單跨雙盤裂紋轉子-軸承的動力學特性研究

姚 莉,南國防,郭 威,錢萬利

（ 上海理工大學 能源與動力工程學院，上海200093）

轉子作為旋轉機械的重要組成部分，經(jīng)常在高溫、高壓、腐蝕和蠕變等惡劣條件下運行，由于材料本身或者長期的使用，轉子上會產(chǎn)生疲勞裂紋，從而影響轉軸的正常使用，嚴重的時候會造成機毀人亡的現(xiàn)象。因此，開展對旋轉機械裂紋故障的研究就變得尤為重要。

目前大多數(shù)學者還是以Jeffcott 模型對裂紋轉子的動力學特性進行研究[1]，提出了不同的裂紋剛度模型，根據(jù)裂紋的運動特征可將其分為兩大類：常開裂紋模型和開閉裂紋模型。現(xiàn)在比較常用的開閉型裂紋模型有方波模型、余弦波模型和綜合模型等。林言麗和褚福磊[2]對現(xiàn)有的幾種裂紋剛度模型進行了比較并提出兩種新的求解剛度的方法。荊建平和陳鐵鋒[3-4]等利用有限元軟件ABAQUS 對轉子系統(tǒng)含有一條或兩條裂紋的動力學行為進行了研究，分析了裂紋轉子在鉸支和油膜力支承下的振動規(guī)律，并進行了實驗對比。劉桂珍等[5]則是研究了偏心量對非穩(wěn)態(tài)油膜力支撐下裂紋轉子的振動響應。盧子乾等[6]建立了一種在油膜力支撐作用下的單跨雙盤轉子模型，研究了碰摩力和油膜力對系統(tǒng)的影響。張順[7]則對比研究了含有整數(shù)階與分數(shù)階阻尼的裂紋轉子系統(tǒng)的動力學特性。Mohammad 等[8]通過諧波平衡法和實驗驗證，研究了裂紋深度對轉子-軸承系統(tǒng)的振動幅值和旋轉軌道形狀的影響。Junyi Cao等[9]引入了4 階Runge-Kutta 法和10 階CFE-Euler 法來求解分數(shù)階裂紋轉子系統(tǒng)的方程，研究不同參數(shù)對系統(tǒng)動力學的影響。

綜上所述，本文采用有限元法建立了左側為彈性支承和右側為非線性油膜力支承的單跨雙盤轉子模型，并在考慮了裂紋的時變剛度和綜合模型的基礎上，分別建立了當裂紋位于轉子左側（即L1處）和中間（即L2處）軸段的動力學方程，利用4 階Runge-Kutta 方法對方程進行數(shù)值求解，研究裂紋深度、裂紋位置、轉速和裂紋軸剛度變化量對轉子系統(tǒng)振動特性的影響。為了研究該支承與其他支承的區(qū)別，本文還建立了兩端均為彈性支承的裂紋轉子系統(tǒng)模型，并對2個模型的動力學特性進行了對比分析。

1 單跨雙盤裂紋轉子模型

建立如圖1所示的含有裂紋故障的單跨雙盤轉子模型，轉子左側為彈性支承，右側為非線性油膜力支承，m1、m4分別為轉子在兩側軸承處的集中質(zhì)量，m2、m3分別為圓盤1和圓盤2處的等效質(zhì)量，k1、k2、k3分別為軸段L1、L2、L3處的剛度，假設只考慮系統(tǒng)的橫向振動，忽略系統(tǒng)所受的扭振和陀螺力矩，根據(jù)轉子動力學有限元法，單跨雙盤轉子模型的微分方程為

式中：M、C、K、X、Fe、Fo和Fg分別為轉子系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣、位移向量、不平衡力向量、軸承油膜力向量和重力外激勵向量。

圖1 單跨雙盤裂紋轉子模型

1.1 裂紋剛度模型

在轉子系統(tǒng)運行過程中隨著裂紋的張開與閉合，轉軸的剛度也會出現(xiàn)隨之變化，假設無裂紋時轉軸的剛度為k0，轉軸的剛度矩陣可表示為

式中：kξ、kη分別為裂紋軸在ξ、η2 個方向上的剛度變化，因為裂紋的開閉過程是隨時間變化的，所以本文采用高建民與朱曉梅[10]所提出的綜合模型，如圖2所示。

圖2 裂紋模型

該模型能夠比較清晰地描述裂紋的張開、閉合和半開半閉的過程，該開閉裂紋模型的數(shù)學表達式如下

1.2 油膜力模型

理論分析中采用Capone 提出的短軸承假設下的非線性油膜力模型，軸承2 個坐標方向上的無量綱非線性油膜力的表達式為

式中：

其中：非線性油膜分量Fx=sPfx，F(xiàn)y=sPfy，s為Sommerfeld修正數(shù)，即潤滑油黏度 ，L和r分別為軸承的長度和半徑，V、S、G和a分別為油膜力參數(shù)。

