等比數(shù)列的前n項和教學案例

李升陽

一、設計背景

1.設計思想：《新課程改革綱要》提出，要“改變課程實施過于強調(diào)接受學習、死記硬背、機械訓練的現(xiàn)狀，倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養(yǎng)學生搜集和處理信息能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流合作的能力”。對于這一目標本人認為，更加注重培養(yǎng)學生作為學習主體的能動性、獨立性、創(chuàng)造性、發(fā)展性。心理學家研究發(fā)現(xiàn)，9-22歲的學生正處于創(chuàng)新思維的培養(yǎng)期，高中生正好處于這一關(guān)鍵年齡段，作為數(shù)學教師應因勢利導，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力。利用問題探究式的方法對新課加以鞏固理解。在生生、師生交流的過程中，體現(xiàn)對弱勢學生更多的關(guān)心。

2.教材分析：在《數(shù)列》本章中，《等比數(shù)列的前n項和》是一節(jié)重要的基礎內(nèi)容，從知識體系來看，它不僅是《等差數(shù)列的前n項和》與《等比數(shù)列》的順延，而且還為后續(xù)深入學習提供了知識基礎。錯位相減法是一種重要的數(shù)學思想方法，是求解一類混合數(shù)列前n項和的重要方法。因此，本節(jié)具有承上啟下的作用。從知識結(jié)構(gòu)和人文價值來看，等比數(shù)列與等差數(shù)列是平行結(jié)構(gòu)關(guān)系，兩者之間存在著一定聯(lián)系，可以進行類比，拓展學生發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的能力。等比數(shù)列的前n項和公式的探究與推導需要學生觀察、分析、歸納、猜想，有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和探索精神，是增強學生應用意識和數(shù)學能力的良好載體。從知識的應用價值來看，它是從大量現(xiàn)實和數(shù)學問題中抽象出來的一個模型，前n項和公式的推導過程中蘊涵了基本的數(shù)學思想方法，如分類討論、錯位相減等在數(shù)列求和問題中時常出現(xiàn)。等比數(shù)列的前n項和在現(xiàn)實生活中有著廣泛的實際應用，如儲蓄、分期付款的有關(guān)計算等，而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數(shù)學素養(yǎng)。

二、教學目標

依據(jù)課程標準，結(jié)合學生的認知水平和年齡特點，確定本節(jié)課的教學目標如下：

1.知識與技能：理解等比數(shù)列的前n項和公式的推導方法；掌握等比數(shù)列的前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題.

2.過程與方法：通過公式的推導過程，提高學生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì).

3.情感、態(tài)度與價值觀：通過經(jīng)歷對公式的探索，激發(fā)學生的求知欲，鼓勵學生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨煉思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對稱美、形式的簡潔美、數(shù)學的嚴謹美.

三、教學過程

1.創(chuàng)設問題情景

引例：“一個窮人到富人那里去借錢，原以為富人不愿意，哪知富人一口答應了下來，但提出了如下條件：在30天中，富人第一天借給窮人1萬元，第二天借給窮人2萬元，以后每天所借的錢數(shù)都比上一天多1萬；但借錢第一天，窮人還1分錢，第二天還2分錢，以后每天所還的錢數(shù)都是上一天的兩倍，30天后互不相欠。窮人聽后覺得挺劃算，本想定下來，但又想到此富人是吝嗇出了名的，怕上當受騙，所以很為難。請在座的同學思考討論一下，窮人能否向富人借錢？

[設計一個學生比較感興趣的實際問題，吸引學生注意力，使其馬上進入到研究者的角色中來！啟發(fā)引導學生從數(shù)學的角度觀察問題，分析問題，構(gòu)建數(shù)學模型，然后解決問題。]

2.師生互動，探究問題

根據(jù)前面所學知識請同學們回答：窮人向富人借了多少錢？

學生回答： （萬元）

提出問題1：窮人應向富人還多少錢？

引導學生寫出窮人應向富人還的錢數(shù)：

提出問題2： 究竟等于多少呢？

有些學生回答用計算器來求。（老師肯定學生的做法，但學生發(fā)現(xiàn)比較難求）

提出問題3：同學們，我們來分析一下這個和式有什么特征。（學生會發(fā)現(xiàn)，后一項都是前一項的2倍）

提出問題4：如果我們把每一項都乘以2，就變成了它的后一項，那么我們?nèi)粼诖说仁絻蛇呁艘?，得到另一式：

[利用幻燈片展示]

……………（1）

若用公比2乘以上面等式的兩邊，得到

………………（2）.

比較（1）（2）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？（學生經(jīng)過比較發(fā)現(xiàn)：（1）、（2）兩式有許多相同的項）

提出問題5：將兩式相減，相同的項就消去了，得到什么呢？（學生會發(fā)現(xiàn)： ，通過計算器求得 （萬元）>465（萬元），窮人吃大虧了）

[這五個問題的設計意圖：層層深入，剖析了錯位相減法中減的妙用，使學生容易接受為什么要錯位相減。經(jīng)過繁難的計算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，也讓學生感到這種方法的神奇]

這時，老師向同學們介紹錯位相減法，并提出問題6：同學們反思一下我們錯位相減法求此題的過程，為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？

[這個問題的設計意圖：讓學生對錯位相減法有一個深刻的認識，也為探究等比數(shù)列求和公式的推導做好鋪墊]

3.類比聯(lián)想，解決問題

提出問題7：

學生開展合作學習，討論交流，老師巡視課堂，發(fā)現(xiàn)有典型解法的，叫同學板書在黑板上。

[設計意圖：從特殊到一般，從模仿到創(chuàng)新，有利于學生的知識遷移和能力提高，讓學生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗]

4.分析比較，開拓思維

將不同的方法進行分析評價。根據(jù)學生的認識狀況，可能有如下幾種方法：

[利用幻燈片展示]

學生A：

（1）-（2）有

[大部分學生是上面的的推導方法，還有各別學生用了下面的方法]

學生B：

學生C：

即

。

5.歸納提煉，構(gòu)建新知

提出問題8：由 得Sn=a，對不對？這里的 能不能等于1？等比數(shù)列中的公比能不能為1？ 為1時是什么數(shù)列？此時 ？

【設計意圖：通過反問精講，一方面使學生加深對知識的認識，完善知識結(jié)構(gòu)，增強思維的嚴謹性】

提出問題9：

學生歸納出：等比數(shù)列前n項和公式：

[“特例→類比→猜想”是一種常用的科學的研究思路]

教師讓學生進行各種嘗試，探尋公式的推導的方法，同時抓住機會或創(chuàng)設問題情景，調(diào)動了學生參與問題討論的積極性，培養(yǎng)學生的探究能力，發(fā)揮了組織者、推進者和指導者的作用，而學生卻是實實在在的主體活動者，成為發(fā)現(xiàn)者、創(chuàng)造者，讓學生享受成功的喜悅！]

四、案例反思：

本案例立足課本，著力挖掘，設計合理，層次分明，充分體現(xiàn)以學生發(fā)展為本，培養(yǎng)學生的觀察、概括和探究能力，遵循學生的認知規(guī)律，體現(xiàn)理論聯(lián)系實際、循序漸進和因材施教的教學原則。通過問題情境的創(chuàng)設，激發(fā)興趣，使學生在問題解決的探索過程中，由學會走向會學，由被動答題走向主動探究。在教學思想上既注重知識形成過程的教學，還特別突出學生學習方法的指導，探究能力的訓練，引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美，體驗求知的樂趣。