TMD在簡支箱梁多階模態振動控制中的應用

張新亞，雷曉燕，羅 錕

（華東交通大學 鐵路環境振動與噪聲教育部工程研究中心，南昌330013）

橋梁是構建鐵路的重要基礎設施之一，其中也承載著鐵路建設的關鍵技術。隨著城市軌道交通的發展，車橋耦合振動問題變得愈發突出，城市軌道交通所引起的環境振動與噪聲問題也越來越受到關注[1-2]。列車過橋時誘發橋梁結構發生振動，而混凝土橋梁結構振動又會向四周輻射低頻噪聲（0～200 Hz）。研究表明[3-4]：低頻噪聲對人的身心健康帶來長期性危害。因此，對城市軌道交通高架橋梁結構振動開展研究，找到減少橋梁結構振動的合理措施，對降低橋梁結構低頻噪聲、保障人體身心健康以及促進軌道交通的發展都具有重要意義。

調諧質量阻尼器(Tuned Mass Damper，TMD)是一種有效控制結構低頻振動的裝置，它由附加質量塊、彈簧以及阻尼組成，屬于被動式吸振器，通過調整參數可使主結構的振動能量最大限度地轉移到吸振器上，并最終消耗在阻尼元件中。TMD常用于地震、風引起的結構振動控制，近些年逐漸用于橋梁的車致振動控制。Yung-Hsiang Chen[5]分析了TMD 對Timoshenko 梁在移動荷載下的減振效果；肖新標[6]等研究了移動荷載下橋梁的振動機理與TMD 減振控制。李建中[7]通過TMD-橋梁-車輛系統動力方程對TMD 抑制鋼橋的豎向共振的振動效果進行了理論分析；顧萍等[8]分析了MTMD 抑制鐵路鋼桁梁橋橫向振動的振動效果；張迅等[9]選取32 m 雙線混凝土簡支箱梁為研究對象，對安裝MTMD能否達到減振、降噪的雙重效果進行了研究。

以上文獻可以表明：橋梁上安裝TMD可以有效抑制橋梁豎向共振，但是均針對橋梁單一固有頻率進行設計，抑制頻帶較窄。雖然后來MTMD的研究提高了魯棒性能，但是MTMD 采用中心TMD 對結構某階頻率調諧，且在該頻率附近一定范圍附加多個TMD的方式，仍然是對結構單一模態的減振。針對以上研究的不足，本文針對多階模態固有頻率進行吸振器的設計，基于TMD定點理論以及多自由度系統等價質量識別法，確定控制箱梁受控模態振動的TMD最優設計參數，分析減振效果。

1 設計方法

1.1 TMD的最優參數

本文通過對箱梁結構附加有阻尼TMD，將箱梁的低頻振動能量消耗在TMD 的附加阻尼元件中。考慮到箱梁是一個連續體系統，不能直接采用文獻[10]中介紹的單自由度系統TMD 的設計理論進行用于箱梁TMD 的設計。然而基于模態分析技術和等價質量識別方法，可將連續體系統離散為一個多自由度系統（圖1所示），再把多自由度系統當作多個單自由度系統（圖2所示）的集合來進行處理，然后采用單自由度系統TMD的設計方法來進行設計。

