，整數量子Hall效應已經具有相當豐富的物理內涵，足以說明拓撲凝聚態物理學的主要思想。由此，整個課程的框架依次是經典Hall效應、量子Hall效應的實驗背景與結果、整數量子Hall效應的理論分析，以及分數量子Hall效應等相關內容的簡介。

2.1 重要物理量的引入

從經典Hall效應出發，對于二維導體，引入Hall電導σxy這個重要的物理量，

(13)

其中，Ix為導體中的電流強度；Vy為Hall電壓。進而，由導體中的電子在電磁場中運動的經典圖像，可以得出Hall電導與磁感應強度之間呈現的連續變化關系，從而說明邊緣電流的存在。盡管電子運動的經典圖像并不符合量子力學，但卻可以使學生對由量子理論分析而得到的邊緣手性電流有一個初步的印象。

2.2 實驗條件

介紹量子Hall效應的實驗條件，以使學生對其有一個直觀具體的物理概念。實驗的關鍵條件在于低溫T～1K與強磁場B～1T。低溫可以使電子的熱激發完全被忽略；而強磁場則可以使電子的自旋幾乎完全極化，反平行于外磁場，從而使自旋對電子態沒有影響。同時，Hall電導σxy在實驗中所呈現的各種整數與分數量子數ν也足以激發學生的學習熱情。

2.3 整數量子Hall效應的講授

至此，就可以講授作為課程重點的整數量子Hall效應了。當然，理解這個問題可以有多種角度，其中最基礎的一種可以從磁場中二維電子氣體的Landau能級出發，由此導出Hall電導的量子化。進而，引入由樣品邊界而導致的邊緣勢場，并由此說明在樣品相對的兩個邊界處出現的方向相反的手性邊緣電流，以及存在于二維體系邊界處的手性費米子等拓撲凝聚態物理學中的重要基礎概念。在此基礎上，可以由二維能帶結構導出一個在拓撲凝聚態物理學中非常美妙且重要的公式：

(14)

其中，n為能帶指標；Fn,α β(k)為第n個能帶相應的Berry曲率，BZ表示第一Brillouin區，周期性邊界條件使其拓撲等價于虧格為1的環面T2，而這正是單電子有效哈氏量的參量空間。式(14)具有深刻的物理意義，它表明對于第n個能帶，其Berry曲率在二維第一Brillouin區中的積分正好等于2π乘以一個整數Cn。這個整數Cn是第n個能帶的拓撲不變量，稱為Chern數。

Chern數Cn的物理意義可以如下理解：式(14)所體現的結果正是單電子本征態繞二維第一Brillouin區邊界一周后(即一個絕熱循環)所獲得的Berry相位，由波函數的單值性，其相位的變化必然為2π的整數倍，這個整數就是Chern數。在此，需要特別強調Chern數是能帶結構的拓撲不變量，原因在于雖然定義在二維第一Brillouin區上的電子波函數可以連續變化，但相應能帶的Chern數保持不變。進而，還可以自然地將式(14)與式(1)中的Gauss-Bonnet公式進行類比，兩者的數學形式極其相似，這進一步表明了Chern數作為能帶結構的拓撲不變量的含義，它完全類似于閉曲面的Euler示性數。由此，可以讓學生體會到數學與物理學的相通之處，使其產生觸類旁通的美妙感受。

基于前述全部數學與物理學理論，利用線性響應理論的Kubo公式[9]，可以推導出整數量子Hall效應中最核心的Thouless-Kohmoto-Nightingale-Nijs(TKNN)公式[2]，

(15)

2.4 課程的結束

通過對量子Hall效應的學習，可以讓學生欣賞到拓撲凝聚態物理學這一領域的精妙之處。同時，也可以讓學生體會到理解物理學中的第一流工作，有時并不需要極其高深的數學與物理學知識，從而幫助他們樹立探索高深課題的信心。當然，必須指出TKNN公式雖然簡單，推導也并不十分容易，其中涉及的Kubo公式屬于量子多體理論中線性響應理論的內容。這里，采用同前面介紹數學基礎時一樣的方案，直接給出Kubo公式的結果并說明其意義，同時給出參考文獻以便學生課后自學拓展。

作為課程的結束，我們為學生科普性地介紹了拓撲凝聚態物理學的前沿內容，如分數量子Hall效應、Haldane模型[10]、鐵磁體系中的拓撲現象[11]等內容，這其中有相當一部分仍然屬于物理學中的未解之謎。例如，以分數量子Hall效應為切入點，介紹了當前凝聚態物理學中最具挑戰性的課題之一：強關聯電子體系。不同于整數量子Hall效應，分數量子Hall效應中電子之間的Coulomb相互作用必須予以考慮，這也正是其難于求解的肯綮所在。此外，另一個非常重要但同樣懸而未決的強關聯電子體系問題是高溫超導。對所有這些內容進行簡單介紹的目的都是為了讓學生能夠盡早地了解物理學中還有哪些問題需要探索，哪些領域可以有所作為，從而在他們心中播撒下一顆勇攀物理學高峰的種子。

3 總結與建議

本文以量子Hall效應為例，介紹了在物理類專業高年級本科生中開展拓撲凝聚態物理學基礎知識的教學內容與實踐。首先進行了必要的數學與物理學的知識準備，主要包括微分幾何學與拓撲學、量子力學、固體物理學的拓展知識。在此基礎上，介紹了經典與量子Hall效應的基本內容，并著重推導了整數量子Hall效應中Hall電導量子化的TKNN公式。根據教學實踐，整個過程需要6～8個學時，準備知識與課程主體各半。因此，這些內容既可以設為物理系固體物理學教學的拓展部分，也可以設為凝聚態物理學的專題部分，還可以在此基礎上做進一步的引申。

當然，拓撲凝聚態物理學的內容十分廣泛，不可能在短暫的教學時間內面面俱到。為此，我們建議留出一些學生可以自己解決的問題，供其課后深入研究。例如，對橢球面的Gauss-Bonnet公式的驗證，可以使學生很好地熟悉微分幾何學中的相應計算。同樣，在簡介分數量子Hall效應的Laughlin波函數[12]的唯象理論時，我們從磁場中的二維平面內具有相互作用的二電子模型出發，希望通過這樣的模型能夠給出多電子相互作用體系的一個試探波函數。我們對這一思路進行了詳細介紹，并指出其與量子力學中氫原子二體體系的相似之處，其中的關鍵在于引入相對坐標與質心坐標以分離變量。但我們并沒有對此進行詳細的計算，而是把這個問題留給了學生。因為這樣的計算既切合課堂內容，又在難度上明顯高于課堂內容，所以非常適合作為課后練習，學生通過處理這類問題可以得到很好的鍛煉。

最后，對于拓撲凝聚態物理學這一正在蓬勃發展的領域，將課程中相關知識的原始論文發給學生課后學習，也是培養學生閱讀能力并從論文中直接獲取最新科學進展的重要方式。學生在日后開展獨立研究時，研讀第一手的原始論文必不可少，因此從最新資料中挖掘信息的能力必須盡早培養。