發揮數學的內在力量實現教“數”育人
——以新人教A版教材“指數函數”的教學為例

斯理炯

(浙江省杭州第二中學 310053)

以《普通高中數學課程標準(2017年版)》為依據的新教材即將于2019年下半年啟用.新課程基于新一輪課程改革“立德樹人、數學育人”的理念，充分體現了“一切為了學生的發展”的宗旨，以核心素養為導向，通過落實“四基”，培養“四能”，達到“三會”，即“會用數學的眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界”，著眼于學生的長遠發展，展示了其全面的育人功能.

與人教A版原教材相比，2017版新教材會有哪些變化？我們應如何以新教材為線索，在課堂中踐行以核心素養為導向的教學呢？筆者因為參與人教A版教材教師用書的“指數函數”示范課錄制工作，得以對新教材先睹為快，并在這堂課的教學研討中，對課堂教學中如何落實核心素養形成一些粗淺認識.本文對這些認識做了梳理，呈現給廣大讀者，希望得到大家的批評指正.

1 新教材中“指數函數”內容的變化

1.1 注重背景的真實性

美國著名的教育家威金斯曾經說過：“學校教育的目標是使學生在真實世界能得心應手地生活.遷移，即對理解的反映，是指能夠熟練地解決核心任務中的真實挑戰.”新人教A版“指數函數的概念”的兩個引入問題均來源于真實情景.

問題1(游客人數·增長模型)

隨著中國經濟高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式.由于旅游人數不斷增加，A，B兩地景區自2001年起采取了不同的應對措施，A地提高了景區門票價格，而B地則取消了景區門票.表格中給出了A，B兩地景區2001年至2015年的游客人次.

表4.2-1

問題2(考古·衰減模型)當生物死亡后，它機體內原有的碳14含量會按確定的比率衰減(稱為衰減率)，大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.按照上述變化規律，生物體內碳14含量與死亡年數之間有怎樣的關系？

問題1來源于杭州西湖景區取消門票以來游客數量的真實數據；問題2來源于良渚遺址的考古發現.這與原人教A版有較大的不同.真實的數據拉近了教材與生活間的距離，可以讓學生產生一種解決實際問題的使命感，使學生充分認識到“數學是有用的”.

1.2 尊重學生的認知規律

1.2.1研究順序的變化

新教材在基本初等函數的順序上作了調整，把“冪函數”提到了 “指數函數”的前面.

新教材調整后順序框圖

顯然，函數的一般概念和性質，是指數函數研究的上位知識；指數冪及其運算，是指數函數研究的基礎.調整后，冪函數的研究過程和方法，可類比遷移到指數函數的圖象與性質.也就是說，在指數函數圖象性質的研究之前，冪函數的研究已經提供了活動經驗.

這一調整有兩方面意義：一是在“冪的運算”中把指數的范圍很自然的從“整數指數冪”拓展到了“實數”，突破了指數函數定義域在由實際問題引出時的“x∈R+”到“x∈R”這個難點；二是通過對冪函數的研究，形成了較為清晰的研究一類函數的基本套路，積累了研究一類函數的活動經驗，為指數函數的研究提供了思想方法的基礎，對降低指數函數學習難度有很大幫助.

1.2.2注重數學規律的發現過程

愛因斯坦曾經說過：“發現問題比解決問題更重要”.人教A版原教材是直接通過兩個問題的引入得出指數函數的概念.而新教材則是“用運算來發現數學規律”，即要求學生根據問題1中給出的兩組數據，通過運算探究和發現數據中蘊含的規律.這一改變的意義在于，學生在指數函數概念的形成過程中，由原來的“被告知”轉變為“我發現”，強化了用數學的方法探究現實事物規律的過程體驗.

1.2.3重視借助信息技術發現數據規律

2 新教材中“指數函數的圖像和性質”的變化

在指數函數的圖像和性質的研究過程中，新教材延續了原教材由特殊到一般的探究過程，注重借助信息技術畫圖，由圖像進行直觀想象，并通過邏輯推理進行歸納、類比、提煉，著重培養學生的直觀想象、邏輯推理等素養.

2.1 明確性質的涵義

研究性質，首先必須明確需要研究的問題是什么，指數函數的性質是如何表現的.由于在指數函數概念的形成過程中，學生已經了解了增長和衰減兩類模型，他們很容易聯想到，對指數函數的研究，可將底數分為兩類(即01)進行研究，而且這兩類函數的增減性與底數a的取值(與1比)有關.同時，也要讓學生明白，研究指數函數的性質既可以從代數(即數量關系)角度入手，也可以從幾何(即圖像特征)角度入手.從代數角度分析，就是從數量關系入手，用不等式、方程等為工具刻畫函數的變化規律以及特殊的取值(函數圖像過定點).從幾何角度分析，通過指數函數的圖像不難發現，指數函數圖像都經過定點(0,1)，函數的單調性取決于底數a的取值.而且，從位置看，指數函數的增減性取決于點(1，a)(自變量的值為1時，函數值為底數a)在直線y=1的上方還是下方.

