在層次性探索中發展數學思維
——以研究“軸對稱視角下線段和的最小值問題”為例

楊麗娟

(昆山市葛江中學 215300)

美籍匈牙利數學家喬治·波利亞，在《怎樣解題》中啟發學生：解決數學問題要善于聯想——你以前見過它嗎？你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？這里有一個與你現在的問題有聯系且早已解決的問題，你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？…[1]以上啟發，其實質是：“看到問題，喚醒知識；解決問題，類比應用”．用數學思考問題和解決問題的思維活動形式,就是數學思維,筆者以專題“軸對稱視角下線段和的最小值問題”的課堂教學為例，說明在數學課堂教學中，如何通過真實的問題情境，讓學生明確學習任務，驅動學生圍繞主題開展數學活動，進行層次性的探索，最終解決問題，發展數學思維．

1 利用生活情境，喚醒知識生長點，點亮數學思維的火花

在研究軸對稱視角下線段和的最小值問題時，通過創設簡單真實、貼近學生實際生活的問題情境，喚醒最值的有關知識．

情境1如圖1，從甲地到乙地有3條路，走哪條路相對近一些？并說明理由．

圖1

情境2如圖2，污水處理廠要從A處把處理過的水引入排水溝PQ，應如何鋪設排水管道，才能使用料最省？試畫出鋪設管道的路線？并說明理由．

圖2

設計意圖通過設計與教學內容相關聯的生活情境，喚醒相關的數學基本事實，點亮學生思維的火花，為后續探索提供理論依據．利用情境1，獲得基本事實：兩點之間，線段最短，強調兩點之間的最小值問題；利用情境2，過點A作AB⊥PQ，垂足為點B，線段AB即為鋪設的最短管道，從而獲得基本事實：垂線段最短，強調點到直線的最小值問題．

在解決情境問題時，抓住知識的生長點，引發數學思維，培養學生科學的態度和理性精神．

2 明確學習任務，進行層次性探索，搭建數學思維的橋梁

“任務驅動”是建立在建構主義教學理論基礎上的，有利于培養學生自主學習與協作學習能力的教學方法．初中生的數學學習活動必須與任務或問題相結合，讓學生帶著具體的任務去自主學習與協作學習，借助探索問題來驅動和維持學生學習的興趣和動機．

在研究軸對稱視角下線段和的最小值問題時，利用“兩點之間，線段最短”解決“牧童飲牛”這個經典的實際問題，構建相應的數學模型，并在此基礎上進行類比探究，搭建數學思維的橋梁，層層深入，以此培養學生的數學思維能力．

2.1 數學模型1：已知直線異側兩定點，找一動點

如圖3-1，在A村莊和B村莊之間有一條小河(看作直線l) ．夕陽西下，牧童想從A村莊到河邊將牛飲足水，然后回到在B村莊的家．請你幫牧童找到飲水點P，設計一個最短路線，并給出你的理由．

圖3-1

圖3-2

分析這里我們將A村莊與B村莊看成兩個固定的點，位于直線l的兩側，要在直線l上找一個點到這兩個點距離和最小，利用“兩點之間，線段最短”，只需連接這兩個點，與直線l的交點即為所求點P(如圖3-2)．

2.2 類比探究：選址造橋

上述問題中，如圖4-1，如果A村莊和B村莊之間隔著的小河寬a米(a是一個已知數)，現在需要在河面上架設一座橋(橋面與河岸垂直)，牧童從A村莊出發走到橋邊讓牛飲足水，然后過橋回到在B村莊的家．那么這座橋應架在何處，才能使牧童所走的總路程最短？

圖4-1

圖4-2

分析先讓學生試著通過直觀想象畫出牧童的行程示意圖，如圖4-2，那么如何確保牧童所走的總路程最短？即AC+CD+BD最小？這里CD是不變量，只要AC+BD最小即可，類比數學模型1，想辦法將分散的線段AC、BD聚攏在一起．假設河寬忽略不計，即將河的一岸平移到對岸，利用動畫演示平移過程，在平移過程中點A平移到點A1，構建出數學模型1的基本圖形．就點A1到點B路程最短怎么辦？連接A1B交對岸于點D，過點D作兩岸間的垂線段CD，CD即所架設的橋，然后動畫演示恢復河寬，發現A1D平移到AC上，即A1D=AC，所以AC+CD+BD=A1D+CD+BD=A1B+CD最小．

