數形結合思想方法在高中數學教學與解題中的應用

摘要：高中新課改的持續深入與發展，數形結合逐步成為提升高中數學教學質量的重要數學方法。數形結合，是一種教學方法，也是一種解題數學思維，它通過繪制圖形來幫助教師和學生分析數學問題。數形結合可以使得復雜抽象的數學問題簡單形象化，合理應用數形結合能夠幫助學生數學思維的培養。數形結合有助于學生理解復雜的知識點，提升數學成績，拓展數學知識面和解題思路，還能夠推動高中數學的教學改革。筆者結合多年的教學經驗，研究分析了數形結合在高中數學教學中的應用，旨在于提升學生的數學受教育體驗。

關鍵詞：數形結合;高中數學;解題應用

在高中數學解題中主要利用數形結合來輔助解決填空題和判斷題，這類題目不需要繁雜的解題步驟，也不需要清晰明了的解題思路，僅僅通過利用數形結合就能直觀找到圖像和數值之間的聯系，這有助于分析數量間的關系，快速且準確地得出正確答案。因此，利用數形結合的方式進行解題和教學，能夠在提升數學教學質量的同時，提升學生的數學技能水平。

一、 高中數學數形結合思想的內涵

數學，即研究實際生活中物體空間形式與數量關系的科學。數學學科中對數量關系和空間形式的研究尤為豐富，前者是實際生活中物體的數量關系體現，后者是實際生活中物體空間存在形式的體現。空間形式和數量關系之間存在著緊密的邏輯聯系，抽象而復雜的數量關系可以通過空間圖形表現出來，更加直觀形象，而空間中線、面的關系也能通過數學文字表達出來。

我國著名數學家華羅庚曾這樣點評數形結合思想：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”這表明了圖形和數學表達的本質關系，它們都是數學知識的重要表現形式。數與形是相輔相成，互為補充的，在特定的數學環境下能夠實現兩者的相互轉換，這為數學解題和教學提供了全新的思路。對于復雜的數量關系，教師可以通過繪制幾何、立體圖形來表達其中的點、線、面等數量關系，讓學生直觀地理解題目。數形結合的解題方法是一種實用的數學指導思想和數學思維，其主要特點是以形助數、以數析形、數形融合，它是抽象思維和形象思維的有效結合。簡單來說，在高中數學教學中開展對學生數形結合解題能力的培養，既能夠推動高中數學教學改革，又能夠提升學生的數學核心素養。

二、 數形結合思想的價值

第一，數形結合思想能夠提升學生由數量關系表達轉變為空間形式表達的能力，提升學生的直覺思維能力。例如，學生在掌握“集合”這一部分知識后，教師可以講解韋恩圖，學生掌握韋恩圖的繪制原則和技巧后，便能夠利用韋恩圖來解決集合中的數量關系表達，每當遇到該類題目時，學生便會繪制相應的韋恩圖來幫助分析題目，有助于學生快速解決“集合類”的相關數學習題。

第二，數形結合思想能夠培養學生的抽象思維能力。例如，在講解“導數”這一節內容時，其中涉及了導數的幾何意義，許多學生不是太理解導數與切線斜率的關系，教師可以繪制出一條曲線，再繪制該切點的斜率，如此學生對于“導數的幾何意義便是該切點的斜率”這一相對抽象的知識點理解更為深刻。

第三，數形結合思想有助于培養學生的思維辯證能力。高中數學中涉及了復雜多變的數學圖形，學生可以在這些特殊圖形中找到相關的數學規律，并進行知識總結，當學生遇到更為復雜的圖形時，便可以利用先前打下的基礎來分析。

第四，數形結合思想有助于培養學生的創造性思維。平面幾何圖形、立體幾何圖形能夠給學生直觀的受教育體驗，圖形能夠很好調動學生的注意力和積極性，激發學生的數學知識探究欲望。而幾何題目的解題方法并不是唯一的，教師可以留一些時間給學生自己思考，講解多樣化的幾何解題方法，以激發學生的數學想象力和培養學生的創造性思維。

三、 數形結合思想方法的應用

（一） 數形結合思想方法在集合問題中的應用

高中數學的集合問題主要為填空題或選擇題，偶爾集合的知識會放在數列問題中。如果學生就按照將各個集合的答案解出來，再根據題意確定范圍，最后進行合并計算，可能會導致范圍重疊，出現錯誤答案。這樣的解題方法不但費時費力，還準確率不高，因此學生可以嘗試利用韋恩圖來解決集合問題，這正是數形結合思想的具體應用。

例如，某高中舉辦教學活動，一共有100人參與活動，其中數學活動50人，生物活動10人，物理活動28人，其中20人既參加了數學活動又參加了物理活動，該次活動中有多少人沒有參加數學活動也沒有參加物理活動？一般的解題思路為參與數學活動沒參與物理活動的有50-20=30人，參與物理沒有參加數學的有28-20=8人，所有參加物理、數學活動的人有50+8=58人，其余100-58=42人沒有參加物理、數學活動。這樣的解題方法較為煩瑣，但是利用韋恩圖可以大大簡化解題過程，提高解題速度。

（二） 數形結合方法在三角函數中的應用

三角函數題復雜多變，計算量多，但計算難度不大，因此學生需要用大量的精力才能完成計算。教師要注重引導學生利用數形結合思想來解決三角函數題，如利用單位圓中的三角函數線、三角函數圖形來確定函數定義域，利用三角函數圖像找出函數單調區間等等，這樣能夠減少解題時間，提升解題正確率。

四、 數形結合思想方法在函數問題中的應用

函數、導數一直是高中數學的重難點，高中數學里的二次函數知識較為復雜，可以利用列舉法、解析法、圖像法等來解決二次函數問題。二次函數中常見問題就是求定義域、最值、零點、單調區間等，更有些題目要求學生繪制出二次函數的圖像，這足以體現數形結合思想的重要性。學生在繪制二次函數圖像時需要確定二次函數的對稱軸、零點分布、圖像開口等信息，并將具體數值標注在圖像上，這樣更有助于解題分析。

五、 結束語

綜上所述，作為一種高效的數學解題思想方法，數形結合能夠將復雜抽象的數學問題簡單化、直觀化、具體化，能夠有效培養學生的數學思維能力，豐富數學學科的教學體系。因此，高中數學教師在教學實踐中，要采取有效的教學手段，提升學生在函數、導數、不等式、幾何分析、數列等高中數學核心知識的解題能力，有意識地通過引導培養學生的數形結合思想。雖然數形結合思想十分重要，但不是任何數學題目都可以通過數形結合來解答。總之，教師要加快教學改革，創新教學模式和教學方法，提升學生的數學核心素養。

參考文獻：

[1]郝升.高中數學思想方法的學習[J].神州（中旬刊），2011（5）.

[2]黃佳琴.淺談數形結合思想及其應用[J].科技信息，2010（15）.

作者簡介：

揣小琳，河北省遷安市，河北省遷安市第三中學。