論數學實驗教學策略、流程與環節

紀宏偉

摘要：數學學科本身具備實踐的特征，依照現階段的課改基本宗旨，數學教學有必要融入數學實驗。論述了數學實驗教學實施過程中的教學策略、一般流程，并對主要環節進行了具體分析，有利于因地制宜地選擇相應的數學實驗方式，更好地實施數學實驗教學。

關鍵詞：數學實驗;教學策略;流程;教學環節

doi：10.1608 3/j .cnki.16 71-15 80.2019.08.015

中圖分類號：G642

文獻標識碼：A

文章編號：1671-1580（2019）08-0063-04

一、對傳統數學教學的反思

我國的數學教學長期以來一直采用凱洛夫提出的傳統教學模式，即：講授模式。主要體現在以下幾個方面：以教師為中心，教師是教學的主宰者，完全掌控著課堂，對學生具有絕對權威。教師關注事實性知識的接受，重視對認知目標的任務完成，對傳授知識的關注大大高于對傳授過程中學生思維的拓展和能力的培養，忽視在學習過程中的情感、意志、態度、觀念及個性品質的培養。過度強調形式化的證明和邏輯推演，教學過程固定地按照“從定義出發一提出定理一加以證明和推論一題目演練”的路線，把活生生的數學知識變成一堆用邏輯組織起來的符號，一切的知識結論都是自然而然、水到渠成的，造成數學課程與教學過程的封閉化。教師的教學方法單調，教學方式死板單一，主要以講授、灌輸和大量機械式訓練為主，忽視了數學知識的形成、發展過程，忽視了數學與實際的生動聯系，所謂數學教學中的活動只不過就是抽象的思維活動，數學學習過程幾乎沒有實驗探究、過程體驗。學生缺乏自主活動的時間與空間，基本處于消極被動接受的狀態，自主參與課堂教學的積極性不高，學生只要跟著教師聽，跟著教材走就行了。學生的學習成了以模仿、訓練和記憶為主要特征的維持性、繼承性學習。這樣的教學模式忽略了學生的主體地位和作用，阻礙了學生在數學學習過程中的靈動與創造，對于學生的學習興趣、學習積極性、創新精神和創新能力產生了很大的負面影響，不利于學生素質提高和未來的發展。

二、應用數學實驗的切入點

長期以來，人們都把數學看成是演繹科學，將數學與概念、公理定理、解題劃上等號，數學活動只是抽象數學思維下的活動。邏輯性、嚴謹性和系統性是這門學科的主要特點，但是，歷史表明，數學不僅僅是邏輯上的推理證明，還有操作和實驗檢驗。歐拉說：“數學這門科學需要觀察，也需要實驗。”弗賴登塔爾也說：“要實驗真正的數學教育，必須從根本上以不同的方式組織教學，否則是不可能的。……它要求有個實驗室，學生可以在那兒個別活動或是小組活動。”數學實現教學著眼于數學的學習方法，強調自主探索和實踐，是一種以關注學生綜合能力培養的教學方式。數學實驗一般從以下幾個方面人手。1.探索概念的形成。為了讓學生更深刻地理解概念的形成過程，可以安排學生進行操作實驗，遵循從感性認識到理性認識的歷程，對概念的內在屬性進行概括。2.再現定理的發現過程。定理是數學家們發現和探究的結果，在定理教學中，如果依照“定理一證明一應用”這種教學路線，學生只是被動接受，失去思考的樂趣和機會，而解決這種現狀的有效途徑之一就是進行數學實驗，讓學生自己在數學實驗過程中去發現、探索，親歷定理的再現過程。3.驗證數學法則或規律。數學法則、規律具有一定的客觀性，若直接講授，可能會顯得過于抽象。數學實驗活動能夠降低數學理論的抽象程度，方便學生理解。4.探究數學性質。很多幾何圖形和函數性質之類的知識完全可以在進行數學實驗的基礎上讓學生進行理性思考，自主探索得來。

三、數學實驗教學的策略分析

（一）實驗的情境設計應能引起學生的學習愿望

布魯納認為，在教學過程中，學生是一個積極的探索者，教師的作用是要創設一種學生能夠獨立探索的情境。這種情境應有利于引起學生對數學知識的求知欲望，提高學生積極動手、動腦解決問題的意識，而不是提供現成的知識。實驗的情景能引起學生注意，在心理上產生學習的需要，產生一探究竟的內在動力，當學生置身于其中，探究的欲望油然而生，學習激情被點燃，思維潛力被激發。情境設計如果能兼顧關聯性，還能使得數學實驗提供激起矛盾的新刺激，從而具有后續研究的價值，將進一步激發學生的探究意愿和創造性思維。

（二）引導學生積極思考、自主探究、主動求知

《論語》有言：“不憤不啟，不悱不發。”杜威也強調“在做中學”。在強調教師要注重引導時，葉圣陶說過，教是為了不教。數學實驗教學關注發現問題，解決問題的過程，目的是促進發現，因此在實施過程中，應盡量鼓勵學生發揮主動性、創造性，自己多動手多動腦，引導學生在過程中思考與總結，實驗后引導學生及時對結果進行數學化的邏輯整理，借助符號解釋數學本質。由于計算機已經普及，要充分利用信息技術易操作、便捷、可視化等優勢，善于借助各種工具和手段進行多維度聯動探究，增強動手能力、思維能力。

