核心素養下高中數學概念課教學策略①

蔡海濤 林運來

(1.福建省莆田第二中學 351131 2.福建廈門大學附屬實驗中學 363123)

1 問題提出

中學數學是由概念、命題經推理組成的邏輯體系.概念、命題和推理是邏輯思維的三大基本形式.其中，概念是邏輯思維的細胞，是反映事物本質屬性和特征的思維形式.數學概念是反映現實世界空間形式和數量關系本質屬性的思維過程.可見，數學概念在數學學習中占有重要位置.因此，數學概念的教學理應回歸概念的本源.但是，在概念教學中，教師往往采用“一個定義，幾項注意”的方式，講完概念就做題，做了題才發現學生對概念一知半解，則讓他們做更多的題，凡此種種，導致課堂上給學生帶去的不是享受、成功、體驗，而是單調、無趣和一知半解.

A.37.5分鐘 B.40.5分鐘

C.49.5分鐘 D.52.5分鐘

圖1

本題以勻速圓周運動為背景，考查任意角三角函數的定義、三角函數的圖象與性質等基礎知識.根據任意角三角函數的定義、三角函數的圖象與性質等知識，或結合平面幾何知識進行直觀判斷，不難得出正確選項.可是全省實測均分僅為1.8分，讓人感到出乎意料．考試結束后對部分考生進行訪談，了解其答題情況后，發現很多學生錯誤的原因在于不會從題目中獲取有用信息，不會利用三角函數的概念來解答.

在高考復習中，是不是我們在刷題的路上走得太遠了?是否應該停下來思考我們丟了什么?新時期的高考已經從能力立意到素養導向，所以概念教學需要與時俱進，改變教學方法，以培養學生的數學核心素養為目標.筆者談談自己的一些思考與體會，期與同行交流.

2 核心素養下的高中數學概念教學

2.1 合理制定教學目標，明確核心素養的植入點

案例1橢圓的概念

建構橢圓的概念，可制定的教學目標是：經歷從具體情景中抽象出橢圓的過程，利用細繩畫橢圓的方法將橢圓定義具體化，加強橢圓的定義和圖形特征的理解，掌握橢圓的定義，提升直觀想象素養.完成該教學目標可做如下教學設計：

通過多媒體展示生活中圖形(圖2)及衛星的運行軌跡(圖3)，讓學生經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，通過觀察、探究揭示橢圓的幾何特征，發展直觀想象素養.

圖2

圖3

接下來，引導學生拿出事先準備好的繩子，小組合作做如下的實驗：

(1)取一條細繩；

(2)把它的兩端固定在板上的兩點F1,F2；

(3)用鉛筆尖把細繩拉緊，在板上慢慢移動，觀察畫出的圖形(圖4、圖5).

圖4

圖5

學生畫好后，教師利用幾何畫板驗證橢圓的形成過程，通過實驗，容易觀察得到的圖形為橢圓.在幾何畫板的展示中，引導學生思考在橢圓的形成過程中哪些量改變，哪些量不變？通過觀察，學生發現到鉛筆尖對應點M與F1,F2的距離|MF1|,|MF2|改變，而|MF1|+|MF2|及|F1F2|的值不變.接著,教師引導學生類比圓的定義引出橢圓的定義.此時,學生往往會回答:平面內與兩個定點距離之和為定值的點的軌跡為橢圓.教師應引導學生再仔細考慮有沒有不足之處,提出如下問題:

問題1改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？

圖6

問題2繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？

圖7

由此得到結論：繩長記為2a，兩定點間的距離記為2c(c>0).

(1)當2a>2c時，軌跡；

(2)當2a=2c時，軌跡；

(3)當2a<2c時，軌跡；

由以上的數學實驗再類比圓的定義，引導學生對橢圓進行定義.在學生觀察實驗中，從提出問題、建立模型、求解模型、檢驗結果再完善模型，發展了數學建模的素養.

2.2 精心設計問題情境，抓準核心素養的著力點

案例2對數的概念

對數概念對高一學生有一定的難度，為了更好地讓學生理解，可設置一些問題，找準核心素養的著力點.

教師創設問題情境：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”.

問題1(1)取5次，還有多長？(2)取多少次，還有0.125尺?

設計意圖好的開端是成功的一半，情境引入對后續的學習有重要的作用.這個情境融入數學文化，體現了學習對數的人文價值，讓學生覺得親切自然，然后根據題意，設未知數，列出方程，思考如何表示x，激發其對學習對數的興趣，抓住了學生認識新知的邏輯起點，滲透方程、轉化等思想，發展學生數學抽象和數學建模素養.

