提煉思想：一個有效的解題能力的培養(yǎng)方式

杜振義

摘要：高中生常感到數(shù)學難學，題多而又不好解，有時感到無從下手，成績總是徘徊不前。 其實， 提高學生的解題能力，關鍵是提高他們解題時對思想提煉和反思，提煉思想是一個最有效的解題能力的培養(yǎng)方式。

關鍵詞：解題;思想提煉;數(shù)學思想;反思

人們認識事物有個重要標準：能透過現(xiàn)象看本質(zhì);學習數(shù)學也一樣，要從千變?nèi)f化的數(shù)學問題中，找到問題的本質(zhì)，也就是所蘊涵的數(shù)學思想，問題才能得以解決。因為數(shù)學問題是在數(shù)學思想的指導下的，運用知識、方法等“加工”而成的對象，是數(shù)學思想的一種具體表現(xiàn)，把這些以問題為載體的思想提煉出來，才能對數(shù)學問題有個清楚的認識，使問題順利地得到解決。如解題教學時遇到下面幾個問題：

①判斷函數(shù)f（x）=2ax2-x-1的零點個數(shù)。

②方程2ax2-x-1=0在（0，1）內(nèi)恰有一解，求a的取值范圍。

③在（0，1）存在x，使得不等式2ax2-x-1<0，求a的取值范圍。

這三個問題分別函數(shù)、方程和不等式，問題表現(xiàn)形式上相差較大，但如果能運用把問題統(tǒng)一歸納成函數(shù)問題，從中提煉出思想，指導學生對問題的認識：問題①是利用函數(shù)思想把函數(shù)圖像與性質(zhì)結(jié)合起來解決，問題②如果單純從方程思想來思考的話，這題比較難解決，可通過函數(shù)f（x）=2ax2-x-1的零點來解決，也可以從方程構造函數(shù)來進行解決;問題③的不等關系，同問題②的解決方法一樣，通過函數(shù)思想來解決。如果解題時，能把這些問題中所蘊涵的思想分離出來，讓學生加以這些思想的本質(zhì)，再用這些不變的思想為指導他們解題，反復地運用，能有效地提高他們解決問題的能力。反之，如果解題時缺乏函數(shù)思想的提煉，他們就很難對這幾個不同問題進行轉(zhuǎn)化，解決問題就可能無從下手了。下面就解題中的思想提煉，說說個人的認識：

一、思想提煉是分析解決問題最重要的一個環(huán)節(jié)

解題是學生能力提高的重要手段，被大家認可;學生需要進行解題練習，但題是永遠解不完的;若進行題海戰(zhàn)術會讓學生身心疲憊，能力得不到有效地提高;只能是通過典型問題，提煉出所蘊含的數(shù)學思想，用數(shù)學思想指導數(shù)學思維訓練，盡量暴露思維的全過程，展示數(shù)學方法的運用，做到會一題通一路，以少勝多，這樣才能走出題海誤區(qū)，真正讓學生從解題中得到能力的提高。如“方程2ax2-x-1=0在（0，1）內(nèi)恰有一解，求a的取值范圍”直接求解需從方程中求出根來，求根時需要分類討論，這種方法的不易，學生會進行自問：思路合適嗎？如果不合適，又如何進行轉(zhuǎn)化化歸？類比零點與根的很多相似處，前者是函數(shù)的后者是方程的，因此可以進行方程化函數(shù)，把數(shù)和形結(jié)合起來，就能達成很好的解決目的了。這題的解決過程中處處體現(xiàn)了思想的運用，把這些思想提煉出來是運用好它們來分析解決問題的關鍵所在。

二、對于問題進行思想提煉的過程是一種學生自主學習的過程

數(shù)學問題是數(shù)學思想的載體，一個好的數(shù)學問題不是有意去添加數(shù)學思想的內(nèi)容，更不是片面強調(diào)數(shù)學思想的概念，而是讓學生在潛移默化解決過程中去領悟，去運用并逐步內(nèi)化為學生的思維品質(zhì)。在解題時好多時需要作圖、進行聯(lián)想、變化問題的條件使其一般化或特殊化、試著分解成一些子目標等操作，而作圖是將抽象問題轉(zhuǎn)化為具體形式，反映了數(shù)形結(jié)合的思想;聯(lián)想常能使問題向簡單的方向轉(zhuǎn)化，為有目的的化歸提供思路;一般化、特殊化、分解目標則蘊涵分類討論的思想。如求方程2x3-4x2-3x+2=0的近似解（精確到0.1）時，學生嘗試用因式分解或換元的方法求解但沒有成功，引發(fā)問題，從而提出用什么新知識求這個方程的近似解呢？讓學生討論，教師引導學生利用函數(shù)思想，將方程的求解轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題。畫出函數(shù)的圖象觀察零點所在區(qū)間，讓學生主動發(fā)現(xiàn)二分法使用的依據(jù);讓學生通過計算找兩個異號的函數(shù)值，一個在初始區(qū)間為（0，1），另一個在（2，3），通過問題：如何縮小零點所在范圍？引導學生自主縮小思考范圍的方法，一般可以先將區(qū)間分為兩個子區(qū)間，如果分點不是零點，則零點一定在兩個中的一個內(nèi)，從而達到縮小零點所在區(qū)間的目的。同時從生活中對精確度的認識，幫助學生體會數(shù)學中精確度的含義，通過有限次零點的所在區(qū)間的縮小，當達到一定精確度時確定零點的近似值，讓學生在解題中產(chǎn)生并體會逐步逼近的思想和二分法的思想。這種數(shù)學思想提煉不是刻意或強加給學生的，是在學生解題中自然形成的;思想的提煉過程中，讓學生在自覺的狀態(tài)下，參與知識的形成和規(guī)律的揭示過程，那么學生所獲取的就不僅僅是知識，更重要的是在思維探索的過程中領悟、運用、內(nèi)化了數(shù)學的思想。

