例談伸縮變換在高中數學教學中的應用

張偉志

(山東省鄒城市第二中學 273500)

伸縮變換是高等幾何的重要組成部分，了解伸縮變換的性質會使一些高中數學中較難問題變得更為直觀快捷.下面先來看一個例子.

解法研究

分析和略解:

令A(acosα,bsinα),B(acosβ,bsinβ)，

則C(-a(cosα+cosβ),-b(sinα+sinβ)).

由點C在橢圓上, 代入得

(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2=1

另一方面

其實，我們可以通過圖形的伸縮變換快速得出結論.

對橢圓進行下面的伸縮變換

本質揭示

(1)理論依據

根據初等幾何的知識，我們不難得出平面圖形伸縮變換的以下性質：

①點經過變換后仍然是點，直線經過變換后仍然是直線，若一個點在直線上，變換后的對應點也在對應直線上；

②兩條平行直線經變換后仍然平行，兩條相交直線經變換后仍然相交，共點的直線經變換后仍為共點直線；

③兩條平行直線段長度之比在伸縮前后不變，我們不妨稱為伸縮不變量；

④兩封閉圖形的面積比是伸縮不變量.

由上述的不變量經過“組合”，可導出許多伸縮不變量，如線段的中點、三角形的中線和重心、平行四邊形的相關性質等，特別要注意的是，角度不是伸縮不變量.

(2)引例剖析

引申和推廣

(1)伸縮變換在面積問題中的應用

雖然角度不是伸縮不變量，在單位圓中的直角三角形經伸縮變換后不一定為直角三角形，但是我們可以依據伸縮變換的性質，得出變換前后的圖形面積之間的數量關系.

(2)伸縮變換在點線關系中的應用

下面我們運用伸縮變換的思想對上述命題加以驗證，首先我們來驗證該命題在⊙O：x2+y2=a2(a>0)中為真命題.

證明：連接A′O并延長，延長線交⊙O于點C,連接AC與A′P，設直線A′B與x軸的交點為G，并設R為⊙O與x軸的一個交點，如圖所示.

則AC與x軸平行，所以∠CAB=∠OPA,

由點A與點A′關于x軸對稱,

得∠OPA=∠OPA′,又由∠OA′G=∠CAB,

可得∠OA′G=∠OPA′,

所以△OPA′∽△OA′G,

圓是平面圖形中最優美的圖形，當橢圓通過伸縮變換為相對應的圓時，橢圓中許多較為復雜的點線關系問題便會迎刃而解了.

(3)伸縮變換在最值問題中的應用

(1)求橢圓E的方程；

(2)設過點A的動直線l與橢圓E相交于P、Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求直線l的方程.

可得x′2+y′2=4，變換后的圖象如下圖所示.

可見，利用伸縮變換將橢圓轉化成圓，再通過討論直線與圓的位置關系，可使問題得以簡化，這種變換在圓錐曲線最值問題中應用較為廣泛.

分析和略解：

可得x′2+y′2=1，為了方便觀察，我們作了變換后的圖象如下圖所示.

四邊形OPNQ與四邊形ONQP1在變換前后均為平行四邊形，

同理可得

當且僅當m=n時等號成立，

拋物線與雙曲線的變換不及橢圓那么完美，但恰到好處地轉化應用仍然可以使問題變得直觀簡潔，在不超越伸縮變換性質的范疇內，各類特殊的變換均可以作為解題的利器．以上僅是筆者對這類試題的一些膚淺的思考，更多方法還有待于我們在實踐中不斷加以探索與總結．