高考試卷“集合的基本運算”試題賞析

張麗杰

摘 要：近幾年來，天津市高考理科數學卷第I卷中選擇題的第一題均是涉及集合的試題，涉及集合的形式與構成、集合的基本運算，包括并集，交集、補集。這類試題簡單易懂，需要學生細心作答，是比較容易的得分題，并且能很好地考查學生對基礎知識的掌握情況，滲透數形結合的數學思想，提高學生的數學關鍵能力和數學核心素養。本文研究2015-2018年的理科天津理科卷選擇題中集合試題，邊賞析其中所蘊含的數學思想方法、數背景、解題規律，給出集合學習的建議;邊尋找集合思想在解題中的應用。

關鍵詞：高考試題;集合語言與思想;集合運算

集合就是把人們直視的或思維中的某些確定的、容易區分的對象放在一起。集合在數學領域具有無可比擬的特殊重要性。德國數學家康托爾奠定了集合論的基礎，后人到1920年確立了集合論在現代數學理論體系中的基礎地位。[1]2015-2018年的試題中涉及知識包括集合語言、元素與集合間的關系、集合的基本運算，集合與不等式、一次函數間關系，考察的形式是用不等式或一次函數的形式表示集合中元素，若元素是連續的，可用數軸表示，若元素是一些正整數可用Veen圖表示，以達到簡便的目的。題目都非常注重滲透數形結合的思想方法。

一、學習集合知識的四點體會[2]

要想學好集合，首先，要深刻認識到集合元素的含義與表示，眾所周知，集合是由許多個元素組成的，所以在學習集合之前，我們要了解集合元素的含義。一般情況下，集合都是通過圖示法、描述法、列舉法等方法來表示;其次，要學會正確的判斷集合是否可以成立，集合各個元素之間具有三個特點：互異性、無序性、確定性，學生在學習集合的過程中，可能由于沒有充分認識到集合元素之間的互異性（即一個給定集合中的元素是互不相同的，也就說集合中的元素不可重復出現），對答案沒有進行驗算，導致答題并不正確。并且，空集是集合中最特殊的集合之一，學生在處理集合和集合之間的關系時，沒有認識到空集的性質（空集是所有集合的子集合），所以可能導致解題考慮不全面。所以學生要深刻認識到空集的性質和集合各個元素之間互異性的特點;正確了解集合間的基本關系，要正確認識子集、真子集、集合相等的概念，最后學會集合的基本運算，學生首先要了解并集、交集以及補集的概念，才能進行集合的運算，并集為A∪B={x|x∈A，或 x∈B};交集為A∩B={x|x∈A，且 x∈B};補集為UA={x│x∈U，且xA}。在學習集合的過程中，學生要注意以上幾點體會，細致的研究，逐步加深對集合各知識點的理解，從而更好地學習集合。

二、集合思想在高中數學中的應用

集合思想在高中數學中有著非常重要的作用，主要體現在以下三個方面。

（一）集合與高中數學各知識點的聯系[3]

集合是學生進入高中后，需要學習的第一個概念，可見其重要性，同時它也是學習后續內容的基礎。比如，①集合與函數：集合是學習必修1函數內容的基礎，在表示函數定義域、值域，描述函數性質時，都用到了集合的知識。②集合與排列組合及概率：概率問題較為復雜，學生難于理清題目思路，這時運用集合思想，就能巧妙地將題目中的限制條件轉換成集合運算，探求題目各條件間的關系，將題目化難為易。③集合與不等式：集合與不等式密切聯系，它是學生學習必修5中不等式的基礎，學生要學會用集合的方法來表示不等式解集，使不等式的解集變得更簡捷。④集合與解析幾何：集合溝通了數與形的內在聯系，在選修2-1 中圓錐的軌跡方程也是一些點構成的集合，如：橢圓就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，其中F1，F2為兩固定的點。這使得由某個圖形給出的點集和滿足某性質 P 的實數對組成的集合建立起一一對應的關系進而使數學中的幾何問題代數化，因此集合在解析幾何中有著廣泛的應用。⑤集合與立體幾何：集合知識也是必修2立體幾何的基礎，我們知道“點集構成線，線集構成面”。我們在學習立體幾何中的點線面的關系時，用集合可以簡單明了地表示出其包含關系，如：{點}∈{線}，{線}∈{面}，這為學生學習幾何知識做了鋪墊。

（二）集合思想在數學解題中的應用

從教育視角看，數學思想方法要與數學知識相比，數學思想方法更重要。因為數學知識是穩態的，它的記憶量也是有限的，只能使學生一時受益，而數學思想方法是發展中的，學生掌握了學習數學的數學思想方法就可以按照這個方法獨立探索更多新的知識，將使學生終身受益。因此，我們認為數學思想方法的培養比知識的教授更為重要，數學思想方法的掌握對任何實際問題的解決都是有益處的，所以數學教學必須注重數學思想方法的培養。[3]集合思想是現代數學思想向中學滲透的重要標志，在解決某些數學問題時，若運用集合思想，可以使問題解決變得更簡單、明了。①運用子集思想，[4]關于 x 的不等式|x-（a+1）2/2|（a-1）2/2與 x2-3（a+1）x+2（3a+1）0（a∈R）的解集分別為A 和 B，求使 AB 的 a 的取值范圍。運用子集概念求解，②運用交集思想已知不等式lg（20-5x2）>lg（a-x）+1的整數解只有 1，試求 a的取值范圍.運用交集概念求解。③運用并集思想過點 M（0，1）作直線，使它被兩條已知直線 L1：x-3y+10=0 和 L2：2x+y-8=0 所截得的線段AB 被點 M平分，求直線L 的方程，運用并集概念求解。④運用補集思想。

（三）集合基數公式在中學數學中的應用[5]

一般地，對任意兩個有限集A，B，有Card（A∪B）=Card（A）+Card（B）-Card（A∩B）。

參考文獻：

[1]楊梅.集合思想在高中數學中的應用[J].數學學習與研究，2016（15）：91-93.

[2]周存旭.高中數學中集合學習的四點體會[J].數學學習與研究，2015（19）：45.

[3]楊梅.集合思想在高中數學中的應用[J].數學學習與研究，2016（15）：91-93.

[4]涂典波.淺談集合中的數學思想及應用[J].成才之路，2007（14）：37.

[5]戌健君.集合基數公式在中學數學中的應用[J].數學通報，2001（10）：24-25.