2.2 明確研究性質的方法

2.3 重視知識的實際應用

新教材“指數函數”不僅注重問題背景的真實性，還強調了知識的實用性.新教材不僅對原教材例8(人口增長模型)進行了改編(改編后為例4)，還增加了例2(經濟模型和考古模型).

例2：(1)在問題1中，如果平均每位游客出游一次可給當地帶來1000元門票之外的收入，A地景區的門票價格為150元，比較這15年間A，B兩地旅游收入變化情況.

(2)在問題2中，某生物死亡10000年后，它體內碳14的含量衰減為原來的百分之幾？

浙江大學劉徽教授曾經說過：現代教學應該“為真實而教，為真實而學，為真實而考”.從今年的高考數學全國Ⅰ、Ⅱ卷的命題變化可以發現，這也是新課程理念在高考命題中的一種體現.只有這樣才能讓學生意識到數學與生活密不可分，才能凸顯知識的實用價值和教育的時代力量.

3 如何在課堂教學實踐中落實核心素養

章建躍博士明確指出：“數學教育要著眼于學生的長遠利益，數學育人要發揮數學的內在力量，充分挖掘數學課程所蘊含的價值觀資源，圍繞學生數學學科核心素養的發展需要，以培育學生的理性精神、提高學生的數學思維能力為核心，使學生掌握‘四基’、‘四能’，學會有邏輯地、創造性地思考，成為善于認識問題、解決問題的人才.”[1]因此，在課堂教學實踐中，我們必須積極落實新一輪課程改革“堅持以人為本，以核心素養為導向” 的教學理念.堅決抵制把課堂演變成以應試為目標的解題教學模式.

3.1 重視探索核心素養的培養途徑

3.2 突破核心素養的形成難點

“指數函數”這一節內容的難點是從給出問題中抽象出指數函數的概念、通過數形結合的方法從具體到一般地探索、概括指數函數的性質.例如在突破“指數函數的概念”這一難點時，可以借助研究方法和途徑的多樣性，通過運算來發現數的變化規律，利用增長率和衰減率抽象出指數函數的概念.因此，教師在課堂教學中應注重對“利用運算來發現代數規律”這一研究方法的引導，滲透數學抽象素養的培養.一方面，面對課本提供的問題1中兩組數據的規律探究，利用第一組數據的“增長量不變(定差)”的類比和遷移，突破第二組數據“增長率不變(定商)”的規律發現；另一方面，鑒于函數模型源于生活實際，數據較多，不易處理，學生對“具體情境——發現問題——數學問題——數學表征——數學概念”這樣的抽象過程存在一定的困難(學生不習慣從運算的角度去研究兩個變量之間的關系，對層層遞進的代數化過程，有一定的障礙).在具體教學過程中，借助信息技術的條件支持，利用信息技術的運算功能和作圖功能，佐證學生在數學抽象過程中的直觀想象，幫助學生對數據規律作出理性判斷，從而彌補學生在對“用運算來發現數學規律”的認識上存在的不足.

3.3 落實素養，要著眼于學生的長遠發展

在課堂教學中滲透核心素養，不僅僅是培養學生顯性的數學學習能力，更主要的是培養學生隱性的可持續發展的能力.英國教育家懷海特曾經說過：“教育是教人們如何運用知識的藝術.當你丟掉你的課本，燒掉你的聽課筆記，忘掉你為了應付考試而背誦的細節，你的學習對你來說才是有用的.你所需要的那些細節的知識就像頭頂上的太陽和月亮一樣，都是顯而易見的事實；而你偶爾需要的，都能在任何參考文獻里找到答案.”這樣的教育，才能夠“把營養輸送給人生.”[2]

在新教材“指數函數的概念”這一節課的設計中，教材提供的兩組數據，是學生自主探究的好素材，在引導學生探究的過程中，教師對自己的角色定位非常重要.在學生探究過程中，教師既要放手讓學生探索，又要把握時機恰當適時地引領；同時，在探究中要鼓勵學生學會合作和成果分享，共同解決困難，培養學生的團隊協作意識；再次，通過對問題中數據規律的研究，讓學生學會用數學的方式研究一類變化規律，以及用數學的語言表達規律，在豐富的生活實例中，培養學生終身學習所必需的學習素養和創新能力，感受數學的文化價值、科學價值與應用價值，這樣才能使學生牢固樹立正確的價值觀，才能凸顯數學的育人價值.