由問題1引出對數的定義：一般地，如果ax=N(a>0,a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x=logaN，其中a叫做對數的底數，N叫做真數.此時學生往往對概念的理解還是不到位的，僅僅是了解對數式與指數式可以互化:ab=N?b=logaN.于是提出問題2.

問題2(1)為什么對數的定義中要求底數a>0且a≠1？(2)是否是所有的實數都有對數呢？

設計意圖讓學生明確對數式與指數式形式的區別，a，b和N位置的不同，在互化中發展邏輯推理與數學運算素養.

問題3

1.將下列指數式寫成對數式：

2.將下列對數式寫成指數式：

(1)log5125=3；(2)log0.58=-3；

(3)log10a=1.1.

設計意圖讓學生進一步熟悉對數式與指數式的相互轉化，加深對對數概念的理解.并讓學生指出對數式與指數式互化時應注意哪些問題，增強運算、觀察、類比、交流等活動，培養學生嚴謹的思維品質，發展數學運算素養.

問題4求下列各式的值：

(1)log31=；(2)lg1=；

(3)log0.51=；(4)ln1=.

思考：你發現了什么？

問題5求下列各式的值：

(1)log33=；(2)lg10=；

(3)log0.50.5=；(4)lne=.

思考：你發現了什么？

設計意圖問題4和5讓學生自己得出“1的對數等于零”和“底數的對數等于1”這兩個結論，從而更好地理解和掌握對數的性質，培養學生類比、分析、歸納的能力，積累數學基本活動經驗，在學生歸納小結中發展了學生數學運算和邏輯推理素養.

問題6求下列各式的值：

(1)2log23=；(2)6log60.3=；

(3)0.2log0.20.3=.

思考:你發現了什么?

問題7求下列各式的值:

(1)log334=；(2)log0.90.95=；

(3)lne0.1=.

思考:你發現了什么?

設計意圖問題6和7讓學生自己推導得出結論alogaN=N及logaaN=N，在歸納中發展學生數學抽象和邏輯推理素養.

以上7個問題形成的“問題串”，讓學生在獨立思考、自主探究、合作交流等學習方式下，經歷了實質性思維參與過程， 提升了學生的素養.

2.3 整體把握教學內容，推動核心素養的生長點

學生數學學科核心素養水平的達成不是一蹴而就的，具有階段性、連續性、整合性等特點.教師應理解不同數學學科核心素養水平的具體要求，不僅關注每一節課的教學目標，更要關注主題、單元的教學目標.所以，整體把握教學內容對促進數學學科核心素養連續性和階段性發展具有重要意義.

案例3數列的概念

片斷1概念引入

教師寫出一組數：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…引導同學們一起來觀察這組數的奇妙屬性.

生1:從第三項開始，每一項是前兩項的和.

生2:從第二項開始，每個奇數項的平方都比前后兩項之積多1.

生3:從第二項開始，每個偶數項的平方都比前后兩項之積少1.

生4:隨著這一列數項數的增加，前一項與后一項之比越逼近黃金分割0.6180339887……

師:這組數是意大利數學家斐波那契發現的，因此這個數列又叫斐波那契數列.

然后,教師通過這個例子引出數列及相關概念.

設計意圖利用數學文化引入，介紹數學家或數學史，可提高學生的學習興趣和求知欲望，通過數學文化的領航，抽象出數列的知識框架，明確了數列的學習目標，為這節課乃至整個單元的學習做好鋪墊.滲透數學文化，可以幫助學生打開一扇窗，引導學生去探索數學美的世界.

片斷2概念理解

師:由數列的概念可以發現，在數列中由項的序號可得對應項，即對于每一個序號n，都有唯一的項an與之對應，你能從中得到什么啟示？

生5:數列是函數.

師:很好,所以數列也是種函數,數列與函數有何聯系和區別?

生6:數列是種特殊的函數,特殊在定義域是正整數,圖象是一些孤立的點.

師:通項公式可以看成數列的函數解析式.利用一個數列的通項公式，你能確定這個數列哪些方面的性質？

生7:寫出該數列的某些項.

生8:求該數列中的任意一項或判斷某個數是否為該數列中的項.

生9:判斷該數列的增減性及是有窮數列還是無窮數列.

生10: 求該數列最大最小項.

師:你是用什么方法得出以上的性質?

生11:列表、圖象、通項公式等.

