環(huán)境激勵(lì)下基于ESMD的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法

趙 斌，封周權(quán)，陳政清

（湖南大學(xué) 風(fēng)工程與橋梁工程湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙410082）

模態(tài)參數(shù)是表征結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的主要參數(shù)，這些參數(shù)可以用于結(jié)構(gòu)有限元模型修正、結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別、狀態(tài)評(píng)估和響應(yīng)預(yù)測(cè)等,對(duì)于結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)和振動(dòng)控制等工程應(yīng)用具有重要意義。為了準(zhǔn)確獲得結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，尤其是結(jié)構(gòu)的模態(tài)阻尼比，可采用人工激勵(lì)的動(dòng)力試驗(yàn)方法，然而，由于土木工程結(jié)構(gòu)大多具有結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜，體型巨大和所處環(huán)境復(fù)雜多變等特點(diǎn)，對(duì)人工激勵(lì)的設(shè)備和能量要求高，另外，對(duì)運(yùn)營(yíng)狀態(tài)下的土木工程結(jié)構(gòu)如橋梁等進(jìn)行封閉測(cè)試很不現(xiàn)實(shí)，因此，傳統(tǒng)人工激勵(lì)方法（力錘或激振器等）往往并不適用。于是，基于環(huán)境激勵(lì)（地脈動(dòng)、風(fēng)荷載、交通荷載等）的模態(tài)測(cè)試技術(shù)已成為土木工程結(jié)構(gòu)中最常用的方法。環(huán)境激勵(lì)下的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法大體可以分為時(shí)域、頻域和時(shí)頻域3種類別，其中時(shí)域方法對(duì)響應(yīng)時(shí)程數(shù)據(jù)直接進(jìn)行信號(hào)分析，如自然激勵(lì)聯(lián)合特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)法（NExT-ERA）[1]，隨機(jī)子空間識(shí)別法[2]等。頻域方法一般是將響應(yīng)數(shù)據(jù)先進(jìn)行傅里葉變換再進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，主要有峰值拾取法[3]，頻域分解法[4]以及基于振動(dòng)響應(yīng)傳遞比函數(shù)的系統(tǒng)識(shí)別方法[5-6]等，時(shí)頻域方法一般是基于小波變換或希爾伯特-黃變換（Hilbert-Huang Transform，HHT）等信號(hào)分析技術(shù)的識(shí)別方法。其中傅里葉變換適用于處理平穩(wěn)信號(hào)，而對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，具有自適應(yīng)特點(diǎn)的希爾伯特-黃變換是一種不錯(cuò)的方法[7-8]。HHT 的核心部分為經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）。

近年，王金良等人在希爾伯特-黃變換方法的基礎(chǔ)上提出了一種數(shù)據(jù)分析的新方法——極點(diǎn)對(duì)稱模態(tài)分解方法[9-10]（Extreme-point Symmetric Mode Decomposition，ESMD）。ESMD 不同于EMD 的地方在于：EMD 的篩選過程是構(gòu)造外部包絡(luò)曲線，而ESMD 是通過極點(diǎn)對(duì)稱構(gòu)造內(nèi)部插值曲線，所以更能反映振動(dòng)相對(duì)于其自身的局部對(duì)稱性，由于內(nèi)部均線幅值較小，這樣就能更好地降低由插值帶來的不確定性。另外，ESMD方法在篩選次數(shù)的規(guī)定上，提出了基于優(yōu)化全局均線的最佳篩選次數(shù)，這樣既能保證模態(tài)的對(duì)稱性又能避免因?yàn)楣潭êY選次數(shù)而帶來的盲目性,確保了最佳的篩選效果。

土木工程結(jié)構(gòu)往往是多模態(tài)的，ESMD和EMD分解后的信號(hào)均存在模態(tài)混疊問題，為了避免模態(tài)混疊，在模態(tài)分解之前往往會(huì)對(duì)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行濾波[11]，對(duì)濾波后的響應(yīng)信號(hào)再進(jìn)行模態(tài)參數(shù)的識(shí)別，往往能得到較理想的結(jié)果。

