一道解三角形問題的多視角探究及方法的同一性

鮑煥

1 概述

本文將從不同視角給出解三角形問題的三類不同方法，并挖掘其不同視角之間的內在聯系，強調教學中應該注重通性通法的探究。

1.1 待解題目

在平面四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，△ACD為正三角形，求△BCD面積的最大值。

2解題視角

2.1解題視角一：代數視角

將⑦、⑧兩式代入①式中可得⑥式，進而求最值。

這兩種代換方式是對于正三角形的邊長x采用設而不求的方法，使得計算更加簡便。

這里我們用了兩種方法對①式進行了轉化，雖然這兩種方法得到的最終函數的自變量不同，但思想方法是共通的，都用了轉化與化歸的思想將雙變元的函數轉化成了單變元的函數，用函數的思想來進行求解。

2.2解題視角二：解析視角

2.3解題視角三：幾何旋轉視角

3解題思考

這里，我們對以上這三種解題視角進行思考，以便于達到舉一反三的目的。從表面上來看，這三種視角用了不同的解題方法，但實際上，它們是有內在聯系的。

視角2中的參數換元角是與軸正方向的夾角，恰好與視角1中的角是互補的，如果對視角2中的進行換元，那么這兩種方法就是統一的;而視角2和視角3中求的面積都是用了公式：面積=×底×高，底是固定的，當高達到最大值時面積最大，這兩種方法是相關聯的。

隨著課程改革的推進和教育理念的轉變，我們應該知道，通性通法才是最重要的解題方法。在教學過程中，不但要追求一題多解，更應該追求多解歸一，要對不同方法中隱含的內在聯系進行深度挖掘，這樣才有助于形成通性通法。