設計意圖了解數列是一種特殊函數，這是數列概念的核心,學生知道了這點后,在今后研究數列時,就懂得可以類比研究函數的方法,研究對象從函數到數列是變了，但“研究套路”不變，思想方法不變！這就是數學基本思想、數學基本活動經驗的力量！由此發展了學生的數學抽象素養.指導學生從列表、圖象、通項公式等方法表示數列，與函數的表示方法進行類比，進一步認識數列的函數本質，發展了學生的直觀想象素養.

2.4 深度融合信息技術，發展核心素養的增長點

案例4離心率的概念

離心率的概念抽象性強，直接引入較為生硬，學生不易掌握.圓錐曲線的第二定義是圍繞著離心率展開的，深入理解離心率的概念是掌握圓錐曲線性質的基礎．教學過程中，教師可以借助信息技術進行概念的引入，操作流程為教師提出問題→學生探究→信息技術驗證.具體過程如下：

教師打開幾何畫板，引導學生觀察橢圓不同的形狀，有的“扁”，有的“圓”.教師提出問題1：我們該用一個什么樣的量來刻畫橢圓的“扁圓”程度？這個問題對于學生有較大的挑戰性，一般較難回答.此時，教師可以啟發學生回顧用定長畫橢圓的過程與哪些基本量有關，從而猜測橢圓的“扁圓”程度與橢圓的哪些基本量有關？

生：橢圓的“扁圓”程度與基本量a與c有關.

師:打開幾何畫板，當a不變時，改變c的大小，橢圓的“扁圓”程度發生變化，說明橢圓的“扁圓”程度與c有關；當c不變時，改變a的大小，橢圓的“扁圓”程度發生變化，由此說明橢圓的“扁圓”程度與a有關.綜上說明橢圓的“扁圓”程度與a、c都有關.

問題2：怎樣用a、c來刻畫橢圓的“扁圓”程度.

師:打開幾何畫板，如圖8所示，先拖動點Q，確定a+c的值，確定后，再拖動點P，拖動過程中，a、c的值在變化，但a+c的值保持不變，橢圓的“扁圓”程度發生變化，由此說明不能用a+c來刻畫橢圓的“扁圓”程度.

如圖9所示，先拖動點E，確定a-c的值，確定后，再拖動點A，拖動過程中，a、c的值在變化，但a-c的值保持不變，橢圓的“扁圓”程度發生變化，由此說明不能用a-c來刻畫橢圓的“扁圓”程度.

圖8

圖9

如圖10所示，先拖動點P，確定a·c的值，確定后，再拖動點Q，拖動過程中，a、c的值在變化，但a·c的值保持不變，橢圓的“扁圓”程度發生變化，由此說明不能用a·c來刻畫橢圓的“扁圓”程度.

圖10

圖11

設計意圖學生繪制橢圓圖形過程中，由直觀感知自然地分析橢圓的“扁圓”程度是由哪些量刻畫.根據學生思考及交流提出的探究方案，教師提出問題并引導學生探究猜測，結合幾何畫板加強直觀感受并進行驗證，通過這一系列過程使學生感受到研究問題的方法，特別是多變量問題該如何處理，即先猜后證的方法，感受到自己探究的價值，從而體會定義生成的完美，至此得出離心率這一概念.探究的過程使學生明白數學中的任何發現都并非“一蹴而就”的，需要鍥而不舍的鉆研精神.

對概念進行研究，教學中應從本質上理解，從而達到觸類旁通的效果．離心率作為刻畫圓錐曲線性質的核心概念，是運用數形結合的思想方法來研究圓錐曲線．深入剖析離心率的探究歷程對學生的數學抽象、直觀想象以及邏輯推理等數學核心素養的培養具有重大的意義．在探究的過程中，充分地融合了信息技術，利用幾何畫板驗證學生探究的幾個方案，實現了信息技術增大課堂容量的功能；在橢圓的“扁圓”程度變化的過程中，實現了信息技術“抽象問題具體化”、“隱性問題顯性化”、“靜態問題動態化”的功能，循序漸進地、有目的性地探究數學概念的內涵，解析它們在數學知識結構中的相互關聯，提高學生的學習能力與數學能力，達到對學生關鍵能力培養的目標．

3 寫在最后

李邦河院士說過：“數學根本是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也！”數學概念是導出全部數學定理、法則的邏輯基礎，數學概念是相互聯系、由簡到繁形成學科體系.數學概念不僅是建立理論系統的中心環節，同時也是解決問題的前提.因此，概念教學是數學基礎知識和基本技能教學的核心，而在概念教學中滲入核心素養，將有助于學生以后相關內容的學習，對后續數學的學習也起到重要的作用.