連續性小波變化概要

夏源騁

摘 要：本文從小波分析的提出背景、具體變換過程、小波特性再到其具體應用等方面對連續性小波變化進行了立體形象的介紹。小波的最大優勢在于可以對序列的時域和頻域同時進行分析，因此能迅速而又準確地求解出序列的完整特性。

關鍵詞：小波變化;時域分析;頻域分析

在經濟學中常常有項目同時涉及多個頻段，或者在同一時段中有多個項目，總的來說，經濟事件序列是不同頻率分量的集合體。為了對這些序列進行分析，過去人們往往采用傅里葉分析法，這也是現在國際上最常用的方法之一。但是傅里葉分析法只能對序列的頻域進行分析，而忽略了時域的性質。但近些年來，有學者提出一種名為連續性小波分析的方法，這種分析方法能同時對序列的時域和頻域進行分析，從而使連續小波成為分析業務周期的有力工具。本文接下來就將對這種分析方法做簡要介紹，筆者希望可以通過這篇文章來實現三個主要目標：（1）提出與連續小波變換相關的理論結果的總結;（2）描述如何在實踐中實施這種變換;（3）推廣小波分析提供的時頻框架的多重和部分相關概念。

傅里葉分析法忽略了序列在時域方面的特性，正是由于序列時域信息的缺失，就使得在短暫的時間延遲后序列的結構變化難以判斷。而小波分析法以時間序列的頻譜特性的估計值作為時間的函數，揭示了時間序列的不同周期分量如何隨時間變化。小波變換的一個主要優點就是能夠對時間序列進行自然局部分析：小波可以延伸到一個長函數來測量低頻運動，也可以壓縮成一個短函數來測量高頻運動。這樣就實現了對序列的時域和頻域同時進行分析的目標。

那么連續小波變換的過程到底是怎樣的呢？先是從母波開始，通過簡單的縮放和平移來獲得子波，在這個過程中可以通過控制變量來控制變換的寬度和位置，還可以限制在所選范圍內的積分，執行原始系列的帶通濾波。據筆者所知，除了Aguiar-Conraria等人（2008）和Aguiar-Conraria和Soares（2011）沒有人使用反演公式作為帶通濾波器。

小波分析法也分為很多種，其中一種是廣義莫爾斯小波，它能較為精確地分析時域和頻域的變化，但它無法將小波中的分量規模大小轉換為頻率，這是因為峰值頻率與其中心瞬時頻率不同，也不同于能量頻率。對于需要考慮峰值頻率的經濟學家來說，這是這種小波分析法的明顯缺點。不過根據筆者考證，世界上還沒有分析方法能做到小波中的分量規模大小的轉換，故這個缺點也沒那么打眼。

小波還可以研究不同時間序列之間的同步性，在這個分析過程中最重要的是選擇包含幅度和相位信息的相應變換的小波，因此，能同時顯示幅度和相位的復數小波成為最佳選擇。復數分析小波不僅能夠捕獲結構斷裂和瞬態關系，它們還可以區分同時發生但在不同頻率中發生的不同關系。

小波變化小波變化的準確性往往是將小波先歸一化后再來檢驗，在歸一化檢驗方面，目前還沒有一種方法能對小波的相位差進行良好的統計檢驗。因此，筆者認為索性就不對小波的相位差進行顯著性檢驗，而是通過檢查其一致性意義來補充。

小波應用極為廣泛，它在對GNP的分析、對股票市場的分析、對油價的分析都發揮了巨大的作用，以對股票市場的分析為例，我們收集FTSE AllShare（英國），標準普爾500指數（美國）和DAX（德國）價格指數的月度數據，并評估了三種不同股票市場指數之間的協調性，通過小波一致性和相位差分析來研究兩個時間序列之間的同步。從結果中發現看到標普指數和富時指數以及標普指數和DAX指數之間的小波相干性，而且很明顯地，紐約和倫敦有更多的地區具有更高的一致性。如果有讀者關注1980年和1990年在更高頻段（14年）的幾十年時，這一點尤為明顯。這些結果也與國外學著Rua和Nunes（2008）的結論一致，他們還判斷得到，在過去的四十年中，美國和英國的股票市場具有高度的共同性。

小結：（1）小波分析能夠輕松捕獲在時間和頻率上不穩定的瞬態周期，這是傳統的傅立葉分析難以提取的;（2）交叉小波可以捕獲不同頻率下兩個時間序列之間的瞬態關系;（3）通過更高階的一致性可以檢驗小波分析法的準確程度。

參考文獻：

[1] Luis Aguiar-Conraria， The Continuous Wavelet Transform A Primer， [C]， 2011

[2] Maria Joana Soares， The Continuous Wavelet Transform moving beyond uni and bivariate analysis， [C]， 2012.2.11