隨機(jī)減量技術(shù)（Random Decrement Technique，RDT）是環(huán)境激勵(lì)下時(shí)域模態(tài)分析的常用方法[12-14]，假定系統(tǒng)受到一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程激勵(lì)，此時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)是由初始條件的確定性響應(yīng)和隨機(jī)荷載作用下的隨機(jī)響應(yīng)疊加而成。隨機(jī)減量技術(shù)通過對(duì)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行多段截取求平均，得到自由衰減振動(dòng)信號(hào)。由自由衰減振動(dòng)信號(hào)，可以識(shí)別結(jié)構(gòu)的頻率和阻尼比。然而，隨機(jī)減量法在處理多模態(tài)信號(hào)時(shí)存在問題，它不能同時(shí)識(shí)別多個(gè)模態(tài)的模態(tài)參數(shù)。

鑒于此，本文提出了一種基于ESMD 的應(yīng)用于環(huán)境激勵(lì)下土木工程結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別的新方法。該方法先利用ESMD將濾波后的窄帶信號(hào)分解成單模態(tài)信號(hào)，然后利用隨機(jī)減量技術(shù)提取模態(tài)參數(shù)。通過一座5層剪切框架的數(shù)值仿真分析和一座3層剪切框架模型的實(shí)驗(yàn)研究，分析了所提方法的有效性和可靠性。

1 基于ESMD 的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法

1.1 基于ESMD的模態(tài)參數(shù)識(shí)別算法流程

圖1表示基于ESMD的模態(tài)參數(shù)識(shí)別過程。首先，對(duì)采集的響應(yīng)信號(hào)按照頻域信息進(jìn)行濾波和降噪等預(yù)處理，接著對(duì)濾波后的信號(hào)應(yīng)用ESMD 方法進(jìn)行分解，得到每1 階模態(tài)響應(yīng)信號(hào)，然后對(duì)每1 階模態(tài)響應(yīng)信號(hào)分別應(yīng)用隨機(jī)減量技術(shù)進(jìn)行處理，得到每1 階模態(tài)自由振動(dòng)衰減曲線，最后用最小二乘擬合方法對(duì)每1 階模態(tài)自由振動(dòng)衰減曲線進(jìn)行擬合，得到頻率、阻尼和振型等參數(shù)。

1.2 ESMD方法基本理論

1.2.1 ESMD算法流程

（1）對(duì)一組待分析數(shù)據(jù)Y的所有極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)記，依次記為Ei(i=1,2,…,n)；

（2）找出相鄰兩極點(diǎn)連線的中點(diǎn)，記為Fi(i=1,2,…,n-1)，并補(bǔ)充數(shù)據(jù)兩側(cè)端點(diǎn)F0=F1,Fn=Fn-1；

（3）根據(jù)上面所得到的n+1 個(gè)中點(diǎn)構(gòu)造m條內(nèi)部插值線L1,…,Lm(m≥1,一般取值1,2,3)。當(dāng)m=1時(shí)，即用所有中點(diǎn)構(gòu)造一條插值曲線，相應(yīng)稱為ESMD_I，當(dāng)m=2 時(shí)，分別用奇數(shù)中點(diǎn)和偶數(shù)中點(diǎn)構(gòu)造兩條插值曲線，相應(yīng)稱為ESMD_II，當(dāng)m=3 時(shí)，分別用第3k+1，3k+2，3k+3(k=0,1,…)個(gè)中點(diǎn)構(gòu)造3條插值曲線，相應(yīng)稱為ESMD_III；

（4）計(jì)算均值曲線L*=(L1+…+Lm)/m；

（5）記經(jīng)驗(yàn)?zāi)閅-L*，重復(fù)以上步驟直至 ||L*小于目標(biāo)誤差或者篩選次數(shù)達(dá)到預(yù)定值K時(shí)，第一個(gè)經(jīng)驗(yàn)?zāi)1即被分解出；

（6）依上述步驟對(duì)Y-M1進(jìn)行分解可得到M2，同理可得到M3,M4…直至最后余量R（具有若干極點(diǎn)）；

圖1 基于ESMD的模態(tài)參數(shù)識(shí)別算法流程圖

（7）引入方差比率的概念，定義σ為Y-R的標(biāo)準(zhǔn)差，σ0為原始數(shù)據(jù)Y的標(biāo)準(zhǔn)差，σ/σ0為方差比率。畫出σ/σ0隨篩選次數(shù)K的變化圖，其中K在一個(gè)預(yù)定的整數(shù)區(qū)間內(nèi)變化。

