小樣本結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性量化及傳遞分析的信息擴(kuò)散方法

駱勇鵬，魯四平，劉景良

（1.福建農(nóng)林大學(xué) 交通與土木工程學(xué)院，福州350108；2.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，長沙410075）

實(shí)際工程結(jié)構(gòu)在制造、加工、裝配、建模等環(huán)節(jié)中不可避免地存在各種不確定性因素，如制造誤差及載荷不確定性等，使得結(jié)構(gòu)性能也表現(xiàn)出一定的變異特性。若在結(jié)構(gòu)分析時(shí)忽略這些不確定性因素的影響，采用確定性模型和確定性方法進(jìn)行分析，可能出現(xiàn)理論分析和實(shí)際結(jié)構(gòu)響應(yīng)不吻合等問題，對結(jié)構(gòu)的安全分析和設(shè)計(jì)產(chǎn)生不可忽略的影響[1-3]。

當(dāng)樣本充足時(shí)，概率模型是對不確定性進(jìn)行度量的一種有效辦法[4]。此時(shí)，不確定性通過具有某種分布形式的隨機(jī)變量或隨機(jī)過程來量化，并以此開展結(jié)構(gòu)的不確定性傳遞分析[5]。目前該方面的研究已取得一定的成果。Doebling 等[6]提出了基于蒙特卡羅和有限元分析的不確定性正向傳遞計(jì)算方法。徐騰飛等[7]利用蒙特卡羅與鋼筋混凝土非線性有限元法，研究鋼筋混凝土梁在服役期間變形隨機(jī)性的變化規(guī)律。該分析過程每次加載的非線性分析次數(shù)為10 000 次，計(jì)算成本較大。為了彌補(bǔ)蒙特卡羅有限元分析方法的不足，宗周紅等[8]提出一種基于響應(yīng)面模型的蒙特卡羅模擬，并將其應(yīng)用到下白石大橋的不確定性分析和量化中，在保證模型精度的前提下提高計(jì)算效率。

值得注意的是，實(shí)際工程中因條件限制往往不能獲取足夠的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。現(xiàn)有研究成果只能通過假定不確定性參數(shù)的概率密度函數(shù)，進(jìn)而開展不確定性傳遞分析。也有學(xué)者提出通過擬合優(yōu)度檢驗(yàn)（如K-S檢驗(yàn)）等方法來估計(jì)不確定性參數(shù)的概率分布[9]。在樣本個(gè)數(shù)較多的情況下，該方法是可行的。但是當(dāng)樣本數(shù)量較少時(shí)，所確定的概率分布本身具有一定的不確定性[10]，甚至可能出現(xiàn)假定的概率密度函數(shù)與實(shí)際不符的情況，此時(shí)將產(chǎn)生較大的誤差，進(jìn)而影響結(jié)構(gòu)實(shí)際服役性能評價(jià)。

因此可以說不確定性分析和設(shè)計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確性與真實(shí)性很大程度上依賴于不確定性源的量化。概率密度函數(shù)的選取對不確定性分析結(jié)果有較大影響，受工程實(shí)際可獲取信息的局限，如何基于有限樣本對不確定性參數(shù)進(jìn)行量化及傳遞分析是當(dāng)前的發(fā)展重點(diǎn)[4]。信息擴(kuò)散理論通過將單值樣本轉(zhuǎn)換成概率形式表達(dá)的模糊集值樣本，進(jìn)而對非完備樣本信息進(jìn)行有效處理[11]，可在一定程度上解決結(jié)構(gòu)不確定分析中概率分布難以確定的問題，目前已逐步應(yīng)用于測繪工程、災(zāi)害評估、巖土工程等領(lǐng)域。本文將其引入到不確定性量化和傳遞分析中，提出新的不確定性參數(shù)量化和不確定性傳遞分析方法，以數(shù)值算例和試驗(yàn)鋼板模態(tài)頻率不確定性分析為例，驗(yàn)證所提方法的可行性及可靠性。

1 基于信息擴(kuò)散的不確定性參數(shù)量化及傳遞分析

1.1 不確定性參數(shù)概率密度函數(shù)估計(jì)

信息擴(kuò)散原理的基本思想為：設(shè)X是不確定性參數(shù)的已知觀測樣本。li為Xi的觀測值。若X是非完備的，則存在擴(kuò)散函數(shù)μ(x)，使得li所獲得的量值為1 的信息可根據(jù)μ(x)的量值擴(kuò)散，且擴(kuò)散得到的原始信息分布能夠更好地反映總體規(guī)律[11]。