三、讓學生解決問題后的對思想進行反思

學生解題不是目的，解題是數(shù)學教學的關鍵環(huán)節(jié)，幾乎所有的數(shù)學知識、數(shù)學技能都靠解題來鞏固， 而數(shù)學思想的滲透和發(fā)展也必然在很大程度上依賴于解題過程的教學，學生要對一一道題的解決中所蘊涵的數(shù)學的思想不斷地反省，在腦海中留下深刻的印象，并能有意識、有目的地結(jié)合數(shù)學基礎知識，揭示、提煉概括數(shù)學思想，避免單純追求數(shù)學思想，促使學生認識從感性到理性的飛躍，形成自己的數(shù)學思想。

一要反思數(shù)學思想在問題中的表現(xiàn)形式，要注意發(fā)掘解題是涉及了哪些數(shù)學思想，這樣的數(shù)學思想是否在其他地情況下也出現(xiàn)過，是同一問題中蘊含多種不同的數(shù)學思想，還是同一數(shù)學思想在多個數(shù)學問題的不同表現(xiàn)，現(xiàn)在的運用和過去的運用的何聯(lián)系、有何差異，是否有規(guī)律性，這些都是我們的學生往往缺乏的對數(shù)學思想的反思。如前面的函數(shù)、方程、不等式問題，是函數(shù)思想把它們統(tǒng)一起來，體現(xiàn)了函數(shù)思想在不同的問題中表現(xiàn)的多樣性，體會為數(shù)學思想的在不同問題的具體表現(xiàn)，能為學生解題提供思路。二要反思數(shù)學思想的運用，指導學生解題，如解題中求二面角大小最常用的方法之一就是：根據(jù)已知條件，在二面角內(nèi)尋找或作出過一個面內(nèi)一點到另一個面上的垂線，過這點再作二面角的棱的垂線，然后連結(jié)二垂足。這樣平面角即為所得的直角三角形的一銳角，這個通法就是在化立體問題為平面問題的轉(zhuǎn)化思想的指導下求得的，感受數(shù)學思想的作用，有意識地去運用思想思維。學會反思，通過對數(shù)學思想的反復體驗和實踐，學生對數(shù)學思想的認識、把握、運用的水平就會不斷提高會，撐握用數(shù)學思想角度考慮問題、解決問題的一般思想方法。

四、是“一題多解”還是“多題一解”？

解題思路。“一題多解”，是對同一數(shù)學問題的多角度的審視引發(fā)的不同聯(lián)想而產(chǎn)生的多種解法，在用數(shù)學思想指導知識、方法的靈活運用，可以培養(yǎng)思維的發(fā)散性，靈活性，敏捷性;如有這樣一題：實數(shù)x，y滿足x+y-2=0則求x2+y2最小值，我們可以用函數(shù)思想，用x代y把目標式化為關于x的函數(shù)求解;也可以用數(shù)形結(jié)合思想把x+y-2=0看作直線方程，后者看成一個距離的平方求解;也可用方程思想設x2+y2=a將y=2-x代入化為二次方程求解，在解題中，轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學思想得到充分運用，學生對解決的問題會有深刻理解，學會要數(shù)學思想思考。實施“一題多解”要充分地照顧到學生能力水平，在能力范圍進行，否則由于太過發(fā)散、靈活，學生會無所是眾，淡化了某種思想應有的作用。如xos a+2sin a=-，求tan a? （2008年浙江省高考理第8題）

有教師在一節(jié)課里一口氣給出了7種解法：可與cos2a+sin2a=1組成方程組解;有平方后右邊改為5（cos2a+sin2a）再改tan a;有構造函數(shù)f（x）=cos x+2sin x討論最值的;有構造點P（cos a，sin a），Q（）后求得PQ=0，所以PQ重合;觀察，cos2a+sin2a=1進行類比求解等，這些多種解法包括了豐富的數(shù)學思想，教學時要突出重點，有的解法繁瑣，有的解法過于巧妙，對于這樣的解法應點到為止。而對于能體現(xiàn)數(shù)學思想的比較簡明的解法，要作為重要解法去加以運用和引申。當然解題時不能一味追求多解，學生別說難以想到，就是看了也會眼花，無所是眾，其中的思想提煉就會力不從心了。

