自主體驗：促進學生學會學習的有效路徑①
——以“向量的加法運算及其幾何意義”教學為例

許興震

(江蘇省揚州市邗江區教育局教研室 225009)

1 問題的提出

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《課標》)指出：全面落實立德樹人的要求，深入挖掘數學學科的育人價值，樹立以發展學生數學學科核心素養為導向的教學意識，將數學學科核心素養的培養貫穿于教學活動的全過程．在教學實踐中，要不斷探索和創新教學方式，不僅重視如何教，更要重視如何學，引導學生會學數學，養成良好的學習習慣，要努力激發學生數學學習的興趣，促使更多的學生熱愛數學．可見，要讓核心素養培養落地，就要改革現有的教與學的方式．筆者近期從課堂觀察中發現，不少教師對引導學生如何會學數學重視不夠，影響了核心素養落地的效果．如何引導學生會學數學？《課標》又給出了具體的教學建議：教師要把教學活動的重心放在促進學生學會學習上，積極探索有利于促進學生學習的多樣化教學方式，不僅限于講授與練習，也包括引導學生閱讀自學、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等．教師要加強學習方法指導，幫助學生養成良好的數學學習習慣，敢于質疑、善于思考，理解概念、把握本質，數形結合、明晰算理，厘清知識的來龍去脈，建立知識之間的關聯．如何在教學中落實上述要求，筆者以執教人教A版·數學4(必修)2.2.1“向量的加法運算及其幾何意義”為例，談一談我們的做法與思考.

2 教學過程

2.1 創設情境，提出問題

師：上節課，我們以幾何、物理對象為原型，抽象出向量的概念，也學習了向量的幾何表示、相等向量和共線向量，請大家回憶我們的研究方法是什么？

生：把向量與實數進行類比.

師：順著這個思路，請同學們回想研究實數的順序和內容分別是什么？你能設計出研究向量的方案嗎？

生：我們先后研究實數的概念、實數的運算、實數的運算律、實數的運算應用舉例等.上節課我們研究了向量的概念，接下來我們應該分別研究向量的運算、向量的運算律、向量的運算應用舉例.

意圖類比是基本數學思想方法之一.在其指引下，能充分調動學生已有的學習經驗，讓學生自主地制定學習方案,并激發學生自主體驗的欲望.

問題1如何定義向量的加法？

師：請大家回答下面兩個實際問題．

背景1：過去春節期間，由于大陸和臺灣沒有直航，乘飛機要從上海(用A表示)到香港(用B點表示)，再從香港到臺北(用C點表示)，這兩次位移合成的結果是什么？如何用等式來表示這三個位移之間的關系？

背景2：一根彈簧在兩個力F1、F2的作用下，向下伸長了5cm；撤去這兩個力，用一個力F作用在這個彈簧上，使彈簧向下伸長了5cm，改變F1、F2的大小與方向，重復以上的實驗，你能發現F與F1、F2之間的關系嗎？如何用等式來刻畫這三個力之間的關系？

追問1：你所說的“和”是什么意思？“+”是什么意思？

追問2：上述兩個問題，有什么共同點？

生：位移、力都是向量；都涉及到三個向量，其中兩個向量的和等于第三向量；兩個向量的和仍然是向量．

意圖以學生熟悉的位移、力等物理量為情境，便于學生找到物理量之間的關系，發現其共性，讓學生逐步學會抽象數學概念的一般方法．

2.2 意義建構，解決問題

問題2你能從上述兩個背景中，給出兩個向量和的定義嗎？

生：把位移、力抽象為向量，把合位移、合力抽象為向量的和，把求合位移、合力抽象為向量的加法運算．在此基礎上，我們給出兩個向量的和的定義.

圖1

師：請大家思考兩個問題：

1．兩個向量a、b的起點與終點有什么關系？向量a+b的起點和終點分別是什么？

圖2

2．如圖2所示的三個向量，你能給出三個向量滿足的等式嗎？

師：上面給出的定義，是不是就可以看成是兩個向量和的定義？

問題3對于給定的兩個非零向量(圖3)，如何定義它們的和呢？

圖3

學生活動已知非零向量a、b，作出a+b．

教師選擇一名學生的作品投影，與學生作如下互動交流.

