以一個平面幾何定理為例談數(shù)學(xué)問題的提出

摘要：以基于切線長定理編制的一些問題為例，談數(shù)學(xué)問題提出的一些基本策略和方法：稍微增加圖形的復(fù)雜性，逆向思考條件和結(jié)論，將兩個或多個結(jié)果結(jié)合起來，推廣先前的結(jié)果，利用先前結(jié)論的對稱性命題。

關(guān)鍵詞：切線長定理數(shù)學(xué)問題提出問題

許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家都認為“提出數(shù)學(xué)問題”是一種重要的數(shù)學(xué)活動，學(xué)生應(yīng)該盡早獲得“提出數(shù)學(xué)問題”的經(jīng)驗。Kilpatrick（1987）曾撰文給出過一些數(shù)學(xué)問題的提出策略，如聯(lián)結(jié)（Association）、類比、一般化、反駁、換位思維法和觀念組合法等。運用這些策略可以幫助學(xué)生提出更多的數(shù)學(xué)問題。Brown等人（1983）曾在其專著《提出問題的藝術(shù)》中給出過一個提出問題的很有用的方法——對原問題的條件和限定進行思考而自由改變，即所謂的“否定假設(shè)法”（“whatifnot”策略：如果它不是這樣的，那又可能是什么呢？）。這是產(chǎn)生新問題的非常有效的方法。Lavy等人（2003）曾基于一個復(fù)雜的立體幾何問題，要求被試運用“否定假設(shè)法”來提出問題。結(jié)果顯示：學(xué)生能夠提出大量的數(shù)學(xué)問題，包括數(shù)值改變問題、變量改變問題以及把問題轉(zhuǎn)化為證明問題等。

筆者（2015）曾在J.N.Contreras（2003）的基礎(chǔ)上給出過一個提出數(shù)學(xué)問題的模型，見圖1。這個模型無疑對一線教師指導(dǎo)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題具有一定的參考價值。此后，筆者（2015）從課堂教學(xué)中的一道錯題出發(fā)論述了數(shù)學(xué)問題的提出，（2016）又以一道簡單的平面幾何問題為例論述了數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生提出問題能力的一點體會。

本文將以一個典型的平面幾何定理為例，談?wù)剶?shù)學(xué)問題提出的一些基本策略和方法。這個定理是：如圖2，從⊙O外一點P引⊙O的兩條切線PA、PB，則PA=PB。這個定理的證明很簡單：一種方法是證明△PAO≌△PBO;另一種方法是由弦切角定理得∠PAB=∠PBA=m12AB，則△APB是等腰三角形，故PA=PB。

我們當(dāng)然可以編制各種各樣的測試學(xué)生理解這個定理的數(shù)值練習(xí)（甚至一些是很好的練習(xí)）。但是，我們更喜歡幾何問題而不是算術(shù)問題。換句話說，我們希望學(xué)生使用相關(guān)定理證明相關(guān)結(jié)果。為此，我們可以采用如下策略和方法提出問題。

一、稍微增加圖形的復(fù)雜性

我們可以在⊙O上引入另一條切線CD（如圖3）。這樣，就得到兩個不同難度層級的問題（即問題1和問題2）。

問題1如圖3，PA、PB、CD是⊙O的三條切線，切點分別為A、B、Q，證明：PA+PB=PD+DC+CP。

問題2如圖3，PA、PB是⊙O的兩條切線，Q為劣弧AB上的一點，若CD是以點Q為切點的⊙O的切線，試證明：△PCD的周長是恒定的。

我們還可以在⊙O上添加另一條位置不同的切線QR（如圖4）。這樣，立刻又得到一個新問題（即問題3）。

問題3如圖4，A、B和C分別是⊙O三條切線PQ、PR和QR上的切點，求證：PA+QC+RB=AQ+CR+BP。

二、逆向思考條件和結(jié)論

之前，我們是知道直線和圓相切，確定線段的相等關(guān)系。現(xiàn)在，我們可以反過來：知道線段的相等關(guān)系，確定直線和圓相切。這樣，又可以得到一個新問題（即問題4）。

