具有變號非線性項的分數階微分方程邊值問題正解的存在性

江衛華 韓晴晴 楊君霞

摘 要：為了進一步研究非線性項的分數階微分方程邊值問題的性質，討論了帶有變號非線性項的（n-1，1）分數階微分方程特征值問題正解的存在性，其中分數階導數是Riemann-Liouville型。首先利用給定邊值問題的Green函數，將微分方程轉化為等價的積分方程，然后在非線性項f（t，x）滿足Caratheodory條件（即任意選取變量x，非線性項f（t，x）為可測函數，對（0，1）區間內幾乎所有t，非線性項f（t，x）為x的連續函數）下。通過構造適當的Banach空間，運用錐拉伸與錐壓縮不動點定理和Leray-Schauder非線性抉擇得出邊值問題正解存在的充分條件。結果表明，非線性項f（t，x）中的t可以在（0，1）區間內任何點處具有奇性，同時還改變了使邊值問題的解存在的特征值λ的取值范圍。研究結果為現存結論的深入研究打下了基礎。

關鍵詞：常微分方程;不動點定理;巴拿赫空間;格林函數;正解;分數階微分方程

中圖分類號：O175.8?文獻標志碼：A

文章編號：1008-1542（2019）04-0294-07

近年來，隨著分數階微分方程在物理、化學、工程等領域的廣泛應用，越來越多的學者意識到了它的重要性[1-7]，對分數階微分方程的邊值問題正解的存在性的研究成為熱點問題之一[8-24]。

3?結?論

筆者分別運用錐拉伸與錐壓縮不動點定理和Leray-Schauder非線性抉擇，在非線性項f（t，x）不是連續函數的情況下，給出了具有特征值的分數階微分方程兩點邊值問題正解存在的充分條件。使得非線性項f（t，x）中的t可以在（0，1）區間內任何點處具有奇性，同時還改變了使邊值問題的解存在的特征值λ的取值范圍。研究結果為現存結論的深入研究打下了基礎。

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