根據(jù)上述原理對母體的概率密度函數(shù)進(jìn)行估計(jì)的過程稱為擴(kuò)散估計(jì)，其定義如下：

設(shè)μ(x)為定義在[-∞,+∞] 上的一個(gè)Borel可測函數(shù)則稱

由式（1）可知，要對不確定性參數(shù)的概率密度函數(shù)進(jìn)行估計(jì)，首先要確定擴(kuò)散函數(shù)μ(x)和窗寬d[11]。黃崇福提出了基于分子擴(kuò)散理論的正態(tài)擴(kuò)散函數(shù)和基于擇近原則的經(jīng)驗(yàn)窗寬確定方法[11]。但是該方法不適用于所有分布（如非對稱和非正態(tài)分布），且根據(jù)不同窗寬計(jì)算得到的母體概率密度函數(shù)的估計(jì)精度是不同的[12]。

為了提高母體概率密度函數(shù)的估計(jì)精度及擴(kuò)大其適用范圍，王新洲等提出可在母體概率密度函數(shù)估計(jì)的均方誤差最小準(zhǔn)則求得最優(yōu)窗寬。而在確定最優(yōu)窗寬前要先確定最優(yōu)擴(kuò)散函數(shù)。同樣根據(jù)均方誤差最小準(zhǔn)則，王新洲等推導(dǎo)出了最優(yōu)擴(kuò)散函數(shù)的形式[13]。研究表明采用最優(yōu)窗寬估計(jì)母體概率密度函數(shù)，其精度比經(jīng)驗(yàn)窗寬估計(jì)母體概率密度函數(shù)要高很多，并且其曲線能很好地逼近理論分布曲線[13]。為此，本文也采用最優(yōu)窗寬和最優(yōu)擴(kuò)散函數(shù)來獲得不確定性函數(shù)的概率密度函數(shù)。

根據(jù)文獻(xiàn)[13]中的推導(dǎo)，使母體概率密度函數(shù)估計(jì)的均方誤差最小的最優(yōu)擴(kuò)散函數(shù)的形式為

最優(yōu)窗寬的迭代公式

第三，創(chuàng)新知識體系。要建立獨(dú)立學(xué)院法學(xué)專業(yè)新的教材體系，它既不是普通本科教材的濃縮，更不是刪減，而是知識體系的創(chuàng)新。新教材體系要以專業(yè)人才培養(yǎng)目標(biāo)為依據(jù)，全面提高人才培養(yǎng)素質(zhì)和教育教學(xué)質(zhì)量，系統(tǒng)地研究、借鑒傳統(tǒng)法學(xué)教材的優(yōu)點(diǎn)，創(chuàng)立新的體例和新的語言風(fēng)格，既要照顧到法律基礎(chǔ)理論，又要突出實(shí)用性。

1.2 隨機(jī)數(shù)生成及參數(shù)不確定性量化

考慮到估計(jì)的概率密度函數(shù)不是常規(guī)的概率密度函數(shù)，如何生成符合該概率密度函數(shù)的隨機(jī)數(shù)也是一個(gè)值得考慮的問題。本文引入接受-拒絕法[14]進(jìn)行偽隨機(jī)數(shù)的生成。按照估計(jì)的概率密度函數(shù)對均勻分布序列的隨機(jī)數(shù)序列進(jìn)行舍選。該步驟的具體實(shí)現(xiàn)過程[15]為：

首先選擇g(l)作為建議分布的概率密度函數(shù)，然后確定一個(gè)常數(shù)M＞1，使得在l的定義域上均有成立；然后生成服從概率密度函數(shù)為g(l)的建議隨機(jī)數(shù)y和一個(gè)服從均勻分布U(0,1)的隨機(jī)數(shù)u。最后，計(jì)算接收準(zhǔn)則的概率函數(shù)h(l)=，如果u＜h(y)，則接收所生成的隨機(jī)數(shù)y；反之，則丟棄該隨機(jī)數(shù)y，重新進(jìn)行隨機(jī)數(shù)生成。

通過以上步驟可以生成符合不確定性參數(shù)概率密度函數(shù)的隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，根據(jù)式（4）和式（5）計(jì)算不確定性參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，達(dá)到量化結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性的目的。

