玻恩-黃昆方程的歷史回顧
——紀念黃昆先生誕辰100周年

王炳燊 葛惟昆

(1中國科學院半導體研究所，北京 100083； 2北京大學物理學院，北京 100084； 3香港科技大學，香港 999077)

在黃昆先生誕辰100周年之際，作為黃先生子弟和親近后輩，我們緬懷先師的輝煌業績，重溫他對凝聚態物理學的卓越貢獻。

黃昆先生生前多次說過，他自己最滿意的工作有兩件，第一件就是1950年對離子晶體中的長波光學聲子和宏觀電磁場的相互作用的研究，即黃昆方程(有時也稱Born-Huang方程，即玻恩-黃方程[1])；另一件則是與晶格弛豫有關的多聲子光躍遷[Huang-Rhys參數，是黃昆與妻子A.Rhys(中文名李愛扶)合作的成果]和無輻射躍遷理論。

本文將集中討論黃昆方程出現的歷史背景以及這一組方程的方法和結論對固體物理學(即現在統稱的凝聚態物理學)在當時和對后來發展的重大意義。

20世紀40年代，固體的電子態理論才起步不久，對于實際材料的各種性質的理論計算剛剛開始，此時對于固體的物理性質的理論研究都是從理論上認識比較清楚的離子晶體開始。黃昆先生那一代物理學家，都注意到介電函數是關鍵的物理量，因為它不僅決定物質的電學性質，而且決定物質的光學性質。對許多純凈的離子晶體而言，在可見光波段它們是透明的，而在紅外波段則有許多豐富的現象。而這又與固體的一類晶格振動即光學聲子譜緊密聯系。光學聲子即晶格內原子的相對振動,在離子晶體中是正負離子的相對振動。

黃昆方程正是把光波與光學聲子關聯起來。一開始人們沒有意識到它的重要價值。一個真實的故事是，當黃昆方程的論文[1]1投稿時，審稿人認為該文只是重新證明了著名的Lynddan-Sache-Teller關系，堅稱黃昆的論文只是LST關系的另一種證明而拒稿。幸虧黃昆先生的老師莫特教授(N.F.Mott，1977年獲得諾貝爾獎)了解這篇文章的重要意義，親自出面推薦才得以發表(1)事實上黃先生的這一工作在公開發表之前，先發表在一個內部報告上：K.Huang, The Phenomenological equations Motion for Ionic Crystal Lattices, E.R.A. Report(1950), Ref. L/T239)。另外 烏克蘭科學家К.Б.Толпыгоб[5]在1950年也獨立提出了相似的理論，但他的工作并未產生廣泛的影響。。

現在我們首先來看LST 關系的提出和意義。1938—1940年間，Lyddane[2]和Frohlich and Mott[3]分別獨立證明了橫光學聲子 TO(振動方向與傳播方向垂直)的頻率ωt低于縱光學聲子 LO(沿傳播方向振動)的頻率ωl。這些研究都需要對電子和離子的微觀狀態作詳細計算，這在當時的條件下，無論是在理論方法和計算條件上，都是極端困難的任務。1941年，Lyddane[4]引入了有效電荷的概念，通過這一概念，他們得出以下的LST關系

其中ε∞和ε0分別為高頻(頻率遠高于聲子頻率)和靜態(ω=0)的介電常數。

LST關系把聲子的兩種本征頻率和作為宏觀可測量的介電常數聯系起來，并不需要離子晶體內部相互作用的細節，因此是一個普遍的關系，具有重要的意義。

現在我們來分析黃昆先生的工作[1]與Lyddane等人的LST關系的工作有什么不同。從具體的物理圖像對應的基本原理出發，而不是跟隨別人已有的工作，是黃昆科研實踐的一個顯著特點，也是他能夠成功原始創新的重要因素。黃昆天才地把電場E和磁場H所滿足的麥克斯韋方程和光學聲子的振幅w的動力學方程聯合起來，他所提出的光學聲子振幅的動力學方程為

這就是著名的黃昆方程，它把光學聲子的振動動力學與晶體的極化和外加電場(即光波中的電矢量)巧妙而合理地聯系起來。這組方程在本質上與許多重要的物理方程一樣，不是推導的結果，而是基于高度的洞察力和對物理原理的抽象概括。物理學中最重要的牛頓方程和薛定諤方程也是這樣產生的。首先將這個方程與麥克斯韋方程中的電位移矢量的散度方程相聯合，

k·(E+4πP)=0

其中P是極化矢量，k為波矢，ω為頻率，c為光速。經過嚴密的數學推導和物理分析，把黃昆方程中4個b系數用物理上宏觀測量可以得到的靜電介電常數ε0和高頻介電常數ε∞，橫波光學聲子頻率ωt，縱波光學聲子頻率ωl表達出來，就得出，對于縱波，有k∥E∥w，同時k·D=k·(E+4πP)=0，進而得出：