圖1 以第i階模態振動的N自由度系統

圖2 i階模態的點j對應的單自由度模型

基于模態分析技術，利用模態向量的正交性將箱梁連續體結構離散為多個單自由度集成的非耦合多自由度模型，則對應第i階模態的等價質量為

式中：Mji為從j點觀察到的第i階模態的等價質量；Ttotal為箱梁系統全體的動能；

ωi為第i階固有圓頻率；

(x1，x2…，x3…，x4)為箱梁第i階模態的固有向量；

(m1，m2…，mj…，mN)為離散的單自由度質量。

根據式(1)計算得到第i階模態的等價質量，通過文獻[10]介紹的無阻尼單自由度最優同調及最優阻尼條件公式可求得箱梁第i階模態附加TMD的最優參數如下

根據αopt和βopt值，可計算箱梁第i階模態TMD的最佳阻尼Ci和彈簧剛度Ki

式中：μi為箱梁第i階模態TMD質量mi與第i階等價質量Mi的比值；fi為主結構的受控模態的頻率，Hz。

可以看出，只要給定TMD 的質量比μi、箱梁第i階模態的等價質量Mi和固有頻率fi就可以直接確定箱梁第i階模態TMD的最優剛度和阻尼。

1.2 TMD的最優安裝位置

根據等價質量的計算公式，可以發現：

1）當質點j點位于箱梁第i階模態的波腹位置，即模態變形最大的點時，該模態的等價質量最小，則質量比為最大。

2）當質點j點位于箱梁第i階模態的節點位置，即模態變形為零的點時，該模態的等價質量為無限大，則質量比為零。

根據TMD的被動吸振原理[11]可知，主結構的振動抑制效果與動力吸振系統質量比大小呈正比關系，隨著質量比的增大而增強。所以動力吸振的安裝位置應選擇該階模態的變形最大位置處，而且本文采用的是各階模態的非耦合控制設計，所以為了減少模態間的相互耦合，該位置應盡可能選擇在其他模態的節點位置。

2 箱梁TMD的設計

2.1 受控模態分析

一般確定受控模態的方法包括：振型貢獻率確定受控模態、隨機振動方法確定受控模態、模態能確定受控模態。本文通過對箱梁結構進行模態分析，采用振型貢獻率確定箱梁減振受控模態[12]。振型貢獻率定義

基于有限元分析軟件ANSYS 建立箱梁結構有限元模型如圖3所示。

圖3 箱梁三維有限元模型

模型中梁體采用solid 45單元模擬，結構參數見表1所示。在箱梁底板的4 個角點建立4 個彈簧-阻尼單元Combine14 模擬橋梁彈簧支座，支座的垂向剛度為3.38×106kN/mm，阻尼為105N·s/m。簡支箱型梁長32 m，為雙線行車梁型。

表1 有限元模型結構參數

對上述箱梁有限元模型進行模態分析計算，得到箱梁的前10 階固有頻率及振型貢獻率如表2所示。

表2 箱梁自振頻率及振型貢獻率

2.2 TMD最優參數的確定

為了確定TMD 在箱梁上的最優安裝位置和最優設計參數，這里基于上述多自由度系統等價質量識別法，通過有限元分析軟件ANSYS計算得到箱梁結構第i階模態總能量和最大模態位移，并將其與第i階模態固有頻率一同代入到公式(1)中，得到第i階模態的等價質量。分析中各階模態吸振器的質量比分別取為0.01、0.02、0.03和0.04，然后根據公式(4)和公式(5)計算得到TMD 的最優設計參數，見表3所示。

2.3 TMD最優安裝位置的選擇

由圖4(a)所示的箱梁第2階模態振型圖可知，由于箱梁的第2 階模態為垂向彎曲，該階模態的波腹位置位于箱梁的跨中，并且該階模態的波腹位置位于6 階模態的節點位置，因此根據多自由度系統TMD 的最優安裝位置的確定方法，可以將箱梁1 階模態TMD 安裝在箱梁跨中；由圖4(b)可知箱梁6 階模態的波腹位置位于距離梁端5.76 m 位置，可任意選擇兩者其中一個波腹位置作為第6 階模態TMD的最優安裝位置；由圖4(c)可知箱梁8階模態的波腹位置位于距離梁端以及跨中位置，考慮到2 階模態的波腹位置也位于箱梁跨中截面，為了減少兩階模態TMD間模態耦合作用的相互影響，可任意選擇一個梁端截面波腹位置作為第8 階模態TMD 的最優安裝位置。具體3階模態TMD安裝截面見圖5(a)所示，為了不增加梁體的橫向轉動模態響應，TMD 的安裝位置，均選擇在縱向中心線上，具體位置為箱室內懸掛于頂板如圖5(b)所示。

在箱梁結構中附加TMD減振系統，質量塊采用質量單元Mass21進行模擬，剛度和阻尼特性采用彈簧-阻尼單元Combine14進行模擬。

3 簡諧荷載作用下TMD吸振特性

基于上述箱梁結構TMD 有限元模型的最優參數設計，對簡諧荷載作用下的TMD吸振特性進行分析。分析計算中，各階模態吸振器的質量比分別取0.01、0.02、0.03 和0.04，對應的最優設計參數見表1所示。欲分析控制不同模態振動的TMD減振特性，在箱梁上施加單位簡諧荷載，通過諧響應分析得到箱梁單獨附加各階模態TMD時，圖5（b）所示最優附加位置上方橋面振動監測點的幅頻響應。