采用接受-拒絕法進(jìn)行隨機(jī)數(shù)生成時(shí)，首先要選擇常用分布的概率密度函數(shù)作為建議概率密度函數(shù)，保證g(l)容易被抽樣（本文以均勻分布的概率密度函數(shù)作為建議概率密度函數(shù)）。其次Mg(l)要能夠完全罩住，且形狀盡量與相似，這樣可以提高抽樣的效率[15]。

1.3 不確定性傳遞分析

為快速計(jì)算參數(shù)不確定對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，基于逐步回歸分析理論，建立反映參數(shù)與響應(yīng)之間的復(fù)雜關(guān)系的不完全二次多項(xiàng)式響應(yīng)面模型[16]，如式（6）所示。

式中：li∈[lli,lui]，lli、lui是參數(shù)的取值范圍；β0、βi、βij、βii是回歸系數(shù)。

將隨機(jī)樣本代入響應(yīng)面中快速計(jì)算隨機(jī)樣本對應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析可得響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，從而估計(jì)多個(gè)參數(shù)變異對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)變化的影響。

圖1為所提的小樣本結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性量化及傳遞分析的信息擴(kuò)散方法的計(jì)算流程。

圖1 所提方法計(jì)算流程圖

2 數(shù)值算例

以4自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)（如圖2所示）來驗(yàn)證所提方法的有效性。首先假設(shè)系統(tǒng)的不確定性均來源于剛度參數(shù)的不確定性。其中k1和k2真實(shí)值服從均值為1，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1的正態(tài)分布，其余參數(shù)真實(shí)值設(shè)置為

圖2 4自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)

2.1 參數(shù)不確定性量化

以k1參數(shù)為量化對象，根據(jù)k1所服從的概率分布函數(shù)，分別隨機(jī)抽取200 個(gè)數(shù)據(jù)作為真實(shí)不確定性參數(shù)的測量數(shù)據(jù)，其中均值為0.992 9，標(biāo)準(zhǔn)差為0.098 3。分別從200 個(gè)數(shù)據(jù)中抽取前5 個(gè)、10 個(gè)、15個(gè)、20個(gè)和25個(gè)數(shù)據(jù)作為小樣本實(shí)測數(shù)據(jù)。基于提出的量化方法對剛度參數(shù)k1進(jìn)行量化，均值和標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)結(jié)果如表1所示。

表1 k1參數(shù)量化結(jié)果分析

表1同時(shí)給出直接基于5 個(gè)、10 個(gè)、15 個(gè)、20 個(gè)和25 個(gè)k1數(shù)據(jù)計(jì)算得到的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。為了便于描述，將所提的基于信息擴(kuò)散的參數(shù)不確定性量化方法簡稱為IDM（Information Diffuse Method）；將直接對小樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法簡稱為TSA（Traditional Statistical Analysis）。由表1可知，通過IDM 計(jì)算得到的均值和標(biāo)準(zhǔn)差相較于TSA 更接近于模擬實(shí)測變量的取值情況，尤其是標(biāo)準(zhǔn)差的誤差精度得到顯著提高。如圖3所示。

圖3 預(yù)測和實(shí)際概率統(tǒng)計(jì)特征值的誤差

從圖3可知，IDM 和模擬實(shí)測值的誤差隨著樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加而減小，當(dāng)樣本個(gè)數(shù)為20 個(gè)時(shí)，均值和標(biāo)準(zhǔn)差的誤差分別為4.67%和7.5%，滿足工程精度要求。參數(shù)k2的量化過程及結(jié)果與參數(shù)k1類似，限于篇幅，不再贅述。

2.2 不確定性傳遞分析

以20 個(gè)數(shù)據(jù)作為小樣本實(shí)測數(shù)據(jù)，分別根據(jù)k1和k2的量化結(jié)果，計(jì)算2 個(gè)剛度參數(shù)不確定性對質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的前4 階模態(tài)頻率的影響，結(jié)果如表2所示。

從表2可知，采用所提的不確定性方法及傳遞分析計(jì)算得到的前4階模態(tài)頻率均值與模擬實(shí)測模態(tài)頻率均值吻合良好，最大誤差為2.46%。前4 階模態(tài)頻率標(biāo)準(zhǔn)差與模擬實(shí)測模態(tài)頻率標(biāo)準(zhǔn)差最大誤差為-14.88%。從圖4和圖5可知，預(yù)測頻率和模擬實(shí)測頻率的分布范圍較為接近，驗(yàn)證了所提方法的可行性及可靠性。

