狄利克雷積分的分析學(xué)計算方法

沈明瑒　于倩　陶元紅

摘要：本文探討了狄利克雷積分的計算方法，綜合整理了前人運用分析學(xué)知識計算此積分的方法。由于此積分的被積函數(shù)不能直接求出其原函數(shù)，所以不能直接利用牛頓萊布尼茨公式計算其結(jié)果。本文整理的五種方法利用數(shù)學(xué)分析中反常積分、分部積分的相關(guān)定理，對被積函數(shù)進(jìn)行變形、展開、還原逐步得到積分結(jié)果。關(guān)鍵詞：狄利克雷積分；反常積分；分部積分中圖分類號：O411

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1674-9324（2018）20-0202-02 在高等數(shù)學(xué)及實際問題中常常出現(xiàn)一些計算極為復(fù)雜的或者原函數(shù)不能簡單地用初等函數(shù)表示出來的廣義積分，例如本文要探討的狄利克雷積分I=dx，它也是物理學(xué)中有阻尼自由振動方程中常常用到的一個重要積分。本文綜合整理了5種運用分析學(xué)知識求解此積分的方法，主要運用反常積分的連續(xù)性、可微性、可積性以及分部積分的有關(guān)定理，通過構(gòu)造一個類似的函數(shù)求出原函數(shù)，再逐步還原，最終求解出的積分。本文整理的五種計算方法分別分布在后文內(nèi)容中的四個算法之內(nèi)。在華東師范大學(xué)出版的《數(shù)學(xué)分析》[1]中，I=dx的積分采用的是算法一，主要依賴于在被積函數(shù)中添加e項，類似的方法在裴禮文著的《數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法》[2]和熊大國著的《積分變換》[3]中也有體現(xiàn)。算法二與算法一相似，利用函數(shù)e，將狄利克雷積分轉(zhuǎn)化為二重積分從而進(jìn)行計算。算法三通過構(gòu)造新的分段函數(shù)f（x），來獲得該函數(shù)積分與狄利克雷積分的關(guān)系，這種方法許多作者都已有研究，見文獻(xiàn)[4-6]。算法四主要運用了文章[4]中的一個特別的引理，采用分部積分的方法計算出最終結(jié)果。算法一：反常積分的可微性雖然有些積分不能直接計算出其原函數(shù)進(jìn)行求解，但是我們依然可以運用已學(xué)知識對函數(shù)進(jìn)行變形，求解其類似函數(shù)的積分值再反代回去，得到結(jié)果。所以在學(xué)習(xí)中，我們一定要注重知識的靈活運用，融會貫通。希望本文綜合的這五種方法可以給讀者靈感，從而解決更多的積分問題。參考文獻(xiàn)：[1]華東師大數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].高等教育出版社，2001.[2]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].高等教育出版社，2006.[3]熊大國.積分變換[M].北京理工大學(xué)出版社，1990.[4]胡衛(wèi)敏，郝延順.多種方法巧妙計算積分dx[J].伊犁師范學(xué)院學(xué)報，2005，（03）：20-24，51.[5]許萬銀.積分的幾種計算[J].甘肅高師報，2003，（02）：68-70.[6]欒召平，孔凡清.重要積分dx的幾種證明方法[J].山東電大學(xué)報，2001，（02）：58-59.