（三）實驗的操作符合學生的認知水平和發展規律

數學實驗要建立在學生已有知識的基礎上，扎實的數學基礎知識是實驗進行的基石，數學課程標準中有“數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。”因此開展數學實驗應該結合學生的認知特點，與認知水平相適應，無論是進行數量測量、作圖、制表，還是建立思維模型、處理數據分類比較等，實驗操作不易過于復雜，所用課時不能過多。適合學生的實驗才是好的實驗，如學生對純粹的思維性探索建構式的數學實驗不適應，那就以操作性實驗題材為主，以思維性實驗作為有益的補充。學生對自行編程有一定的困難，那就減少計算機模擬實驗的使用。

（四）實驗環節中應體現交流合作的價值

交流合作在學習中具有重要作用，生生之間、師生之間的溝通、交流、討論、思維碰撞是學習深入的催化劑。學生在討論交流中直抒己見，還能從中學會傾聽、質疑、爭辯、相互接納、贊賞。學生通過別人的觀點和意見，容易發現自己對問題認識上的不足，在共同的探討問題的過程中查缺補漏，共同探索解決問題的途徑，形成互助和相互尊重。數學實驗創造更多學生與學生、教師與學生交流溝通的機會，利用學生交流、研討、相互促進的“群體效應”來提升教學效果，在整個教學過程中關注學生的情感、思維，在教師的教和學生的學之間架起一座互通的橋梁。數學實驗如同優化師生關系的潤滑劑，在開展過程中建立起一種相互理解、尊重、民主和諧的師生關系，將師生緊密融為一體，教師不僅是傳遞者、引路人，也是參與者、傾聽者，要與學生共享學習過程，促進師生共同進步。

四、數學實驗教學的一般流程和環節

一般來說，傳統的數學教學流程從總體上可以概括為“教師講授一學生練習”，反映了教師向學生傳授知識和技能的傾向，但弊端在于重結論輕過程，忽視學生主體作用。數學實驗教學是讓學生通過親自去“做”實現數學實驗的價值，在教學過程中最大限度地發揮學生的能動性。學生要得出數學結論，需要經歷比較觀察、大膽猜想、合情推理、理性思考、嚴謹證明等過程。根據這一設想，數學實驗教學的一般教學流程是：從問題情境出發，選擇計算機、手持設備等為實驗工具，學生在教師的指導下設計研究步驟，讓學生自己動手操作，發現規律，提出猜想，分析歸納，進行證明或驗證，最后獲得問題的解決方法，總體上可以概括為“問題一實驗一觀察一猜想一探究一證明”。

數學實驗教學主要環節和線路如圖1所示。

（一）創設數學實驗教學的情境

為了讓學生原有的數學認知結構與新知識之間發生認知沖突，教師應首先創設出符合學生“最近發展區”的問題情境，給學生提供一種新的學習準備和新的思維場景。創設情境是數學實驗教學過程的先決條件。“學起于思，思源于疑”。情境的設定引導學生生疑，激發學生的興趣、好奇心、注意力，喚起學生的情感活動和積極思維。心理學研究也表明：當外部的刺激能夠喚起主體的情感活動時，外部刺激就會變成主體的注意中心、興奮中心和體驗中心，從而強化對知識的記憶與理解。

從創設情境的方式上來說，根據教學內容和教學對象的不同，情境的形式也應該有所不同。教師可以創設真實情境，也可以創設仿真情境，產生身臨其境的逼真效果，也可以創設想象情境，變單一思維為多向拓展，還可以創設糾錯情境，有意識地設計出錯與糾錯環節，幫助學生在知錯中改錯，在改錯中防錯。

教學實踐表明，并非所有的情境都能引起學生的積極思維活動，因此問題情境的創設要注意以下幾點。1.描述要清晰、明確、簡潔，盡量貼近生活，要選擇學生比較熟悉的情境，捕捉其背后的數學背景，易于使學生產生共鳴。2.情境中要有問題，以便在有效的時間內發現，讓學生順利進入學習狀態。3.具有可操作性，便于學生觀察、思考，探索和發現。4.在可行性的基礎上兼具一定的難度，學生能從自己的認知出發去開展實驗操作，同時能使學生產生必要的懸念，以有利于激發學生思考。5.有一定的動態變化特征，可以模擬出從單一到復雜、從靜止到變化的情況，使所要展現的問題情境具備獨特的畫面感，有助于吸引學生的注意力。當然，創設情境只是知識的引入環節，因此情境不宜過多，該環節所用的時間不宜過長，否則會影響教學的進度。