“多題一解”是對多個題目尋求統(tǒng)一的解法，是把問題的多樣性進行數(shù)學思想的同化。如①過點 Q（4，1）作拋物線? y2=8 x 的弦 AB，恰被 Q 所平分，求 AB 所在直線的方程。

②是否存在實數(shù) m，使直線y=x+m與橢圓有兩個不同的交點M、N，且|AM|=|AN|，若存在，求出m的值;若不存在，請說明理由。

以上兩個例子都是圓錐曲線的綜合問題，都可歸為一條直線與一個圓錐曲線的位置關系的問題，問題的解決都遵循一個固定的步驟：首先找出直線與圓錐曲線的方程，然后通過聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程消去 x（或 y），得到一個關于 x（或 y）的一元二次方程，最后由根的判別式（涉及到直線與圓錐曲線是否有交點的問題） 、韋達定理，再結(jié)合題目條件來解決問題，體現(xiàn)了共有的方程思想。通過這樣的“多題一解”教學，學生會對多個習題， 加以梳理、歸納、提煉、異中求同，揭開不同習題的表面現(xiàn)象，挖掘其內(nèi)在的數(shù)學思想，再用思想指導解題能獲得事半功倍的學習效果。

總之教學中我們要進行恰當而又適度的一題多解，發(fā)散學生思維，用不同的數(shù)學思想指導他們解題，也要通過多題一解，讓他們能從不同的問題上尋求思想上的統(tǒng)一，脫離“題海戰(zhàn)術”。

五、“一題多變”變的是什么？

“一題多變”常常是變換問題的條件和結(jié)論，變換問題的形式，而問題的思想本質(zhì)常沒發(fā)生變化，如在研究三棱錐頂點在底面三角形內(nèi)的射影位置時就有以下問題：

①當三棱錐是正三棱錐時;

②當三條側(cè)棱的長均相等時;

③當側(cè)棱與底面所成的角都相等時;

④當各個側(cè)面與底面所成的二面角相等，且頂點射影在底面三角形內(nèi)時;

⑤當頂點與底面三邊距離相等時;

⑥當三條側(cè)棱兩兩垂直時;

⑦當三條側(cè)棱分別與所對側(cè)面垂直時;

⑧當各個側(cè)面在底面上的射影面積相等時;

這一系列問題，是對“點在面上射影位置”這一問題形式進行了多種變化，不管如何變化，其中所蘊涵的化歸等思想沒有發(fā)生變化，都需要進行立體轉(zhuǎn)化為平面處理，用“不變”的數(shù)學思想去解決這些不斷“變換”命題。一題多變，能使學生對問題思考由淺而入深，極大的鍛煉學生歸納、類推的能力和提煉體會思想的能力，解題教學時完成一個問題時，此時應該引導學生注意總結(jié)其思想方法，擴大戰(zhàn)果，培養(yǎng)學生養(yǎng)成多問幾個為什么的習慣。像有沒有別的方法，能不能做得更簡潔些，你能一眼看出結(jié)果嗎？如改變條件，使其特殊化或一般化， 能得出什么結(jié)論？解決此類問題的關鍵處在哪兒？你能否把所有的這些數(shù)學思想進行總結(jié)等等。如這樣一道題：已知正方體棱長為a，求其內(nèi)部與各棱均相切的球的半徑. 學生做完后不妨問問有無別的方法？什么是解題的關鍵？能一眼看出來嗎？如將題目中的球改為內(nèi)切或外接怎么做？將正方體改為正四面體呢？顯然這種趁熱打鐵的拓展將促使學生對知識融匯貫通，形成解決此類問題的技能，并更深刻地領會其中的數(shù)學思想，有助于在實際問題中更好地運用它，達到舉一反三的效果。但不能一味追求一題多變形式的多樣化，有時一題多變會過多地分散學生的能力發(fā)展;也要注意變式后的題目要有梯度，不能搞一步到位;要注重教學需要，用數(shù)學思想的指導學生解題，盡可能讓學生做到會一題而通一類，提高學生解決問題的能力。

數(shù)學思想具有較強的抽象性和內(nèi)隱性，它貫穿于整個教材體系，而又高于一般的數(shù)學知識。如果不將蘊含其中的數(shù)學思想明確化并加以引導，學生往往不能領會。教師有責任在教學過程中使之明確化，將問題解決過程的數(shù)學思想背景有意識地呈現(xiàn)給學生，如函數(shù)、不等式、方程等明顯體現(xiàn)了函數(shù)、數(shù)形結(jié)合的思想;又如立體幾何中從平行六面體到棱柱、棱錐、棱臺相關證明，再到球和球缺的體積和表面積計算，均隱含了化歸的思想，即把新的問題轉(zhuǎn)化為已知問題加以解決，當然還滲透了合情推理和極限思想。我們?nèi)缒茏寣W生明確它們，解題時引導學生自主開動腦筋進行探索，就不光學會了有關知識，更重要的還在于受到數(shù)學思想方法的陶冶， 學會自主探索的科學思維方法。我們在解題教學中，進行思想的提煉，讓學生在反復的體驗和實踐中認識其中規(guī)律，形成數(shù)學思想，使學生的認識能力產(chǎn)生飛躍。