圖4 受控模態振型圖

表3 TMD最優參數

圖5 箱梁TMD最優位置設置

這里分別以控制第2、第6 階模態振動為例，注意在設計第i階模態振動的TMD 時，單位簡諧荷載的施加位置能夠明顯激起該階模態的共振峰值，并且盡量施加在其他模態的節點位置，避免其他模態振動的影響。如圖6所示。

圖6 激勵點布置

對于控制第2 階模態時，荷載施加在跨中截面對應鋼軌線位置的A 點；控制第6 階模態時荷載施加在距離梁端9.6 m處的B點（第8階模態的節點位置）。圖5為附加TMD 前后，箱梁振動監測點的幅頻響應。

由圖7可知，在附加TMD之前，第2、6階固有頻率附近的箱梁振動位移均出現明顯的峰值，在施加了TMD之后，箱梁在該頻率附近的振動位移得到了明顯的抑制，這是因為箱梁的振動能量通過彈簧阻尼單元轉移到了TMD上，并通過阻尼使系統能量得到消耗。并且由圖7可見TMD 對于箱梁振動位移的抑制效果隨著質量比的增大而增強。

4 列車荷載作用下TMD吸振特性

車橋耦合動力學[13-14]是研究列車-軌道-橋梁相互作用的常用方法。考慮到本文主要關心TMD 的減振效果，為了簡化計算，本文采用SIMPACK 多體動力學軟件，建立軌道橋梁多柔體系統模型如圖8所示。

圖8 橋梁多柔體系統

仿真計算得到跨中軌道結構與梁體結構之間的相互作用力，即力元下部節點的支反力，將其作為外部激勵施加在附有TMD 的箱梁有限元模型中進行動力學計算，具體激振位置為跨中截面對應鋼軌線位置處。列車運行速度200 km/h，所提取激振力時域與頻譜曲線如圖9所示，可有效激起所關心的箱梁0～30 Hz低階模態振動。

箱梁結構同時附加3 階模態TMD，其質量比分別選取0.03、0.02、0.02，計算得到附加TMD 后箱梁在時域和頻域的響應如圖10－圖12所示。

圖7 附加各階模態TMD時箱梁的幅頻響應

由于箱梁各階模態的波腹與節點位置不同，各個位置的減振效果存在差異，因此圖10和圖11分別給出了箱梁跨中和梁端截面監測點的振動加速度時程和幅頻曲線來分析減振效果。

由圖10(a)和圖11(a)可知，當控制3 階模態的TMD附加到箱梁上之后，由列車動荷載引起的箱梁振動加速度衰減速度加快，加速度的峰值也明顯減少。

由梁端截面頂板加速度幅頻曲線圖10(b)可知，未附加TMD時，荷載引起的箱梁振動加速度在固有頻率5.96 Hz、24.07 Hz附近出現較大的峰值，而附加了相應的TMD后，箱梁在這兩個固有頻率附近頻段5 Hz～7 Hz、20 Hz～30 Hz的振動加速度顯著降低；同樣，由跨中截面頂板幅頻曲線圖11(b)可知，附加TMD 后，荷載引起的箱梁振動加速度在固有頻率5.96 Hz、15.79 Hz、24.07 Hz 附近頻段的振動加速度顯著降低。這表明TMD 有效抑制了箱梁結構前幾階模態的低頻振動。

由圖12箱梁支座反力幅頻曲線可知，支座下部節點支反力在箱梁附加了TMD 后，分別在5 Hz～7.5 Hz頻段以及20 Hz～25 Hz頻段都發生了顯著的降低，從而減少了箱梁結構低頻振動向周圍建筑物的傳遞。

圖12 箱梁支座反力幅頻曲線

5 結語

本文研究了多階模態振動組合控制下，TMD對箱梁低頻振動的吸振特性。通過分析得到結論概括如下：

（1）基于TMD 定點理論以及多自由度系統等價質量識別法，能夠準確地確定控制箱梁低頻模態振動的TMD最優設計參數。

圖9 作用在箱梁上的力

圖10 梁端頂板振動加速度

圖11 跨中頂板振動加速度

（2）TMD 對于箱梁低頻共振有明顯的抑制作用，并且質量比越大，各階模態TMD 吸振效果越明顯。

（3）在列車荷載作用下，附加一定質量比的組合TMD后，箱梁在所控制模態頻率附近的加速度響應明顯減少。箱梁支座反力在該頻段也有所減少，表明TMD 能夠有效地抑制箱梁固有頻率附近的低頻振動。