三角函數在高考中的探究

一、三角函數的地位和作用

三角函數內容是高中數學中的基礎內容、也是重要內容之一.歷年來在數學科高考中都占有重要地位.張景中院士指出：“在中學數 學課程中，三角函數的內容至關重要.三角函數不僅是連接幾何與代數的一座橋梁，還是溝通初等數學與高等數學的一條通道.”三角函數除了具有一般函數的性質外，還呈現出與其他基本初等函數不一樣的特征，例如具有其獨特的周期性和對稱性，并且與向量、復數、立體幾何、解析幾何等數學知識有較為緊密的聯系.更進一步，三角函 數知識具有豐富的實際背景和廣泛的應用價值，在其它學科中都有廣泛的應用，例如地理學、力學、電磁學等.正是因為三角函數內容具有這么豐富的特征，因此在高考中考查體現了基礎性，綜合性和應用性的特征.

二、三角函數在高考中的考查特點

課程標準實施以來，高考對三角函數的考查呈現出新的特點.一是因為近年來課標中新增內容比較多，三角部分內容總體的題量有所控制，在解答題中，與數列內容交替，一般是一大兩小，難度控制中等，在不出解答題的年份，是三道小題，但難度沒有下降，保持在中 等難度.二是對三角函數的考查突出基礎，體現綜合，對恒等變形的要求和過去比有所下降，更多強調對公式的靈活運用.

數學科高考對三角函數的考查主要體現在以下四個方面：1.利用數形結合考查，通過圖形分析、研究、總結三角函數的性質和圖像特點;2.利用三角公式考查，創設試題情境，靈活運用公式，解決問題;3.利用真實情境考查，考查解三角形內容，體現三角函數的 工具性作用;4.體現思維深度，考查創新意識.

（一）利用數形結合考查

三角函數的基本特征之一就是具有很強的幾何特點，這是與其他基本初等函數不一樣的地方，高中課本中的三角函數是以單位圓的定義形式給出的.利用圖形解釋、理解知識，能更好的幫助學生理解比較抽象的概念，形成直觀印象.因此，在對三角函數知識進行考查時，可以充分利用數形結合的思想命制試題.

例1 如圖，圓 O 的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P作直線OA的垂線，垂足為 M.將點M到直線OP的距離表示成x的函數f（x），則y=f（x）在[0，π]的圖像大致為（ ）.

本題的背景正是借助單位圓給出了三角函數的自然語言表征與三角函數的圖像表征，即“點M到直線OP的距離”與四個圖像的選項.要建立這兩者的關聯，可以選擇以三角函數的解析式表征為橋梁，也可以選擇三角函數的列表法表征（即尋找特殊值）定性地建立三角函數的自然語言表征與三角函數的圖像表征之間的關聯，解決問題。

（二） 利用三角公式考查

與高中其他內容知識相比，三角函數知識的最大特點是公式.通 過對公式的應用，重點考查學生的邏輯推理能力和運算求解能力.在現行高中數學課程中，要求學生掌握的三角恒等變形公式主要有兩角和與差的正弦、余弦及正切公式，正弦、余弦的二倍角公式等.相對 以前的考試大綱來說，要記憶和掌握的基本公式是減少了，所以更強調公式的靈活運用.這些公式之間存在著密切的聯系，公式之間可以相互轉化，互相推導.例如誘導公式中角的周期性變化、正負取值，兩角和與差公式中角的組合變化等，因此在考查時，重點考查對一個公式的靈活運用即可.

例2 已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，則 sin（α+β）= .

本題給出兩個角正弦與余弦關系式，是兩個角并不是唯一確定的，角的正弦值和余弦值也不是完全確定的.但是其中的一個結果是唯一確定的，即sin（α+β）=.在解題過程中，需要綜合考慮用哪個公式，能更有效、準確地解決問題.實際上既可以通過整體運算，得到sinαcosβ+cosαsinβ的值，也可以通過兩個等式的關系，求出每一個角的正弦與余弦值

（三）利用真實情景考查

近年來，三角函數試題的背景越來越豐富，不少試題背景涉及實際生活情境，考查解三角形內容，體現了三角函數的工具性特點，考查了學生的應用能力.這主要體現在拓寬試題材料來源，設計自然科學、社會科學和現實生活等多個領域中能運用三角函數知識的內容作為背景材料，考查學生運用數學知識分析、解決學習和生活中實際問題的能力，體現出三角函數的工具性作用.

（四） 對創新意識的考查

創新意識是高考的考查重點和特點，高考對創新意識的考查主要體現在，對于社會和自然中存在的各種現象或問題，鼓勵學生敢于沖破習慣思維的束縛打破常規發現思考問題或提出理論.在此過程中學生要運用豐富的知識和經驗，從各種數據文字資料中獲取有用信息，運用判斷、歸納、演繹、比較、概括等方法辯證地討論問題的各個影響因素，提出研究問題的思路和方法步驟，或者提出新的觀點、新的發現、新的規律.三角函數兼具幾何與代數兩方面的特點，其變式是多種多樣的.因此可以充分利用這些特點考查學生的獨立思考、分析問題和解決問題的能力，要求學生能夠將三角函數的知識應用到問題情境中.

例3 在平面四邊形ABCD 中，∠A=∠B= ∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是 .

本題給出了四邊形的一條邊的度量值，以及三個角的大小，是一 個局部可解的四邊形問題.學生在解決這個問題時需要注意三角形與四邊形之間的橫向聯系.本試題的考查目標不是為了獲得解四邊形的一般法則、原理或公式，而是把解三角形的一般理論、法則與公式運用到一個新的情境中，據此考查學生的創新意識，特別是幾何思維能力.當學生在幾何上分析清楚四邊形ABCD 的各種變化的可能性后，運用解三角形的基本知識與技能即可最后解決問題。

從高考對三角函數的考查可以看出，考查形式靈活多變，考查側重點有所不同.這是由于三角函數的性質和特點決定的，這部分內容容易與其他部分的數學知識進行結合，更容易與實際情境相結合.在這部分命題實踐時，應當注意三個方面的結合：一是問題與已有知識間的聯系;二是不同的數學概念及其表征的聯系;三是數學知識與實際應用背景間的聯系。

作者簡介：黃顯富（1978-5），男，滿族，遼寧鞍山人，本科學歷，鞍山市第十三中學，一級教師，任教學科：數學