含區間參數的多體系統特征值問題分析

武令偉，王國平，芮筱亭，屠天雄，查啟程

（ 南京理工大學 發射動力學研究所，南京210094）

在實際工程中，由于測量不精確，加工水平與條件等因素限制，導致機械系統結構的材料參數、幾何特性和外載荷等存在不確定性。當這些不確定性出現在包含多個元件的復雜系統中，會使系統結構產生較大的、無法預測的偏差。因此，使用常規的確定性參數進行數學建模，對多體系統進行動力學分析所得到的結果，往往并不能準確地描述整個系統的實際工作狀況。因此在進行動力學建模計算時必須將這些不確定因素考慮進去，才能更為真實有效地反映實際工作狀況。

為了研究多體系統中存在的不確定性因素對多體系統振動特性的影響，目前主流的分析處理方法有概率方法[1-2]、模糊方法[3-4]和區間分析方法[5-6]。

概率方法是研究不確定性系統的重要手段。運用概率方法的前提是，已知不確定參數的概率分布函數。但是在實際工程中許多情況下需要大量的人力物力進行統計試驗來獲取大量樣本資料，進一步獲得不確定參數的概率分布函數，這樣的做法顯得不切實際。模糊方法是工程結構中研究不確定性的另外一種常用方法。采用模糊集理論描述工程結構中的不確定性，但是需要已知多體系統中不確定參數的隸屬度函數。不確定參數的隸屬度函數的獲得，同樣需要大量的模糊統計數據。因此許多科研工作者逼不得已采用具有很大主觀因素的隸屬度函數，來進行多體系統的動力學分析計算，進而導致計算結果不能準確地反應實際情況。

與概率方法和模糊方法相比，區間方法只需要知道不確定參數的上下限，對不確定參數的描述簡單準確，更容易為工程人員所接受。因此，運用區間參數方法研究多體系統的振動特性顯得非常必要。

Moore于20世紀50年代首先提出區間算法，此后區間分析方法得到了迅速發展。Rohn[7]針對對稱區間求解了區間特征值，胡海昌[8]提出了剛度與質量包含定理。Dief[9]提出了特征值區間求解定理來計算標準區間特征值問題。高偉[10]等基于泰勒展開和攝動方法提出了攝動蒙特卡洛法，邱志平[11]和Rao Rama[12]又分別基于泰勒展開定理，運用區間方法進行非線性結構動力學分析。

芮筱亭[13]等建立的多體系統傳遞矩陣法，具有建模靈活、計算效率高、無需建立系統總體動力學方程等優點，在實際工程中得到廣泛應用。本文基于區間算法和多體系統傳遞矩陣法建立了含區間參數的多體系統振動特性的分析方法。分別應用文中方法與掃描法對含區間參數的多體系統特征值問題進行了分析，兩種方法的計算結果吻合較好，證明了文中方法的有效性和準確性。

1 多體系統傳遞矩陣法

多體系統傳遞矩陣法的基本思想是“化整為零”，將一個復雜的多體系統“分割”成若干個體元件和鉸元件，這些元件的動力學特性以矩陣形式表示。計算時，可從事先建立好元件的矩陣庫中直接調用所需元件的傳遞矩陣，根據系統動力學模型拓撲圖推導系統總傳遞方程和總傳遞矩陣，再利用系統邊界條件和初始條件求解系統總傳遞方程，即可解得當前時刻系統邊界狀態矢量中的未知數；進而按照傳遞方向，依次可以得到各元件輸入輸出端的狀態矢量或者系統中任意位置的狀態矢量。

多體系統傳遞矩陣法中，在某階模態下系統固有頻率為ωk，對應的狀態矢量

式中：i為虛數單位，Z為模態坐標下的狀態矢量

式中：X、Y和Z為模態坐標下的位移，Θx、Θy和Θz為模態坐標下的角位移，Mx、My和Mz為模態坐標下的力矩，Qx、Qy和Qz為模態坐標下的力。

在多體系統中，每個元件的力學特征由傳遞矩陣Ui表示，由此可得復雜系統的總傳遞方程

將式（2）代入式（4）中，可得

考慮邊界條件，對于輸入點固定，輸出點自由，即

可得系統特征方程

解之可得系統固有頻率ωk。

2 區間傳遞矩陣法

考慮到多體系統存在幾何和材料的不確定性，令向量ζ?[a,b]r表示機床的幾何和材料不確定性參數，r為不確定參數總數。則向量ζ可描述為

式中：ζlI為不確定參數向量ζ的第l個元素的區間表示。

假設系統固有頻率ω(ζ)存在關于ζ的2 階導數，則在點ζc∈ζ處作2階Taylor展開，系統固有頻率可表示為

考慮整個系統的不確定性，傳遞矩陣Ui可表示為

式中：矩陣Uic為矩陣Ui在點ζc處，ω取ωc時的值，也即是Ui的中值。

任意節點的狀態矢量可表示為

式中向量Rc和Fc分別為R和F在點ζc處的取值，即是R和F的中值。

將式（10）代入式（4）中，可求得總傳遞矩陣

式中：矩陣Uc為總傳遞矩陣U在點ζc處，ω取ωc時的值，也即是U的中值

將式（11）、式（12）和式（13）代入式（4）中，忽略高階小量，令等式兩邊不確定變量Δζ的同階次相等，同時考慮到Δζl之間相互獨立，因此可得

式中：當l=m,kk=0，當l ≠m,kk=1。

考慮系統邊界條件，由式（6）、式（7）、式（13）、式（14）和式（15）可得系統的不確定參數特征方程為

由式（7）和式（17），可運用牛頓迭代法、二分法、拋物線法等多種方法求解獲得ωc，將所獲得的每1階ωck，依次代入矩陣U22(c)，并對其作奇異值分解[14,15]可得