追問1：是否可以平移？平移的目的是什么？

追問2：你能借助幾何直觀，用自然簡潔的語言給出兩個非零向量a、b和的定義嗎？

師：這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.位移的合成可以看成是向量加法三角形法則的物理模型.

追問3：用三角形法則求向量和的過程中關鍵步驟是什么？

生：平移兩個向量使他們首尾順次相連.

意圖兩個向量和的定義的形成是順應學生思維過程自然生成的，如果直接提出問題3，因未在學生“最近發展區”設計問題，通過學生自主體驗、建構向量和的定義難度較大.學生先給出了“首尾相接”的兩個向量和的定義，再通過平移將任意兩個非零向量情形化歸為“首尾相接”的情形，使得自主建構順利推進.

問題4還可以用什么方法求向量的和呢？

學生活動用力的合成平行四邊形法則作圖.

師：你能用簡潔的語言總結出用平行四邊形法則作兩個向量和的主要步驟嗎？

追問：在物理學科中學習矢量合成時，我們已經學習了平行四邊形合成法則，在數學上有必要學習向量加法的平行四邊形法則嗎？

問題5用向量加法兩個法則求和，結果是一樣嗎？

意圖通過自主觀察、比較、分析，學生發現求向量和的兩個法則的本質是一致的，通過教師的質疑，學生加深了對概念本質的理解，并把新知納入到已有的知識體系中.

圖4

例1如圖4，已知非零向量a、b，作出a+b．

學生根據向量加法的定義，準確作出結果．

探究1如果兩個向量a、b中，向量b是零向量，向量加法的兩個法則適用嗎？你能得出什么結論？問題3討論的是作兩個不共線向量和a+b，那么兩個向量共線時，又如何作出a+b呢？

學生活動學生分別作圖、比較、思考，分小組交流，教師深入學生中間，了解學生的想法.學生總結，雖然上述問題的條件不滿足三角形法則，但可仿照向量加法的三角形法則，緊緊抓住首尾相接的特征，作出和向量，說明了三角形法則有著廣泛的適用性.通過自主體驗，學生感悟到教材中規定(a+0=0+a=a)的合理性．

探究2對任意兩個向量a、b，|a+b|、|a| 、|b|的大小關系是什么？

學生活動在學生自主作圖、分析、思考的基礎上，開展小組討論、全班交流展示，通過對自己和同伴結論的反思、質疑，在師生合作中共同得出結論:||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|．

師：通過探究2，我們知道了向量的加法與實數加法的區別和聯系，這些知識如果不通過數形結合來解決就比較難以理解.

意圖指向核心素養的數學教學，要將合適的教學內容設計成具有探究性的問題，學生在自主探究、交流合作的過程中解決問題，自主建構知識意義，提高自主體驗的能力.

師：請大家回憶實數的加法有哪些運算性質？請大家分組討論，在此基礎上，回答下面的問題.

探究3向量的加法是否也滿足類似的性質？如果滿足，具體形式是什么？

學生活動1學生回憶實數加法的交換律、結合律，把向量與實數進行類比，猜想出類似的運算性質：(1)a+b=b+a；(2)(a+b)+c=a+(b+c).

學生活動2學生各自作圖，小組交流，教師巡視，與學生進行互動.學生通過畫出平行四邊形(如圖5)，驗證交換律成立.對于結合律的驗證，教師在巡視中發現，一些學生受交換律的影響，用平行四邊形法則作圖驗證，難以畫出有說服力的圖形，教師鼓勵學生嘗試其它作圖方法，部分學生作出典型的圖形如圖6.教師選擇多個學生的作品進行投影，并讓學生敘說其中的道理.

圖5

圖6

意圖向量加法運算律是學生通過類比、猜想、作圖驗證得到的，再現了數學家的“發現”過程，讓學生感受到“數學研究”的樂趣，享受到解決問題的喜悅，進而培養學生數學學習的興趣.

2.3 操練拓展，反饋矯正

例2長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸．一艘船從長江南岸A點出發，以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h．

(1)試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度(保留兩個有效數字)；

(2)求船實際航行的速度的大小與方向．(用與江水速度之間的夾角表示，精確到度)

師：通過這個例子，請大家總結一下應用向量知識解決實際生活中問題的一般思路.

生：把一些物理量用向量表示出來；借助于向量之間的運算，研究物理量之間的關系；最后把運算結果翻譯成物理量.

