多元函數泰勒公式及其應用

黃賢峰，史亳徽

（阜陽師范學院數學與統計學院，安徽阜陽 236037）

泰勒展式是數學中一個極為重要的概念，是微分學理論的最一般情形，具有化繁為簡、化難為易的功能。同時，其在多元函數逼近、計算機圖像學及工程近似計算等領域具有較為廣泛的應用。其中，一元函數泰勒展開式的研究已相當成熟，如利用一元函數泰勒公式求解極限、利用泰勒展開式巧解行列式以及利用泰勒展開式求函數圖像的漸近線等。而多元函數泰勒展開式的問題研究想對較少，而多元函數的研究更加具有實際價值，因此該文將在一元函數泰勒展開式的基礎上，對多元函數的泰勒展開式展開研究。首先，對多元泰勒展開式的基本知識進行了歸納和總結。其次，由于多元泰勒展開式在展開時比較復雜，因此該文將借助MATLAB 實現這一過程。再次，借助張量與張量積運算為泰勒展開式引入一種新的表現形式，使其更加簡潔直觀，便于理解和記憶。最后，借助多元泰勒展開式在數學、物理學及經濟學中的實際問題說明其巨大的應用價值。

1 預備知識

下面將給出多元函數和多元函數泰勒展開式的定義。

定義1（二元函數） 設D 是平面點集，R 為實數集，f 是一個對應規則，若對于D 中的每一個（x，y），通過對應規則f，在R 中有唯一的點與之對應，則稱f 是定義在D 上的一個二元函數。它在的值為z，記為：

z=f（x，y），（x，y）∈D?R2

也可以說是從到的一個映射，記作：

f:D→R，（x，y）→z=f（x，y），

其中，稱D 為該二元函數f 的定義域，像集f（D）{z|z=f（x，y），（x，y）∈D}稱為值域。

定義2（n 元函數）設D 是Rn的一個非空子集，f 是一個對應規則，若對于D 中的每一個點P，通過對應規則f，在R 中有唯一的點u 與之對應，則稱f 是定義在D 上的一個n 元函數。它在P 點的值為u，記為u=f（P），P∈D?Rn

也可以說是從D 到R 的一個映射，記作：

定義3 設函數f:Rn→R，x∈Rn，f 在點x 的某個以δ為半徑的鄰域內S=U（x，δ）?Rn具有直到（n+1）階的連續偏導數，則對Ax'∈S，有

其中，δ=（δ1，δ2，···，δn）T

=（x1，x2，···，xn）-（x'1，x'2···x'n），

公式（1）稱為以（x-x'）的冪展開的帶有拉格朗日型余項的n 階泰勒公式，Rn（x）稱為拉格朗日余項，且有

其中，（3）式稱為佩亞諾型余項。

此時若取x'=0，則ξ 在0 與x 之間，故可令ξ=θx（0＜θ＜1），使泰勒公式變為更為簡單的形式，即帶有拉格朗日余項的麥克勞林公式。

當Rn（x）要求不大精確時，n 階泰勒公式亦可表示為

公式（5）稱為以（x-x'）的冪展開的帶有佩亞諾型余項n 的階泰勒公式。若取x'=0，則得到帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式

由（4）或（6）可得到近似公式

2 多元函數泰勒展式的張量表示

從功能上說，張量[5]可以理解為多維數組，其中零階張量表示標量（數量），一階張量表示向量，也就是一維數組；n 階張量可以視為為一個n 維數組。

該文為了問題說明的方便，以三元函數的三階泰勒展式為例展開說明。現假設函數f (x, y, z)在點p0（x0，y0，z0）的某個以δ 為半徑的鄰域U(p0，δ)內具有三階連續偏導數。對于Ap(x, y, z)∈U(p0，δ)，做差分計算得到：

Δx=x-x0；Δy=y-y0；Δz=z-z0.即Δp=（x-x0，y-y0，z-z0）T.

代入三元函數，則可得泰勒展式的基本形式為：

同理，我們可以得出n 元函數的泰勒展式的一種比較簡潔和直觀的表達形式，只是過程相對來說比較復雜，但是仍然可以實現。

3 多元泰勒展式的實際應用

由于泰勒展式在數學、物理學及經濟學等領域應用較多，所以下面以多元泰勒展式為例

對于三元函數f（x，y，z）在點

x=a，y=b，z=c 鄰域的泰勒展式為：

ρ 稱為體系的電偶極矩[6]，張量Dij稱為體系的電四極矩。

綜上，得電荷體系激發的在遠處的多極展開式為

通過對多元泰勒展式在物理學領域這一實例的分析,足見其應用價值。

4 結語

在分析多元泰勒展開式的基礎上，本文給出了元函數帶有拉格朗日型余項與帶有佩亞諾型余項兩種形式的泰勒公式； 同時也給出了元函數帶有拉格朗日型余項與帶有佩亞諾型余項兩種形式的麥克勞林公式。利用MATLAB 軟件直觀分析了一個多元函數與其泰勒展開式之間的區別和聯系。并借助張量知識給出了多元泰勒展開式的另一種較為簡潔、直觀的表現形式。最后，具體分析多元泰勒展開式在實際生活中的應用，展示其重大的應用價值。因此，該文一方面可以促進泰勒展開式相關理論知識的學習；另一方面，對于實際的生產生活具有一定的應用價值和指導意義。