問題4在任意△PQR的邊上構(gòu)造點X、Y和Z，使得PX=PZ，QX=QY和RY=RZ。

解決辦法是作出△PQR的內(nèi)切圓。

三、將兩個或多個結(jié)果結(jié)合起來

結(jié)合圖3和圖4，我們又可以獲得問題5。

問題5如圖5，已知△PQR和六邊形DEFGHI都外切于⊙O，求證：△PQR的周長等于△PDI、△QFE和△RHG的周長之和。

問題5的證明是三次直接應(yīng)用問題1的結(jié)論，然后相加。

四、推廣先前的結(jié)果

例如，我們可以將問題3推廣到一個圓內(nèi)切于四邊形的情況：如圖6，四邊形PQRS外切于⊙O，求證：PW+QX+RY+SZ=WQ+XR+YS+ZP。還可以進一步推廣到一個圓內(nèi)切于n邊形的情況，得到類似的結(jié)論。

當(dāng)然，推廣問題有時會遇到一些麻煩。比如，將問題4推廣到四邊形的情況：在四邊形PQRS的邊上找出點W、X、Y和Z，使得PZ=PW，QW=QX，RX=RY和SY=SZ。但是，圖7顯示了這個問題并不總是能夠解決。

五、再次逆向思考條件和結(jié)論

例如，我們將問題6的條件和結(jié)果互換，又可以得到一個新問題（即問題7）。

問題7求證：如果一個凸四邊形兩組對邊的長度之和相等，那么這個凸四邊形一定有一個內(nèi)切圓。

這個結(jié)論很有意思，和“兩組對角的大小之和相等的四邊形一定有外接圓（即對角互補的四邊形是圓內(nèi)接四邊形）”有一種“對稱”的美。

六、再次將兩個或多個結(jié)果結(jié)合起來

結(jié)合圖4和圖8、圖9，我們可以聯(lián)想到：四邊形可以被對角線分割成兩個三角形，如果兩個圓分別內(nèi)切于這兩個三角形呢？于是，我們可以從特殊到一般提出兩個新的問題（即問題8和問題9）。

七、利用先前結(jié)論的對稱性命題

兩邊構(gòu)成的三角形的相互有重疊的圓。設(shè)m和n分別為這四個圓與對角線相切的切點之間對角線上的線段長，求證：m=n。

如上，所提出的問題越來越復(fù)雜。因此，提問者可能希望通過其他角度提出新的問題。例如，還可以從如下方向考慮能否提出新的問題：（1）非凸四邊形;（2）凸的或非凸的五邊形、六邊形等;（3）球和多面體;（4）三角形的內(nèi)角平分線;（5）圓的割線定理。

在提出這些問題時，細心的讀者可能會注意到：我們使用了一些相同的技術(shù)，如特殊化、一般化、相關(guān)的問題、逆命題、對稱、先前的結(jié)果、意外的結(jié)果等。可見，提出數(shù)學(xué)問題還是有一些規(guī)律和基本的策略、方法可以遵循的。

參考文獻：

[1] Kilpatrick，J.Problem formulating：Where do good problems come from？[C]//A.H.Schoenfeld （Ed.）.Cognitive science and mathematics education.Hillsdale，NJ：Lawrence Erlbaum，1987.

[2] Brown，S.I.，Marion，I.W.The art of problem posing[M].Hilldate，NJ： Lawrence Erlbaum Assoc，1983.

[3] Lavy，I.，Bershadsky，I.Problem Posing via “whatifnot” strategy in solid geometrya case study[J].Journal of Mathematics Behavior，2003（22）.

[4] 徐彥輝.數(shù)學(xué)解題后的“回顧與反思”與數(shù)學(xué)問題的提出[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2015（1）.

[5] 徐彥輝.從課堂教學(xué)中的一道錯題出發(fā)談數(shù)學(xué)問題的提出[J].數(shù)學(xué)傳播，2015（3）.

[6] 徐彥輝.培養(yǎng)學(xué)生提出問題能力的實踐體會——以《證明一》復(fù)習(xí)課教學(xué)為例[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2016（11）.