1.3 系統(tǒng)運動微分方程

設該單跨雙盤裂紋轉子系統(tǒng)兩側軸承的軸心徑向位移分別為（x1，y1）、（x4，y4），兩個轉盤的徑向位移分別為（x2，y2）、（x3，y3），根據(jù)轉子動力學有限元法分別建立當裂紋位于L1和L2軸段的動力學方程，如式（9）和式（10）所示。

當裂紋位于轉子左側軸段（即L1段）時，在考慮裂紋的時變剛度和綜合模型的情況下，根據(jù)轉子動力學有限元法，則系統(tǒng)的動力學方程為

當裂紋位于轉子中間軸段（即L2段）時，根據(jù)轉子動力學有限元法，則系統(tǒng)的動力學方程為

2 裂紋轉子動力學特性分析

為了研究單跨雙盤裂紋轉子的振動特性，利用4階Runge-Kutta法求解上述式（9）和式（10）的振動微分方程，研究裂紋軸剛度變化量、裂紋深度、轉速和裂紋位置等對轉子系統(tǒng)振動特性的影響，利用時域圖、頻譜圖等分析裂紋轉子系統(tǒng)的振動特性。設定系統(tǒng)的各參數(shù)值為：m1=0.055 kg、m2=m3=0.8 kg、m4=0.11 kg，k1=k2=k3=2.5×107N/m，重力加速度g=9.8 m/s2，c1=c4=1.1×103N·s/m，c2=c3=2.1×103N·s/m，轉軸自轉初始相位角φ0=0，轉子的偏心方向與裂紋開閉方向的夾角β=0，兩盤的軸心垂直于轉盤方向的夾角γ=π/4。

2.1 轉速對轉子系統(tǒng)響應的影響

轉速作為反映轉子系統(tǒng)運動的一個重要因素，它對系統(tǒng)的影響是必須要考慮的。圖3至圖6為eˉ=0.1、裂紋軸剛度變化量K=kξ/k0=0.1，裂紋深度h/R=0.5，轉速分別為370 rad/s、740 rad/s、1 850 rad/s 和3 700 rad/s時裂紋轉子系統(tǒng)的時域圖和頻譜圖。

從圖3至圖6的時域圖中可以看出，不管裂紋位于L1段還是L2段，系統(tǒng)的運動周期基本相似。而從圖3至圖6的頻譜圖上可以看出，當轉速為370 rad/s時，頻譜圖上會出現(xiàn)除1X頻以外的nX倍頻等成分，當裂紋位于L1段時，2X倍頻的峰值最高為主要成分，而當裂紋位于L2段時卻是1X倍頻為主要成分；當轉速為740 rad/s，頻譜圖上出現(xiàn)1X、2X、3X等倍頻成分，3X以后的諧波分量都很小，無論裂紋位于L1還是L2段，頻譜圖上1X倍頻的峰值最大為主要成分；當轉速為1 850 rad/s 和3 700 rad/s 時，頻譜圖上出現(xiàn)1X倍頻為主要成分，其他倍頻分量都極小，且隨著轉速的增加，裂紋位于L2段時的振幅和位于L1段的振幅也越來越接近。因此，當轉速為370 rad/s、740 rad/s時，無論裂紋位于L1還是L2段，系統(tǒng)的振動響應主要是由裂紋引起的，頻譜圖上會出現(xiàn)高頻分量，即會在nX倍頻處出現(xiàn)峰值；當轉速為1 850 rad/s和3 700 rad/s 時，系統(tǒng)的振動響應主要是由偏心量引起的，頻譜圖中僅包含1X成分，其他諧波分量都很小。

2.2 裂紋深度對轉子系統(tǒng)的影響

裂紋深度作為轉子系統(tǒng)的一個重要參數(shù)，對轉子系統(tǒng)振動特性也有著重要的影響。圖7為eˉ=0.1、K=kξ/k0=0.1，轉速分別為370 rad/s 和740 rad/s 時系統(tǒng)的振幅隨裂紋深度變化的曲線。

圖3 轉速為370 rad/s時系統(tǒng)的時域圖和頻譜圖

圖4 轉速為740 rad/s時系統(tǒng)的時域圖和頻譜圖

圖5 轉速為1 850 rad/s時系統(tǒng)的時域圖和頻譜圖

圖7（a）是當轉速為370 rad/s 時，轉子系統(tǒng)橫向振動響應中1X和2X倍頻成分隨裂紋深度變化的曲線。無論裂紋位于L1還是L2段，當裂紋深度h/R為0.1～0.2 和0.9～1 時，1X倍頻分量的對應的幅值大于2X倍頻對應的幅值，而不同的是在0.1～0.2區(qū)間，倍頻成分的幅值隨著裂紋深度的增加而減小，而在0.9～1區(qū)間倍頻成分的幅值卻隨著裂紋深度的增加而增大；當裂紋深度h/R為0.2～0.8 時，2X倍頻分量的對應的幅值大于1X倍頻對應的幅值，倍頻成分的幅值都隨著裂紋深度的增加而減小。圖7（b）是當轉速為740 rad/s時，轉子系統(tǒng)橫向振動響應中1X和2X倍頻成分隨裂紋深度變化的曲線。無論裂紋位于L1還是L2段，1X倍頻分量的對應的幅值大于2X倍頻對應的幅值，當裂紋深度h/R為0.1～0.2 時,倍頻成分的幅值隨著裂紋深度的增加而增大；當裂紋深度h/R為0.2～0.7 時，倍頻成分的幅值隨著裂紋深度的增加而減小；而當裂紋深度h/R為0.8～1時，倍頻成分的幅值隨著裂紋深度的增加而增加。