（8）找出最小方差比率σ/σ0對(duì)應(yīng)的篩選次數(shù)K，以此作為本次分解的篩選次數(shù)，重復(fù)前六步得到最終模態(tài)分解結(jié)果。

1.2.2 ESMD方法的特點(diǎn)

（1）經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解方法（簡(jiǎn)稱EMD 方法）的篩選過程是通過構(gòu)造兩條外包絡(luò)線實(shí)現(xiàn)的，一條外包絡(luò)線由數(shù)據(jù)所有極大值點(diǎn)構(gòu)成，另一條由所有極小值點(diǎn)構(gòu)成。而ESMD方法的篩選過程則采用的是內(nèi)部插值曲線，這些插值曲線由相鄰極值點(diǎn)的中點(diǎn)構(gòu)成，一般選取1至3條內(nèi)部插值曲線；

（2）EMD 方法采用的是“包絡(luò)線對(duì)稱”的概念，ESMD方法采用的“極點(diǎn)對(duì)稱”的概念。ESMD方法的思想基礎(chǔ)是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)過程總是圍繞不斷變化著的平衡點(diǎn)進(jìn)行的；

（3）ESMD方法放寬了EMD方法中對(duì)本征模態(tài)函數(shù)對(duì)稱性的要求；

（4）ESMD 方法提出了最佳篩選次數(shù)的概念，優(yōu)化了篩選過程，相較于EMD 方法，這一概念的引入既避免了設(shè)置固定篩選次數(shù)的盲目性又通過設(shè)定一個(gè)最高篩選次數(shù)N避免程序出現(xiàn)死循環(huán)；

（5）因?yàn)镋SMD 方法不采用先驗(yàn)基函數(shù)，而是采用數(shù)據(jù)自適應(yīng)的方式，因此相較于傅里葉變換和小波變換，ESMD 方法在處理非平穩(wěn)信號(hào)方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。

1.3 隨機(jī)減量技術(shù)

隨機(jī)減量技術(shù)假定一個(gè)受到平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的線性系統(tǒng)，從該系統(tǒng)的平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)樣本中獲得該系統(tǒng)的自由振動(dòng)響應(yīng)[12-14]。

對(duì)于線性系統(tǒng)，假設(shè)兩個(gè)均值為零的高斯分布隨機(jī)響應(yīng)樣本X1(t)與X2(t)，按觸發(fā)條件CX1(tm),X1(t)與X2(t)的自相關(guān)和互相關(guān)隨機(jī)減量函數(shù)為

其中：E[·]表示隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。

當(dāng)采用正點(diǎn)觸發(fā)條件時(shí)

式中：0 ≤α1＜α2≤+∞，σX1是X1(t)的標(biāo)準(zhǔn)差。式(1)和式(2)也可以寫成

式 中：RX1X1(τ)=E[X1(t)X1(t+τ)]和RX2X1(τ)=E[X2(t)X1(t+τ)]分別是自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)，并且

式中：pX1(x)為X1(t)的概率密度函數(shù)。一般地，隨機(jī)減量函數(shù)可以按下式估算

式中：D^XjXi(τ)為Xj(t)關(guān)于Xi(t)的隨機(jī)減量函數(shù)；N為觸發(fā)事件的總數(shù)目；CXi(tm)為指定的正點(diǎn)觸發(fā)條件；tm為第m個(gè)時(shí)刻。

隨機(jī)減量法在實(shí)際應(yīng)用中，比較重要的兩個(gè)參數(shù)是截取幅值的大小和截取段的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。截取幅值較小的情況下可以得到較多的樣本用來總體平均，以降低隨機(jī)響應(yīng)的影響。不過,較小的截取幅值也會(huì)使自由衰減信號(hào)由于低信噪比而易受噪聲污染，影響最終的分析結(jié)果。因此合適的截取幅值的選取就顯得尤為重要[12]。另外，截取段數(shù)據(jù)過短會(huì)因?yàn)閿?shù)據(jù)量不充分而使得識(shí)別結(jié)果不理想，而截取段數(shù)據(jù)過長(zhǎng)有時(shí)會(huì)在尾端出現(xiàn)異常的非衰減段，所以也需要選擇合適的截取段長(zhǎng)度。

1.4 模態(tài)參數(shù)識(shí)別

得到單模態(tài)自由衰減曲線后，結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)可以根據(jù)最小二乘擬合方法得出。單模態(tài)有阻尼自由衰減曲線可以表示為[15]

