解四類函數(shù)與導(dǎo)數(shù)題應(yīng)注意的問題

葉培杰

摘 要：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)作為高考必考內(nèi)容，選擇題、填空題、解答題皆有出現(xiàn)，但以解答題為主，難度中等偏上，特別是解答題，難度較大，很多同學(xué)望而生畏，在平時(shí)解題過程中易忽略一些細(xì)節(jié)和技巧方法，造成對(duì)而不全或放棄解答，本文謹(jǐn)從四類題型分析歸納應(yīng)注意的問題。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)題 注意 問題

一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時(shí)應(yīng)注意檢驗(yàn)

例1.若函數(shù)

在內(nèi)為減函數(shù)，求的取值范圍。

解：

由題意知在內(nèi)恒成立

所以在內(nèi)恒成立

記則時(shí)，

經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，符合題意的取值范圍為

小結(jié)：在已知函數(shù)是增函數(shù)（或減函數(shù)），求參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)令（或恒成立，解出參數(shù)的取值范圍，然后檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使恒等于0，若恒等于0，則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去，若不恒為0，則由（或恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定，下面舉一個(gè)參數(shù)的值舍去的例子。[1]

例2. 函數(shù)

在上為單調(diào)遞減函數(shù)，求的取值范圍。[1]

解：依題意在上恒成立，得

在上恒成立

即解得

檢驗(yàn)：是一個(gè)常數(shù)函數(shù)，舍去

綜上可得的取值范圍是

二、已知極值求參數(shù)時(shí)，應(yīng)注意檢驗(yàn)

例3. 已知函數(shù)在處取得極大值10，則的值為_________。

錯(cuò)解：

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

由在處取得極大值10

可得

即為

解得：

錯(cuò)解分析：由于為極值點(diǎn)的必要不充分條件，因此本題中由及求得的值后還要驗(yàn)證，所得結(jié)果是否滿足為函數(shù)的極大值點(diǎn)，正確的解法如下：

解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

由在處取得極大值10可得

即為

解得：

當(dāng)時(shí)

可得在處取得極小值10，與題意不符。

當(dāng)時(shí)

可得在處取得極大值10

綜上可得：滿足題意

小結(jié)：為極值點(diǎn)的必要不充分條件。

三、注意函數(shù)圖像的漸近線問題

例4. 已知函數(shù)，曲線上存在不同的兩點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與軸垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（? ? ）

A. B. C. D.

解：因?yàn)榍€上存在不同的兩點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線與軸垂直

所以有兩個(gè)不同的解

即得有兩個(gè)不同的解

設(shè)，則

所以時(shí)，

時(shí)，

所以時(shí)，函數(shù)取得極小值

圖像如右圖所示

由圖可知，故選D

小結(jié)：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，圖像恒在軸下方，當(dāng)時(shí)，圖像在軸下方無限靠近軸，即軸是圖像在時(shí)的漸近線，此題易忽視漸近線而錯(cuò)選C，所以解這類題目時(shí)應(yīng)注意圖像的漸近線問題，避免錯(cuò)解。

例5. （2014新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ）已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）

A. B. C. D.

解：由得

（若，則等式不成立）

令

令，得

當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表

-1 （-1，0） （0，1） 1

- 0 + + 0 -

遞減 極小值-2 遞增 遞增 極大值2 遞減

圖像如右圖所示

依題意函數(shù)的圖像與的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以

小結(jié)：此題是我在上函數(shù)與方程這一節(jié)復(fù)習(xí)課與學(xué)生互動(dòng)時(shí)，學(xué)生提供的一種思路即分離參數(shù)，研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，但忽視了兩條漸近線軸和軸，造成了有思路而錯(cuò)解的局面。

四、注意函數(shù)的定義域?qū)忸}的影響

例6. 若函數(shù)在其定義域的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

解：

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

得

又所以，故選D

分析：此題很多學(xué)生誤選C，沒有注意到是定義域的一個(gè)子區(qū)間，即，所以解函數(shù)題時(shí)應(yīng)定義域優(yōu)選原則，避免對(duì)而不全。

離參數(shù)，也可以分離等。

參考文獻(xiàn)

[1]葉培杰.對(duì)一類利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)取值范圍問題解法的完善·福建中學(xué)數(shù)學(xué)2013（11）：46-47.