（二）活動與實驗

著名的數學家、數學教育家波利亞提出數學學習要堅持主動學習的原則，他指出“學習過程是積極的……自己頭腦不活動起來，是很難學到什么東西的。只有自己積極主動地全身心參與到學習中去，才能真正學到知識。”布魯納說：“我們教一門科目，并不希望學生成為該科目的一個小型圖書館，而是要他們參與獲得知識的過程。學習是一種過程，而不是結果。”這些都強調了數學實驗的教學必須注重學生的“親知”。活動與實驗的方向是促使學生發現。發現過程可促使學生在已有的實驗中抓住本質，在后續的實驗中形成可預見性的策略。發現的過程，也是體驗數學“再創造”的思維過程，這一過程要突出操作。活動與實驗是整個教學過程中的主體和核心部分，上承“創設情境”，是下一環節的基礎，是真正實現變“聽數學”為“做數學”的關鍵要素。教師根據具體情況組織適當的活動和實驗，先確定主題，明確研究的方向，選擇合適的實驗T‘具并制定相應的實施步驟，然后選擇以2～5人為小組或個人獨立探索的形式開展實驗活動。學生在教師的組織指導下，親白用手工或計算機進行操作，對得出的數據和圖形進行比較觀察，對反映出的規律進行分析和歸納，對操作的結果做出客觀清晰的描述，并且這種描述最好在學生合作討論的基礎上進行。教師要給學生提供充分的動手實踐機會，要保證每個學生都參與到實驗的全部過程中。

（三）討論與交流

討論與交流也是開展數學實驗必不可少的環節。討論與交流其實在數學實驗教學的全過程中都始終存在，如在上一過程中采取邊說邊操作，邊討論邊操作等方式。

由于開展動手操作或思維訓練后，學生對數學的體驗、感悟和理解可能不同，不同的學生會由此對某個問題形成不同的假設和推論，要想對數學實驗所反映的數學知識及其內涵做到真正理解，離不開學生之間的互相討論、交流合作。只有通過學生之間的溝通互動，他們才會聽到各種不同的理解和思路，才可能看到問題的不同側面和解決途徑。

學生把各白在實驗中所得到的研究結果進行分享介紹，以便使其他學生能夠對照自己的實驗操作，進行及時的反思和評判。在這個過程中，學生還能夠學會傾聽，學會尊重，在集思廣益中獲得更多的知識，對知識產生新的理解。這一過程不僅促進了學生之間的數學交流，也鍛煉了學生的思維能力，提升了學生的合作探究意識，培養了學生數學語言的組織和表達能力。學生的思維互相碰撞，認知和情感得到提升。當然這樣的討論與交流并不局限于學生之間，也可是師生之間，如學生向教師尋求指導，師生意見交換等。討論與交流的成效，首先與先期的組內分工質量、任務職責是否明確有緊密關系，良好的效果還建立在學生認知需求和交流需求的基礎上，學生應具備一定水平的認知結構和比較豐富的數學活動經驗，并以一定的時間作保證。

（四）歸納與猜想

歸納與猜想是數學實驗教學目標實現程度的體現，也是實驗成功與否的關鍵環節。培養學生的創新意識，開發學生的創新潛能，需要猜想。波利亞曾經高度評價其作用：“僅僅把數學視為一門論證科學的看法是偏頗的，論證推理，即證明，只是數學家的創造性工作成果，而要得到這個成果則必須通過猜想。”這也是通過數學實驗來培養學生非邏輯思維能力的一個重要手段和方法。學生在活動與實驗階段，通過操作、觀察比較、分析總結，對所學知識有了一些認識，又經歷了積極的合作、交流、討論，思維處于高度活躍狀態，在此基礎上提出一些問題，結合實驗中的規律及現象，提出猜想也就成為可能。當然這種猜想不是主觀臆斷，胡亂瞎猜，而是依賴于直覺思維能力，建立在對面臨的問題有著比較深刻的理解的基礎上的，合情合理、有理有據。

（五）驗證與數學化

“單憑觀察所得經驗，是決不能充分證明必然性的。”數學不能僅靠猜想來行事。在提出猜想之后，得出的結論有待考察。學生遇到的情況主要有：提出的猜想肯定與否定都做不了，即對猜想正確性毫無把握;能夠意識到猜想是可靠的，但無法嚴格證明;舉不出反例來說明猜想是不正確的。只有經過嚴格邏輯驗證以后，得出的結論才是可信的。驗證猜想是一種完善工作，同時是學生獲得知識的重要階段，也是一種自我反思、提高的過程。數學實驗活動必然要經歷從操作實踐到數學化再到理論應用的階段。在獲得數學認識以后，有必要同到數學的現實源泉中去，在實際中加以應用，學生就會形成數學化的意識，學會用數學方法觀察現實世界，運用數學思想和方法來分析和研究現實問題。

上述環節和過程是一個有機整體的不同組成部分，它們分別有著不同的功能和重要性，但在實踐中，可以對其中的某些環節做順序上的調整，如先提出猜想，再進行實驗驗證。這樣的教學流程，實際上是使學生經歷科學家所走過的路。開展不同類型的數學實驗教學時，流程環節相似，但實施模式和步驟應靈活改變與調整。

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