此處j為自由度編號(hào)，n為模態(tài)階數(shù)編號(hào)。Ajn為模態(tài)振幅，ξn為模態(tài)阻尼比，ωn為無阻尼體系的自振頻率，ωdn為有阻尼體系的自振頻率。并且

通過分析不同自由度的響應(yīng)數(shù)據(jù)，可以獲得第n階模態(tài)的各自由度振幅Ajn，進(jìn)而可得到N個(gè)自由度第n階模態(tài)的歸一化振型為

2 數(shù)值模擬分析

以一座5層剪切框架為數(shù)值模型進(jìn)行了數(shù)值仿真分析，5層剪切框架力學(xué)模型如圖2所示。模擬剪切框架各層質(zhì)量取m1=m2=m3=m4=m5=400 t，層間剛度k1=k2=k3=k4=k5=2×105kN/m，系統(tǒng)阻尼采用Rayleigh 阻尼，定義前2 階阻尼比均為0.01。可以計(jì)算得出構(gòu)成阻尼矩陣的比例常數(shù)α=0.094 8 s-1，β=8.018 5×10-4s。結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)理論值見表1。環(huán)境激勵(lì)僅考慮風(fēng)荷載，由諧波合成法[16]模擬生成，環(huán)境激勵(lì)作用時(shí)間為8分鐘，采樣時(shí)間間隔為0.02秒。

圖2 5層剪切框架力學(xué)模型

計(jì)算得到各層的加速度反應(yīng)時(shí)程數(shù)據(jù)后，對(duì)數(shù)據(jù)再加上噪信比為2%的噪聲，并以疊加噪聲后的結(jié)果作為風(fēng)振響應(yīng)原始數(shù)據(jù)。針對(duì)風(fēng)振響應(yīng)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行功率譜分析，可得到結(jié)構(gòu)前5 階頻率的大致范圍，5層響應(yīng)數(shù)據(jù)的功率譜峰值范圍基本一致，以m1加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)y1(t)的功率譜為例，示于圖3。

圖3 m1加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)功率譜

根據(jù)功率譜對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行帶通濾波處理，以利于模態(tài)分解的順利進(jìn)行。濾波處理采用FIR帶通濾波器，針對(duì)第1～5階模態(tài)的帶通頻率范圍分別為[0.8 Hz，1.5 Hz]，[2.5 Hz，3.5 Hz]，[4.3 Hz，5.0 Hz]，[5.7 Hz，6.3 Hz]，[6.7 Hz，7.0 Hz]。對(duì)經(jīng)過濾波后的數(shù)據(jù)應(yīng)用ESMD 方法進(jìn)行模態(tài)分解，得到響應(yīng)分解信號(hào)數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)包含明晰的模態(tài)參數(shù)信息[9,17]。仍以m1數(shù)據(jù)為例，分解結(jié)果見圖4。

此時(shí)，ESMD 將響應(yīng)信號(hào)分解成一系列單模態(tài)信號(hào)，得到模態(tài)分解信號(hào)后應(yīng)用隨機(jī)減量技術(shù)對(duì)分解信號(hào)進(jìn)行處理，以第1 個(gè)自由度（m1）為參考自由度，隨機(jī)減量法的截取振幅定為1.4σ，其中σ是參考自由度加速度的標(biāo)準(zhǔn)差。每1階模態(tài)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度根據(jù)信號(hào)衰減結(jié)果選取，去除結(jié)尾明顯的非衰減區(qū)段，m1前5階模態(tài)衰減信號(hào)示于圖5。

圖4 m1加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)ESMD分解信號(hào)

圖5 m1各模態(tài)自由衰減曲線

利用最小二乘擬合方法，即可得到結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率和阻尼，同時(shí)分析結(jié)構(gòu)的5層響應(yīng)數(shù)據(jù)，則可以得到結(jié)構(gòu)各階模態(tài)的振型。

