根植“算理” 提升“學力”

摘 要：“理解算理，掌握算法”是計算教學的重點與難點，唯有“理”通，方能“法”順，理法相融，才能相得益彰。然而，在教學實踐中，教師出于多種原因無法將算理根植于學生心中，導致學習效果低下。那么，教師該如何根植算理呢？

關鍵詞：計算;算理;算法

當下，越來越多的老師已能在理念上摒棄“重算法輕算理”的做法，但在行動上卻舉步維艱——有的教師徘徊在“算法的顯性”與“算理的隱性”之間，權衡不定;有的老師臣服于算法的“操作性”，將算理的教學變成了“過場秀”;還有的老師囿于自己的經驗水平，拿不準“算理本質”。為此，我們對“算理”進行了一些研究。本文選取了兩節“除法重點課”，談談我們的實踐與思考。

一、緊依本源，借“性質”理解理算

眾所周知，小數除法拓寬了學生對“數的運算”的認知領域，是重大的一次飛躍，而“一個數除以小數”是小數除法教學中的重中之重。雖然前有“小數除以整數”的學習，但其解決方式對于本課無法產生正遷移，導致學生困難重重。

（一）學生“困”狀

在教學完“一個數除以小數”之后，學生通常會有如下幾種“癥狀”：不會試商或商太慢;先擴大被除數還是先擴大除數順序不明;擴大被除數與除數時沒能做到同時;擴大之后，小數點的落腳點不清（個別孩子只看到小數點不見了，沒想到是小數點移動了）;數位不對齊（以為被除數的小數點還在原處）等。

（二）困因分析

針對這些現狀，我們進行了分類和比對，試圖找到學生問題的癥結，我們發現主要原因還是聚焦于“算理不明”。老師們心里都清楚，“商不變性質”是本課的算理所在，如果教師只教給學生列豎式的步驟，而沒將商不變性質充實到豎式的探究中去，那么很有可能導致學生只記住了形式，忽視了本質。研讀教材（例題見下），雖然沒有出現“商不變性質”的字樣，但同樣可以找尋到它的影子。“把除數轉化成整數，同時……”豎式的呈現也依據此：虛框圖示說明先把除數擴大成整數（為方便理解擴大后的數字是多少，劃去除數的小數點和前面的0），同時，被除數也擴大相同的倍數（小數點也向右移動兩位）。

[例題]奶奶編“中國結”，編一個要用0.85m絲繩，這里有7.65m絲繩，這些絲繩可以編幾個“中國結”？

7.65÷0.85=_____

（三）植入算理

既然，教材已經如此明了，為什么學生還會出現如此癥狀呢？可見，這必定跟教師的設計理念有關。為此，我們想通過一系列的設計，試圖將算理的種子植入初學孩子們的心里。（1）以練習為載體，復習商不變化性質，借此讓學生回憶“被除數和除數同時擴大相同的倍數，商不變”的規律;（2）多次練習強化該性質，特別安排小數練習。如：62.4÷2.6=（）÷（）;（3）呈現特例讓學生辨析：如：0.544÷0.16=（）÷（），強調要“同時”擴大相同的倍數;（4）教學豎式，想一想豎式中該如何體現這種算理。感悟“先把除數擴大成整數，同時被除數也擴大相同的倍數”的好處，同時明確“劃掉小數點其實質就是小數點的轉移”。（5）練習一般題和特殊題。62.4÷2.6;0.544÷0.16。

實踐證明，這樣的設計迎合了學生的舊知，將小數除法算理的本質牢牢地植入學生的心里，使他們學得更為高效。在理解算理的基礎上，學生計算的錯誤率明顯減少，面對錯誤，他們也能很快地發現原因，這無疑就是教師關注算理后的最大收益。

二、緊抓聯結，借“類比”植入算理

“分數除法”是計算教學另一重要分支，而“一個數除以分數”又是分數除法教學中的重中之重（例題見圖）。

[例題]小明 ? ?小時走了2km，小紅小時走km。誰走得快些？

2÷

（一）困因分析

我們曾假想，如果這節課只教學算法，讓學生知道并記憶“一個數除以分數相當于這個數乘它的倒數”，而后應用，相信許多學生都會做題。可他們知道為什么能這樣做嗎？知其然不知其所以然，此乃教學大忌。

通過訪談，我們了解到學生普遍認為“例題太難”。那么，它難在何處呢？（1）線段圖“難”理解。線段圖是“拐杖”，但之前的教材很少采用線段圖教學，也沒有教學生怎么畫線段圖，因為學生接觸甚少，所以理解起來會有一定困難。如“小時行了2km”，同一條線段中出現了兩個數據，這使許多學生費解。更多的是學生對于分數的意義已經遺忘，無法將“1小時的就是小時”等同起來。（2）語言“難”表達。語言是思維的體操，更是表達的外衣。如若照本宣科，文字長，思維跨度大，不利于學生理思維的碰撞。

（二）類比植入算理

既然如此，我們是否還有必要苦苦追尋其“算理”？答案是肯定的。刨根問底，將事物的本源聯系在一起，是每位數學教師的職責所在;知其然，更知其所以然，是數學教學永恒的精髓所在。一個數除以分數，其中一種理解就是先求“一小份”，而后再求“幾份”的過程，這跟倍比關系異曲同工。例如：小明2分鐘走100米，他3分鐘能走多少米？

為此，我們嘗試小步子走，引導學生真正感悟到“分數除法與整數運算”之間的微妙聯系，取得了較好的效果。（1）改變線段圖的呈現順序。先出示一條線段，引導“如果用這條線表示小明1小時所行路程，那么小時表示他從起點走到了哪兒呢？”（溝通：1小時的就是小時。）接著呈現“2km”這個信息，使學生把目光聚焦于線段之間的倍數關系，他們能直觀地感受到“2小段就是2km”，進而列式2÷2×3。（2）降低語言表達的要求。由于簡化了線段圖，在理解意義時，學生明白先算2÷2表示一小段的所行路程，再乘3表示一小時所行的路程。為了規范語言，教師可作適當引導：小時行2千米，小時就行1千米，1小時就可以行3千米。實踐證明，這樣做有利于學生的對算理的準確理解。

追尋算理歸根結底就是飲水思源，有了思維的源頭，學生走到哪兒都能回憶起他們喝下的第一口甘露。“一個數除以小數”和“一個數除以分數”是計算教學的兩大重要教學任務，深入研究算理的本質，借助類比推理，讓學生學得更為扎實有效。我們相信，只要教師不斷地更新觀念，不斷思索數學之間的微妙聯系，將“理解算理”作為教學己任，必定可以實現“根植算理、提升學生力”的夢想。

作者簡介：

朱孟迪，1981年4月，男，浙江慈溪，本科，一級教師，小學數學，單位：浙江省慈溪市崇壽鎮中心小學

（作者單位：慈溪市崇壽鎮中心小學）