2.3 裂紋軸剛度變化對轉子系統(tǒng)的影響

在轉子系統(tǒng)運行過程中隨著裂紋的張開與閉合，轉軸的剛度也會出現(xiàn)隨之變化，因而研究剛度變化量K對轉子系統(tǒng)的影響也是非常重要的。

圖8為裂紋深度h/R=0.5，=0.1，轉速為740 rad/s 時，轉子系統(tǒng)橫向振動響應中1X和2X倍頻成分隨剛度變化的曲線。

圖8 振幅隨裂紋軸剛度變化曲線

不管裂紋位于L1段還是L2段，當裂紋軸的剛度變化量K為0.2～0.7之間時，無論是1X倍頻還是2X倍頻分量對應的幅值變化不太顯著；但當裂紋軸的剛度變化量K為0.7～1 之間時，隨著剛度變化量K的增加，轉子系統(tǒng)的振幅越來越大，在相同剛度的條件下，裂紋位于L1軸段的振動響應幅值增加的幅度比裂紋位于L2軸段的幅值增加的快，表明裂紋位于L1軸段的振動比位于L2軸段的振動劇烈，系統(tǒng)越來越不容易穩(wěn)定。

3 不同支承類型下裂紋轉子系統(tǒng)的振動響應對比分析

圖7 振幅隨裂紋深度變化曲線

為了研究該支承與其他支承的區(qū)別，本文還建立了兩端均為彈性支承的裂紋轉子系統(tǒng)模型，并對2種模型的動力學特性進行了對比分析。類型一為兩端均為彈性支承的裂紋轉子系統(tǒng)模型，類型二為左側軸承為彈性支承，右側軸承為非線性油膜力支承的裂紋轉子系統(tǒng)模型，如圖9所示為2種不同類型下系統(tǒng)的振動特性曲線。圖9（a）是轉速為740 rad/s時，兩種類型下系統(tǒng)的頻譜圖，可以看出兩種系統(tǒng)的振動響應特征差異不大，均在頻譜圖上出現(xiàn)1X、2X、3X等倍頻成分。圖9（b）是在轉速相同條件下，不同支承轉子系統(tǒng)的振幅隨裂紋深度變化的曲線。無論是類型一還是類型二，轉子系統(tǒng)橫向振動響應中1X和2X倍頻成分都是隨著裂紋深度的增加先減小后增大的。圖9（c）為裂紋深度h/R=0.5，eˉ=0.1，轉速為740 rad/s時，轉子系統(tǒng)橫向振動響應中1X和2X倍頻成分隨剛度變化的曲線。隨著裂紋軸剛度變化量K的增大，無論是類型一還是類型二，轉子系統(tǒng)振動響應的分量基本是隨著K的增加而增大的。

由圖9可知，2種支承類型轉子系統(tǒng)的振動響應特征差異不大（最大變化為9.15%），且類型一的振動響應均大于類型二的振動響應。

圖9 不同支承類型下轉子系統(tǒng)的振動特性曲線

4 結語

建立了單跨雙盤轉子的動力學模型，通過Runge-Kutta法求解系統(tǒng)的振動微分方程，研究裂紋剛度變化量、裂紋深度、轉速和裂紋位置等對轉子系統(tǒng)的振動特性的影響。結果表明：

（1）無論裂紋位于L1還是L2段，當轉速較小時，系統(tǒng)的振動響應主要是由裂紋引起的，頻譜圖上會出現(xiàn)高頻分量，即會在nX倍頻處出現(xiàn)峰值；當轉速較高時，系統(tǒng)的振動響應主要是由偏心量引起的，頻譜圖中僅包含工頻成分，其他諧波分量都很小。因此，可以通過響應中是否含有諧波分量來判斷系統(tǒng)是否出現(xiàn)裂紋故障。

（2）隨著裂紋軸剛度變化量K的增大，裂紋位于L1和L2軸段的兩個振動響應的分量基本是隨著K的增加而增加的。因此，當轉子系統(tǒng)上存在裂紋時，要時刻觀察轉軸的變化，避免發(fā)生意外。

（3）在轉速、裂紋深度和裂紋軸剛度變化相同的條件下，裂紋位于轉子左側軸段的振動總是比裂紋位于轉子中間軸段的振動劇烈。

（4）通過對左側為彈性支承、右側為非線性油膜力支承和兩端均為彈性支承的單跨雙盤裂紋轉子的動力學特性進行對比分析可知，兩種支承類型轉子系統(tǒng)的振動響應特征差異不大，且類型一的振動響應均大于類型二的振動響應。