意圖一個完整的自主體驗過程，還要求學生把所學知識運用于新的情境，檢驗結論的合理性，幫助學生理解和把握向量加法的本質，學會用數學建模的方法解決實際問題的一般步驟．

2.4 歸納反思，總結提升

師：請大家總結一下本課研究向量加法定義的方法．

生：先從物理模型抽象出向量這個數學模型，在此基礎上，我們初步研究了向量模型，最后應用到生活實踐中去．這說明數學來源于生活，又服務于生活．

物理模型?數學模型?研究模型?應用模型

意圖在教師的點撥下，學生自主提煉解決實際問題的一般思路，讓學生逐步養成歸納、反思、提煉的學習習慣.

3 教學思考

3.1 創設情境，激發自主體驗欲望

本節課中，教師首先調動學生已有的經驗，回顧學習實數的順序和內容，讓學生自主編制研究向量的方案，這個具有挑戰性的任務激發了學生自主體驗的興趣，使其進入一種躍躍欲試的狀態，也為學生自主提出核心問題“如何定義向量的加法運算”奠定了基礎．由于學生在物理學科中學過位移的合成和力的合成等矢量的加法，教師以此為背景創設問題情境，激活學生思維，引發師生互動.通過啟發思考，學生舍去了具體情境中的物理屬性，提煉出向量加法的本質屬性，進而抽象出向量加法的定義.在此過程中，讓學生感悟數學抽象過程，體會具體和抽象之間的差異，積累從具體到抽象的數學學習經驗.

3.2 巧設問題，搭建自主體驗平臺

本節課，教師將教學目標進行了分解，設計了兩個核心問題：(1)如何定義向量的加法？(2)向量的加法是否也滿足這樣的性質？如果滿足，具體形式是什么？這兩個核心問題，把知識的邏輯結構和學生的思維過程有機地聯系起來，將知識的邏輯結構轉化為學生的認知結構．其次要設計好派生問題，教師在設計派生問題時，要以層層遞進的問題串形式，讓學生在分析問題、解決問題的過程中，發現數學的內在規律，認識、理解數學本質．本節課，在提出核心問題“如何定義向量的和”之后，教師提出了以下四個派生問題，形成問題串：(1)你能從上述兩個背景中，給出兩個向量和的定義嗎？(2)對于給定的兩個非零向量，如何定義它們的和呢？(3)還可以用什么方法求向量的和？(4)用這兩個方法求和結果是一樣嗎？這四個派生問題，逐步引領學生走向向量和的定義的“核心地帶”，學生也逐步學會了研究數學概念的一般方法．

3.3 合作探究，提升自主體驗能力

本課中，共設計了三個合作探究活動：探究1，讓學生通過作圖，親身感受三角形法則的應用更具一般性，使學生更深刻地理解教材中規定的合理性．探究2，在自主體驗的基礎上，通過交流展示，完善了問題的解決方案，讓學生逐步學會了用分類討論的數學思想解決復雜數學問題的方法．探究3，讓學生類比實數的運算律，提出猜想，引導大家通過自己作圖、小組交流、大組展示來進行驗證．在這個過程中，學生領悟到類比思想、數形結合的思想方法對解決向量問題的重要價值，親身感受到解決問題的具體方法需要嘗試和選擇．通過合作探究活動的開展，學生經歷了知識的發生、發展和形成過程，提升了學生自主體驗的能力.

3.4 反思質疑，積累自主體驗經驗

本課中，教師在新舊知識的節點處提出質疑，在物理中學習矢量合成時，我們已經學習了平行四邊形合成法則，在數學上有必要學習向量加法的平行四邊形法則嗎？這樣的質疑，有助于學生進一步理解矢量和向量的區別和聯系，把新知識納入到學生已有的知識體系中，實現概念的同化．在解題過程中對不嚴謹的解法提出質疑，探究2的實施過程中，不少學生的解題過程不夠嚴密，教師引導學生對一些問題解法提出質疑，并讓學生自己闡述思維過程，從源頭上查清楚錯誤的原因，有利于師生精準糾錯．在課堂小結時引導學生對本節課的內容進行反思回顧，引導學生自覺地把新知納入到已有的知識體系中，歸納知識要點，反思學習態度，總結學習方法，促進學生學會學習．