四旋翼無人機(jī)飛行控制中四元數(shù)與歐拉角的轉(zhuǎn)換

陳孟臻

摘? 要：在四旋翼無人機(jī)飛行控制環(huán)路中，歐拉角便于終端輸出，適合人的直觀觀察和理解，方便人為調(diào)整姿態(tài)控制參數(shù)，進(jìn)而調(diào)整四旋翼飛行姿態(tài)，但是占用內(nèi)存較大。而四元數(shù)占用內(nèi)存少，且方便在環(huán)路控制中實(shí)現(xiàn)插值操作，因此可提高機(jī)器運(yùn)算速度，實(shí)現(xiàn)快速參數(shù)設(shè)定，因此研究四元數(shù)與歐拉角之間的轉(zhuǎn)換方式具有一定的研究意義。

關(guān)鍵詞：無人機(jī);姿態(tài);四元數(shù);歐拉角

1 四元數(shù)

四元數(shù)（Quaternions）是簡(jiǎn)單的超復(fù)數(shù)，由愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓在1843年提出的數(shù)學(xué)概念，總所周知復(fù)數(shù)是由實(shí)數(shù)加上虛數(shù)單位i組成，其中。相似地，四元數(shù)都是由實(shí)數(shù)加上三個(gè)虛數(shù)單位i、j、k 組成，而且它們有如下的關(guān)系：

四元數(shù)一般可表示為a+bi+cj+dk，其中a、b、c、d是實(shí)數(shù)，稱為四元數(shù)的模。為了說明是a+bi+cj+dk怎么和三維旋轉(zhuǎn)結(jié)合在一起的，使用如下式子來表示一個(gè)四元數(shù)：

q =（x，y，z），w）=（v，w），其中：其中v是向量，w是實(shí)數(shù)。使用一個(gè)四元數(shù)：，來執(zhí)行一個(gè)旋轉(zhuǎn)，即把空間中一個(gè)P點(diǎn)繞著單位向量軸u=（x，y，z）表示旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)角度θ，當(dāng)把P點(diǎn)擴(kuò)展到四元數(shù)空間，即p=（P，0），旋轉(zhuǎn)后新的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的新坐標(biāo)為：。

2.從歐拉角到四元數(shù)

歐拉旋轉(zhuǎn)是最接近自然理解的一種旋轉(zhuǎn)方式，日常生活中常這些軸稱為前、后、左、右、上、下、這意味著在旋轉(zhuǎn)之前需要指明一個(gè)順序。其按照一定的坐標(biāo)軸順序（例如先x、再y、最后z）、每個(gè)軸旋轉(zhuǎn)一定角度來變換坐標(biāo)或向量，它實(shí)際上是一系列坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的組合。給定一個(gè)旋轉(zhuǎn)順序（例如z、x、y），以及它們對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度（φ，θ，ψ），不同的坐標(biāo)選擇結(jié)果不一樣。歐拉旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)實(shí)現(xiàn)常見使用3×3矩陣：

在四旋翼無人機(jī)飛行控制中，規(guī)定航空次序歐拉角為：Z軸（yaw，ψ），Y軸（pitch，θ），X軸（roll，φ），其中，pitch是圍繞X軸旋轉(zhuǎn)，也叫做俯仰角;yaw是圍繞Y軸旋轉(zhuǎn)，也叫偏航角;roll是圍繞Z軸旋轉(zhuǎn)，也叫翻滾角。導(dǎo)航坐標(biāo)系（N系）X軸指向正東方向，機(jī)頭也朝向正東方向;導(dǎo)航坐標(biāo)系Y軸指向正北方向，機(jī)左翼指向正北方向;導(dǎo)航坐標(biāo)系Z軸垂直地表指向天空，垂直機(jī)體指向天空。每個(gè)軸都以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為正角度。

3.結(jié)束語

歐拉角容易理解，也有利于將旋轉(zhuǎn)分解為單個(gè)自由度，但按歐拉角旋轉(zhuǎn)時(shí)，必須做三次旋轉(zhuǎn)并將它們相乘，內(nèi)存消耗大。在實(shí)踐中使用四元數(shù)更高效，因?yàn)樗脑獢?shù)只是一個(gè)旋轉(zhuǎn)，同時(shí)計(jì)算機(jī)已經(jīng)編碼了正弦值和余弦值，因此它更便于計(jì)算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算，解決了歐拉角運(yùn)算速度的問題，所以從四元數(shù)到矩陣的轉(zhuǎn)換是非常有效的。

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