對(duì)于數(shù)值模擬剪切框架結(jié)構(gòu)，可以通過求解特征方程得到模態(tài)參數(shù)理論值。同時(shí)，本文應(yīng)用NExT-ERA 法[1]分析了這一數(shù)值模擬剪切框架結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)，同樣可以得到結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)（頻率，阻尼，振型）。理論分析得到的結(jié)構(gòu)5階頻率分 別 為1.013 Hz，2.957 Hz，4.661 Hz，5.988 Hz，6.829 Hz。而NExT—ERA法得到的結(jié)構(gòu)前8階頻率為1.013 Hz，1.269 Hz，2.959 Hz，3.228 Hz，4.662 Hz，4.874 Hz，5.989 Hz，6.824 Hz。對(duì)比發(fā)現(xiàn)NExT—ERA 法識(shí)別出的第2 階，第4 階，第6 階模態(tài)應(yīng)為虛假模態(tài)，需要剔除掉。可以發(fā)現(xiàn)，基于ESMD方法的模態(tài)識(shí)別方法，識(shí)別結(jié)果不存在虛假模態(tài)。

將理論值結(jié)果，ESMD 法分析結(jié)果以及剔除掉虛假模態(tài)后的NExT-ERA 法分析結(jié)果對(duì)比于表1。其中振型的識(shí)別精度采用模態(tài)置信度（Modal Assurance Criterion，MAC）來判別

式中：Φ1,Φ2表示2 個(gè)待評(píng)估的振型向量，MAC 介于0和1之間。假設(shè)Φ1為理論振型，Φ2為識(shí)別振型，MAC越接近1，即表示識(shí)別精度越高。

根據(jù)表1可以看出基于ESMD的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法在頻率和振型的識(shí)別方面精度很高，頻率的識(shí)別結(jié)果與理論值幾乎一致，振型的識(shí)別結(jié)果與結(jié)構(gòu)的理論振型在MAC標(biāo)準(zhǔn)下也基本吻合，識(shí)別精度達(dá)到了1.00。NExT-ERA 法的識(shí)別結(jié)果在剔除掉虛假模態(tài)后，在頻率和振型的識(shí)別方面也表現(xiàn)出很高的精度。兩者在阻尼方面的識(shí)別誤差也都在10%以內(nèi)，考慮到阻尼識(shí)別的不確定性較大，這樣的識(shí)別精度在實(shí)際應(yīng)用中是可以接受的。

3 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析

為了研究提出的方法的有效性，用1個(gè)3層實(shí)體剪切框架模型進(jìn)行了試驗(yàn)研究（如圖6所示）。

圖6 3層實(shí)體剪切框架模型

該實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ陀射X合金制成，模型尺寸為401×314×1158 mm(寬×厚×高)。通過在模型基底施加白噪聲激勵(lì)模擬環(huán)境激勵(lì)，采用無線傳感器測(cè)量結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)。采樣頻率為100 Hz。采樣時(shí)長(zhǎng)為10分鐘。加速度響應(yīng)時(shí)程數(shù)據(jù)見圖7。

圖7 3層剪切框架加速度響應(yīng)時(shí)程

采用本文提出的方法識(shí)別了這一結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，并與NExT-ERA識(shí)別的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。2種方法識(shí)別的結(jié)果如表2所示。可以看出2 種方法的識(shí)別結(jié)果比較接近，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文所提出的方法在模態(tài)參數(shù)識(shí)別方面的可靠性。其中MAC 值接近1，說明2 種方法識(shí)別出的振型基本一致，振型識(shí)別結(jié)果示于圖8。

表1 5層剪切框架結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果比較

表2 實(shí)驗(yàn)實(shí)例模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果

圖8 結(jié)構(gòu)振型識(shí)別結(jié)果

4 結(jié)語

本文提出了一種環(huán)境激勵(lì)下識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的新方法，即基于ESMD 和隨機(jī)減量技術(shù)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法。根據(jù)此方法分析了一座5層剪切框架數(shù)值模型的風(fēng)致振動(dòng)響應(yīng)數(shù)據(jù)，將識(shí)別結(jié)果分別與理論結(jié)果和NExT-ERA 方法識(shí)別結(jié)果做了對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)，由所提方法識(shí)別出的結(jié)構(gòu)頻率和振型擁有很高的精度，阻尼比識(shí)別誤差也在合理范圍內(nèi)，并且有效地避免了NExT-ERA方法識(shí)別結(jié)果中存在的虛假模態(tài)的情況。另外，應(yīng)用此方法識(shí)別了一座3 層實(shí)體剪切框架的模態(tài)參數(shù)，識(shí)別結(jié)果再次表明了這種新方法在環(huán)境激勵(lì)下結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方面的可行性和可靠性，可以作為結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別的有效新工具。