圖4 預(yù)測和模擬實(shí)測的第1階、2階模態(tài)頻率散點(diǎn)圖

表2 預(yù)測頻率與實(shí)測模態(tài)頻率概率統(tǒng)計(jì)特征值

表3 頻率實(shí)測值的統(tǒng)計(jì)特征值[17]

圖5 預(yù)測和模擬實(shí)測的第3階、4階模態(tài)頻率散點(diǎn)圖

3 試驗(yàn)鋼板頻率響應(yīng)不確定性分析

以33 塊具有相同名義尺寸及材料參數(shù)的鋼板為研究對象[17]，在自由邊界條件下，采用錘擊法對33塊鋼板進(jìn)行模態(tài)試驗(yàn)，得到33 塊鋼板的前5 階模態(tài)頻率值及其統(tǒng)計(jì)值，如表3所示。

鋼板模態(tài)試驗(yàn)示意圖如圖6所示。

圖6 鋼板模態(tài)試驗(yàn)示意圖

3.1 材料參數(shù)不確定性量化

該組鋼板的名義尺寸為564 mm×110 mm×1.45 mm，彈性模量、剪切模量、質(zhì)量密度的名義取值分別為210 GPa、83 GPa 及7 860 kg/m3。在不考慮測量誤差影響的前提下，文獻(xiàn)[17]采用隨機(jī)模型修正方法對鋼板的彈性模量E和剪切模量G的均值和標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行了估計(jì)，結(jié)果如表4和表5所示。本文根據(jù)隨機(jī)模型修正預(yù)測的材料參數(shù)均值和標(biāo)準(zhǔn)差，假定其服從正態(tài)分布，分別隨機(jī)抽取20個(gè)鋼板彈性模量和剪切模量值作為模擬實(shí)測值。

基于20個(gè)樣本，采用所提方法對鋼板材料參數(shù)不確定性進(jìn)行量化。表4和表5給出了均值和標(biāo)準(zhǔn)差的量化結(jié)果。

表4 預(yù)測及模擬實(shí)測參數(shù)均值

表5 預(yù)測及模擬實(shí)測參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差

從表4和表5可知所提方法估計(jì)的均值誤差最大為0.15%，標(biāo)準(zhǔn)差誤差最大為9.84%，相較于TSA的計(jì)算結(jié)果而言，有較大改善，特別是標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)精度上，有明顯改變，說明所提方法在小樣本的情況下可以有效地估計(jì)總體的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

3.2 不確定性傳遞分析

為了快速計(jì)算材料參數(shù)不確定性引起的鋼板前5階模態(tài)頻率的變異程度，采用中心復(fù)合設(shè)計(jì)確定試驗(yàn)點(diǎn)，結(jié)合逐步回歸分析方法，得到前5階模態(tài)頻率的響應(yīng)面模型，其中第1 階模態(tài)頻率響應(yīng)面模型如式（7）所示。

根據(jù)不確定性參數(shù)量化結(jié)果，隨機(jī)抽取2 000個(gè)樣本點(diǎn)代入各階響應(yīng)面模型中，快速計(jì)算前5 階模態(tài)頻率值并進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果如表6所示。

從表6可知，前5 階模態(tài)頻率均值最大誤差為1.23%，標(biāo)準(zhǔn)差最大誤差為15.88%，滿足工程精度要求。從圖7可知，實(shí)測模態(tài)頻率大部分在隨機(jī)抽樣范圍里面，預(yù)測模態(tài)頻率和實(shí)測模態(tài)頻率的分布基本吻合，進(jìn)一步說明前述材料參數(shù)不確定性量化結(jié)果的準(zhǔn)確性。

4 結(jié)語

本文在不確定性分析中引入信息擴(kuò)散理論，提出基于信息擴(kuò)散理論的小樣本結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性量化及傳遞分析方法。質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)數(shù)值模擬算例和鋼板試驗(yàn)表明不確定性參數(shù)估計(jì)精度隨著樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加而增加，當(dāng)樣本個(gè)數(shù)為20個(gè)時(shí)可得到較好的估計(jì)結(jié)果，在一定程度上解決了小樣本參數(shù)概率密度函數(shù)難以確定而導(dǎo)致參數(shù)不確定性量化困難的問題。

表6 頻率實(shí)測值及統(tǒng)計(jì)值

圖7 預(yù)測和實(shí)測的第1－3階模態(tài)頻率散點(diǎn)圖