這個結果與LST關系式完全一致，但出發點完全不同，而且不是黃昆方程最重要的意義。

黃昆的新貢獻更在于，他進一步引入了電磁波傳播的遲滯(retardation)效應，即離子之間庫侖相互作用不是瞬時發生的。此時必須考慮麥克斯韋方程組中的其他幾個與磁場有關的方程：

再代入LST關系，即得到一種全新的介電函數的色散關系：

這是前人從未得到過的結果。用這個介電函數來研究電磁波在固體中的傳播時頻率和波矢的關系，結果如圖1所示。橫向光學聲子的特殊性，恰好反映了光波的橫波性質。

圖1 離子晶體中光的色散

讓我們具體來分析黃昆的工作與LST工作的區別和革命性進展。首先，這里考慮了遲緩效應，這是LST完全沒有考慮的，而這一個非常明顯的區別，在物理上的差異是很大的；其次，LST對縱向電場和橫向電場的極化效應的處理，是采用普通物理中對于靜電場極化的冗長的討論，雖然其結果是正確的，但邏輯并不嚴密，而黃昆利用的是嚴密的數學推導(他的原始論文“On the interaction between the radiation field and ionic crystals”中推導長達14頁)，簡潔而優美地闡明了橫向電場和縱向電場的區別(2)嚴格來講,在晶格動力學中,只有在Brillioun區高對稱方向,縱模和橫模才可以完全分開。但在長波情況下,晶體完全可以用連續介質來描述,這一點在黃昆先生的原始文章中已經說明。在嚴格意義上，介電函數和介電屏蔽也分為縱向和橫向，但當波矢趨于零時，兩者是相等的，因此本文中不再區分。此外，黃昆方程中雖然沒有包括由于聲子散射導致的聲子壽命和譜線展寬，但這個效應很容易加入方程中以便與實驗比較，在此不再詳述。；第三，黃昆的結果完美地表現了離子晶體的紅外色散特性，明了地解釋了剩余射線(reststrahlen)[3]帶的物理起因，他指出，如果把圖1旋轉90度，就直觀地解釋了色散現象。

黃昆方程最重要的意義，可以用美國著名物理學家E.Burnstein[6]在第17屆國際拉曼會議上對黃昆的評價來概括：“Huang has changed our way of thinking about propagating EM mode in crystalline mediums”，即：“黃昆改變了我們關于電磁模在晶體介質中傳播的思維方式”。其實這里的介質，不止是離子晶體，而是包含了一切有光在其中傳播的介質。由于黃昆方程直接利用了電場與偶極子的相互作用，它也同樣適用于一切具有偶極矩的元激發與光波的相互作用，具有普遍意義。這也正是后來光波與激子(exciton)耦合的極化激元(polariton)的原始物理基礎。

在人們傳統的理解中，光進入固體以后，就以真空光速除以(介電常數)的速度傳播，再通過電場的極化作用，激發光學聲子或其他元激發。而黃昆指出，事實并非如此，光進入固體后，就與貢獻介電常數的元激發(不只限于橫偏振光學聲子)相互作用而耦合在一起傳播，且對同一個波矢，會存在兩個頻率的波，其中每一個波的電磁波和機械振動成分和相應的能量所占的比例隨頻率變化。特別是，橫、縱元激發的頻率不同，而在這兩個頻率之間，電磁波不能傳播。這是一個全新的物理圖景，徹底顛覆了光波獨立傳播、不與元激發耦合的傳統觀念。這一思維方式的轉變，在各種物理現象中具有普遍的和重要的意義。黃昆方程也使人們對介電常數的意義有了更深入的理解并達到一個新的高度。這樣表示的介電常數，也與后來由嚴格的線性響應理論導出的結果完全一致。

必須指出，盡管黃昆方程組是以經典電動力學和經典力學來表述的，但是其實質內容和結論與量子力學和量子方法的表述完全一致。J.J.Hopfield[7]在1958年關于光子與激子耦合的工作就證明了這一點：激子與光子耦合的色散曲線與圖1所表示的完全一致，只是縱橫聲子變成縱橫激子。事實上，把黃昆方程開創的這種電磁波(光子)與晶格振動(聲子)的耦合予以量子化，就成為一種新的準粒子。S.Pekar (Пекар)[8]在1957年將其命名為polariton(3)polariton 一般翻譯成極化激元，有人提議翻譯成電磁耦合子，黃先生自己在私下則表示應當稱為色散子，因為它完整地描述了固體的色散。，中文一般譯為為極化激元(有人提議翻譯成電磁耦合子，黃先生自己在私下則表示應當稱為色散子，因為它完整地描述了固體的色散)，現在甚至出現了polaritonics的名詞，儼然已經成為一門新的子學科，可見其在學術和應用上的巨大影響。由于黃昆在論述過程中已經成功地把宏觀電場和微觀電場分離，之后幾十年間雖然固體中電子和聲子態的理論研究已經有了非常大的改變和發展(4)介電函數理論現代形式,即動力學非局域介電矩陣,其中微觀場和宏觀場的聯系是其在倒格子空間的非對角元來體現的，而黃昆方程得出的介電函數，通過高頻介電常數和靜態介電常數和縱橫光學聲子頻率，完美地描述了聲子態對長波下宏觀介電函數的貢獻，而不用去關心宏觀場與微觀場關系的細節。而在實際問題中，人們只會涉及長波下宏觀介電函數。感興趣的讀者可以參看有關的文獻。，但黃昆方程仍然保持著它旺盛的生命力。