式中：T和V為酉矩陣，即分別為T和V的共軛轉置矩陣。將式（20）代入式（17）可得

令

將式（22）代入式（21），并在等式兩邊左乘矩陣，可得

當對于ωck矩陣有p重根時，則對角陣D最后p個對角元素為零，即

結合式（23）和式（24）可得p個非零解

將式（24）依次代入式（21），并在等式兩邊左乘以矩陣V，可得

將式（20）和零階固有頻率ωck代入式（18）同時左乘以可得

考慮式（24）和式（25），式（27）成立的前提需要滿足

式中：A為矩陣的最后p行。由式（28）可獲得之后再結合式（24）和式（27）可求得

將式（19）、式（25）和式（30）代入式（18）同時左乘以可得

根據式（23）、式（32）和式（28），可得

式中：B為矩陣

最后p行所組成的矩陣。由式（30）可求得

將上述求得的第k階代入到式（9），并利用Taylor擴張函數和區間算法可得第k階固有頻率的區間

3 算例

3.1 算例1

如圖1所示，多剛體系統由相同的4 個剛體、4個彈簧和4 個扭簧組成。剛體可在x軸方向縱向振動，繞z軸作微小扭轉振動。

考慮該系統的不確定參數為kx和kz，其變化區間分別為[ 0.95kx1.05kx]和[ 0.95kz1.05kz]建立系統的總傳遞矩陣為

圖1 鏈式多剛體系統

運用第2 節的方法,可求得該多剛體系統的前6階固有頻率的區間。掃描法計算結果是通過64 000個點逐點計算的掃描法得到的前6 階固有頻率區間，掃描法獲得的區間比真實區間略小，一般可作為精確解，但是由于要保證精度，往往需要以較小的步長進行逐點掃描，導致計算時間過長。由表1可看出通過區間傳遞矩陣法計算得結果逼近精確解，由表2可看出其計算時間遠小于掃描法計算所需時間，由此證明了該方法的有效性和高效性。

表1 鏈式多體系統前6階固有頻率區間/Hz

表2 鏈式多體系統運算時間/s

3.2 算例2

如圖2所示，將機床簡化為由彈性鉸、剛體和Euler-Bernoulli 梁組成的多剛柔體系統。其中機床主軸視為Euler-Bernoulli梁，機床的立柱和橫梁視為剛體，三者之間鉸接。考慮該系統的Euler-Bernoulli梁的抗彎剛度EI和線密度mˉ為不確定參數，其變化區間分別為[ 0.95EI1.05EI]和

圖2 機床簡化模型

系統參數分別為：K1,x=2.4×106N/m，K1,y=5.9×107N/m，K1,z=1×107N/rad，K3,x=1×107N/m，K3,y=1×107N/m ，K3,z=1×107N/rad ，K5,x=4×107N/m，K5,y=1×107N/m，K5,z=4×107N/rad，m2=218 kg，h2=0.675 m，a2=0.28 m，h2=0.24 m，a2=0.46 m ，L6=0.37 m ，EI=58 834 N·m2，mˉ=46.370 4 kg/m

運用第2 節的方法，可求得機床多剛柔體系統的各階固有頻率的區間。

由表3可看出區間傳遞矩陣法的計算得結果和準確解較為接近，并且將準確解完全包含在所求區間內，由此可看出該方法具有較高的可靠性，由表4可看出其計算時間遠小于掃描法計算所需時間，由此證明了該方法的有效性和高效性。

表3 機床多剛柔體系統前6階固有頻率區間/Hz

表4 機床多剛柔體系統運算時間/s

4 結語

本文基于區間算法和多體系統傳遞矩陣法建立了含區間參數的多體系統振動特性的分析方法。該方法無需建立系統總體動力學方程，無需大量的統計數據，即可快速進行計算分析。同時，該方法將區間算法與復雜計算過程解耦，從而避免了計算過程中區間不斷放大的累計現象，能更好的控制區間算法的區間放大現象。最后，分別應用文中方法與掃描法對含區間參數的鏈式多剛體系統和機床多體系統特征值問題進行了計算分析，2種方法的計算結果吻合較好，文中方法計算速度遠高于掃描法，同時也證明了文中方法的有效性和高效性，通過對簡單的多剛柔體系統模型分析計算說明了該方法的普適性，對今后解決更為復雜的不確定多體系統的研究具有重大意義。