一類分數階q型差分邊值問題中的混合單調方法

韓偉 孟曉宇 桑彥彬

摘 要：為了研究一類非線性分數階q型差分方程邊值問題非平凡解的存在唯一性。首先，在一個新的集合上定義一個新概念，再利用正規錐的定義，建立了2個混合單調算子唯一不動點的存在性，獲得了線性分數階q型邊值問題的Green函數，并且對Green函數的上下界進行了估計，由此可得到特解的表達形式。其次，運用抽象定理，討論了符合定理條件的非線性項，建立了上述問題的唯一解的存在性，并獲得逼近唯一解的迭代序列，進而證明了分數階q型差分方程邊值問題非平凡解的存在唯一性。最后，通過列舉一個例子來說明主要定理和結果的有效性。研究結果表明，定理條件得證且方程組邊值問題非平凡解滿足存在唯一性。研究方法在理論證明和邊值問題方面都得到了良好的結果，對探究其他邊值問題具有一定的借鑒意義。

關鍵詞：非線性偏微分方程;分數階q型差分方程;混合單調算子;存在唯一性;非平凡解

中圖分類號：O175.25?文獻標志碼：A

文章編號：1008-1542（2019）04-0307-10

分數階微分方程一直是人們關注的熱點問題，其研究成果不斷涌現。近幾年，由于分數階q型差分方程邊值問題在許多不同的專業場合中具有廣泛的應用，具備了重要的應用價值，如文獻[1—6]及其參考文獻。分數階q型差分方程邊值問題已被證明是非常有前途的研究與應用領域。AGARWAL[1]提出了分數階q型微積分，相關的研究包括分數階q型差分微積分理論的推廣、分數階q型差分方程邊值問題的耦合系統[3，7-18]。例如，AHMAD等[7]研究出用不動點理論解出具有分離邊界條件的q積分差分方程解的存在性和唯一性。此外，MIAO等[17]利用偏序集中的不動點定理，得到了帶p拉普拉斯算子的分數階q型差分方程邊值問題正解的唯一性。FERREIRA[12]利用錐上的不動點理論，研究了非線性分數階q型差分方程邊值問題正解的存在性：

4?結?論

本文研究了一類非線性分數q階型差分方程邊值問題，在正規錐中建立2個混合單調算子不動點的存在性，獲得了Green函數中特解的結構和上下界的估計，運用抽象定理構造迭代序列和抽象和算子，在前人的基礎上建立了其解的存在性定理，通過驗證定理所滿足的條件得出具有混合單調性的二元方程組的非平凡解并證出唯一性，最后舉出一個例子說明主要結果。結果表明，定理條件得證且方程組邊值問題非平凡解滿足存在唯一性。研究方法在理論證明和邊值問題方面都得到了良好的結果，對探究其他邊值問題具有一定的借鑒意義。

參考文獻/References：

[1]?AGARWAL R P. Certain fractional q-integrals and q-derivatives[J].Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society， 1969， 66： 365-370.

[2]?ANNABY M H， MANSOUR Z S. q-Fractional Calculus and Equations[M]. Berlin：Lecture Notes in Mathematics，2012.

[3]?廖春平， 葉海平. 分數階時滯微分方程初值問題正解的存在性[J]. 紡織高校基礎科學學報， 2008， 21（4）：415-420.

LIAO Chunping， YE Haiping. Existence of positive solutions for initial value problems of fractional delay differential equations [J]. Journal of Basic Sciences， Textile University， 2008， 21 （4）： 415-420.

[4]LI Xinhui， HAN Zhenlai， SUN Shurong. Existence of positive solutions of nonlinear fractional q-difference equation with parameter[J]. Advances in Difference Equations，2013， 1：205-215.

[5]LIU Yun. Existence of positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional q-differenceequation[J].Mathematics， 2013， 4：1450-1454.

[6]ZHAI Chengbo， REN Jing. Positive and negative solutions of a boundary value problem for a fractional q-difference equation[J]. Advancesin Difference Equations，2017，82：1-13.

[7]?AHMAD B，NTOUYAS S K. Impulsive fractional q-integrals-difference equations with separated boundary conditions[J]. Applied Mathematics Computation，2016， 281： 199-213.

[8]?蘇新衛， 穆曉霞. 非線性分數階微分方程系統正解的存在性和唯一性[J]. 河南師范大學學報（自然科學報）， 2006， 34（4）：9-12.