物理學本質上是一門實驗科學，這樣一種物理上全新的圖景，不僅引起理論工作者的注意，也理所當然地激發了實驗工作者以極大熱情用各種實驗來證實polariton的存在。如C.H.Henry 和J.J.Hopfield[9]在磷化鎵(GaP)中用拉曼散射證明了polariton的存在，準確測量了其中polariton上下兩支的色散曲線，證明了polariton理論的正確性(見圖2)。

圖2 GaP中聲子polariton的色散曲線理論值和Raman散射實驗結果

由于半導體中絕大部分激子(exciton)也有偶極距，因此也能形成polariton，由于激子具有明顯的色散，盡管原始的黃昆方程中沒有包括色散(光學聲子一般色散比較小，通常可以忽略，這也是晶格振動Einstein模型的由來)，但是方程完全可以不加改變地擴展到包括色散的情形。J.L.Birman等人[10,11]發展了exciton-polariton的布里淵散射理論，1977年C.Weisbush等[12]在砷化鎵(GaAs)中進行布里淵散射實驗，結果完全與理論符合(見圖3)，進一步證明了Polariton理論的正確性。

說到激子的色散，Polariton理論還預示了一個新的物理現象，即某一頻率的光進入固體后，在一定條件下會變為兩支快慢不同的波，被稱為附加波(additional wave)[13]，同時引出了所謂附加邊界條件ABC(additional boundary condition) 問題，在一段時間內成為研究熱點。而光學聲子的色散所引起的半導體超晶格中與電磁波相互耦合所產生的復雜現象，直到20世紀80年代末才由黃昆先生本人和朱邦芬[14]提出的黃-朱模型予以闡明。

實際上，固體中能與電磁波耦合的元激發不限于聲子和激子，而涉及的相互作用也不限于光與電偶極子。在電偶極子被禁戒的情況下，與磁偶極子等都可以形成polariton，因此在現代物理中，有各種各樣的polariton，如自旋波polariton等。polariton這一概念已經深入到物理學的許多領域。比如plasmon、表面plasmon與電磁波的耦合，光子晶體等領域，都是這一理論的擴展。1972年，在意大利的Taormira召開了第一屆polariton國際學術會議，由于時值“文化大革命”，黃昆沒能參加會議，但他在1951年的開創性工作得到與會者的高度評價，而他那篇20多年前的文章被列入會議文集[15]，這幾乎是史無前例的。黃昆先生是當之無愧的polariton理論的開創者。

1905年，玻恩把長聲學聲子的微觀參量和宏觀參量即彈性系數和泊松比聯系起來，35年后黃昆方程把長光學聲子的微觀參量和宏觀的介電常數與色散性質聯系起來。這是一個偉大的傳承和發展。同時，黃昆方程把縱光學長波振動與宏觀電場相聯系，也為后來H.Frohlich[16]提出著名的電聲子極性相互作用理論奠定了基礎。從更廣闊的視野來看，黃昆先生這件工作的重大意義還不止于此。一般來說，相互耦合的兩個系統是同質的，而polariton是由聲子和光子兩種不同的玻色子耦合而成的，這是量子力學態疊加原理的體現，具有啟發性的意義。

圖3 GaAs中激子polariton的Brillioun散射. (a) 計算出的polariton色散曲線; (b) Brillioun散射的理論曲線(實線); (c) 實驗點(空心和實心園點; 散射光強度隨入射光頻率的變化)

時至今日，如果以“polariton”作為搜索詞來檢索，將會得出成千上萬的結果。可以毫不夸張地說，任何與物質的光學性質相關的研究和技術應用，都與以黃昆命名的方程或遠或近地相關聯。黃昆方程和同樣由黃昆先生開創的與晶格弛豫相聯系的多聲子光躍遷理論和無輻射躍遷理論，以及黃散射等一系列原始創新的理論成果，都是凝聚態理論發展道路上光輝的豐碑，是值得我們永遠紀念和學習的！

先生的音容笑貌依然歷歷在目，先生的諄諄教誨永遠牢記心中。謹以此文，獻給敬愛的黃昆老師和李愛扶(A.Rhys)師母！

作者對朱邦芬院士的寶貴意見深表謝意。