試談高等數學教學中的類比綜合法

白捍東

摘 要：在如今的大學高等數學的教學中，教學方法主要還是側重于概念、定義的介紹、定理的證明、計算推導等。高等數學作為抽象性強，推理嚴密的科學，許多內容存在著豐富的類比性，如果再加以綜合，便會得出更一般的結論。類比綜合法即是類比得出某些結論后進行綜合，歸納出更一般性的結論的方法。

關鍵詞：教學方法；推理方法；類比綜合法

數學教學中的類比是一種推理方法。當兩個系統中某些元素存在著一致性或同構關系時，我們便可對兩個系統進行類比，從已知系統的結論去推導另一個系統的某些相應的結論。綜合也是一種推理方法，是把事物的各個部分加以分析并有機結合起來，得出新的結論。類比綜合法即是類比得出某些結論后進行綜合，歸納出更一般性的結論的方法。

高等數學作為抽象性強，推理嚴密的科學，許多內容存在著豐富的類比性，如果再加以綜合，便會得出更一般的結論。因此，教師在講授時加以引用學生的注意，補提其關鍵，培養學生運用這種方法解決問題的能力。下面從三個方面來探索該教學方法的應用：

一、用類比綜合法引入新概念，引導學掌握新概念。

數學概念是數學對象本質的抽象，也是構成數學理論體系的基礎；因此準確地理解概念的內涵，是揭示數學對象本質的前提。那如何引入新概念使學生更容易接受呢？ 類比綜合法是有效的方法之一。

例如：線性代數中，為了引入向量組的極大線性組，首先回顧n為單位e（0，0，…，1，0）有如下的性質：

1.e1，e2，…，en線性相關；

2.對任意n維的向量都是由e，線性表出。

然后提出如下問題：給定向量組a1，a2，…，an中，是否有這樣的類似的結構，

即是否存在一個部分組 a11，al2，…，an，滿足如下的兩個條件：

1.a11，a12，…，a1線性無關；

2.對任意an（i=1，2，…，s）都可以由 a1，a2，…，ar線性表出。

學生經過復習、類比和思考后，即可說明是肯定的，并稱部分組al，a2，…al為已知組 a1，a2，…，an的極大無關組。

對上述過程進行綜合后也可得出基礎解系的定義：設u1，u2，…，us為 AX=0的解向量。

1.ul，u2，…，un，線性無關；

2.對于AX=0的任意解 u可由 u1，u2，…，un線性表出。則u1，u2，…，un，為AX=0的基礎解系。

實踐證明，這種類比綜合法事半功倍，且容易接受。

二、運用類比結合法講解定文和結論

高等數學中某些定義命題數據推廣很多都是類比綜合解出來的。這種方法可以更有效地使學生掌握認識規律。而這是高等數學素質教學目的之一。

例如：命題l：已知 λ1，λ2，…，λn為行列式 A的特征值，試問λ21，…，λ2n是否為 A2的特征值。

通過對上述結論的綜合，推廣命題l得命題2。

命題2：已知λ1，λ2，…，λn為矩陣 A特征值，求證：Ak的矩陣特征值為λk1，λk2，…，λkn.

證見文（1）。

由命題l到命題2，通過類比綜合得出結論，水到渠成。

三、應用類比綜合法尋投問題的解決方法

在高等數學的教學中，除了運用類比教學外，也應重視類比綜合法的教學。

例如：求

分析：關于這種形式只有在定積分的定義中有相似的形式， ，

所以 ，

若設 ，則有下面：

這個例子我們先用類比，然后又進行了加工綜合，這樣不僅簡化了計算，而且培養了學生的思考能力。

當然，關于數學教學的類比綜合法的研究還不是很完善，但只要我們教師認真體會就能發現它的用處，勤于思考，在教學工作中不斷總結、創新，就能開拓一個新的領域。

參考文獻：

[1]王勇剛，高等數學課程教學的改革與實踐，教育前沿.

[2]李光輝，高等數學教學改革探討，政法成人教育學院學報.