設計意圖本題實質還是強化已知直線異側兩定點，在直線上找一動點，求線段和的最小值．在解題過程中感知所用方法——平移不變量，聚攏分散線．

2.3 數學模型2：已知直線同側兩定點，找一動點．

如圖5-1，一條小河(直線l)的同側有A和B兩個村莊.夕陽西下，牧童想從A村莊到河邊將牛飲足水，然后回到在B村莊的家．請你幫牧童找到飲水點P，設計一個最短路線，并給出你的理由．

圖5-1

圖5-2

分析這里我們將A村莊與B村莊看成兩個固定的點，位于直線l的同側，要在直線l上找一個點到這兩個點距離和最小．如圖5-2，作點A關于直線l的對稱點A′，即利用軸對稱將點A翻折到直線l的異側，得到點A′，變成數學模型1，連接A′B交直線l于點P，根據軸對稱性質可知PA=PA′，則PA+PB=PA′+PB=A′B．另取一點P′，連接P′A、P′B，根據軸對稱性質可知P′A=P′A′，則P′A+P′B=P′A′+P′B，很明顯PA′+PB在一直線上最短．這里已知直線同側兩定點，在直線上找一動點，求線段和的最小值．在解題過程中感知所用方法——作軸對稱，拉直線段；理由是：兩點之間，線段最短．

設計意圖借助牧童飲牛的問題情境，明確學習任務，研究線段和的最小值問題，通過變式與類比，說明解決實際問題應先建立數學模型．

3 點撥疑難困惑，經歷延伸拓展，開拓數學思維的寬度．

數學教學不僅要向學生傳授知識與技能，更要傳授數學思想和方法，重視培養學生的思維能力、創新意識和情感價值觀，要體現思維的主動性和創造性．教學中面對知識的疑難點，學生會茫然不知所措，或四處出擊一無所獲，教師應遵循學生思維發展的規律，通過點撥思維方向與思考方法，幫助學生拓寬思維路徑．

繼續以牧童飲牛為背景，開展系列數學活動，適時進行知識延伸拓展，給學生留下思維發展的空間．

數學模型3：已知平面內一定點，找兩動點

例1(1)如圖6-1，已知∠AOB內部點P處拴著一匹牛，牧童先牽牛去草地(OB上)吃草，再去河邊(OA上)飲水，然后回到點P，請你幫牧童設計最短路線(要求畫出圖形) ．

圖6-1

圖6-3

分析先讓學生試著畫出牧童的行程示意圖，如圖6-2，使PQ+QR+PR最短，這里定點是點P，求兩動點Q、R，變為一定點兩動點的問題．怎樣使三條線段的和最小？結合之前總結的方法：作軸對稱, 拉直線段；兩點之間，線段最短．思考作哪個點關于哪條直線的對稱點，通過翻折找到與之相等的線段．

如圖6-3，作點P關于OB的對稱點，使點P翻折到直線OB的異側點P1；作點P關于OA的對稱點，使點P翻折到直線OA的異側點P2．這樣，P1、P2兩點在∠AOB兩邊的異側，連接P1P2，交OB于點Q，交OA于點R，則PQ+QR+PR=P1Q+QR+P2R=P1P2最短．Q，R即為所求.

(2)若∠AOB=45°，PO=10，求路線的最小值．

例2如圖7-1，在銳角△ABC中，AC>AB，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，求BM+MN的最小值．

圖7-1

圖7-2

圖7-3

圖7-4

分析先讓學生試著畫出符合題意的草圖(如圖7-2)，這里定點是點B，求兩動點M、N，還是一定點兩動點的問題．因為AD是∠BAC的平分線，所以可將AD看作對稱軸，作關于直線AD軸對稱的點，通過翻折找到對應相等的線段，因為條件限制只能得到定點B的對稱點，要作出所求的兩個動點，通過“拉直線段，求線段和的最小值”還不行，還需利用垂線段最短．

方法1：如圖7-3，作點B關于直線AD的對稱點B′，根據角平分線的軸對稱性，點B′在直線AC上，過點B′作直線AB的垂線段B′N，垂足為點N，交AD于點M，則BM+MN=B′M+MN=B′N最短．

方法2：如圖7-4，對于預設的點N，可作關于直線AD的對稱點N′，根據角平分線的軸對稱性，點N′在直線AC上，只要確保點N′、M、B在一直線上，且BN′⊥AC即可，則BM+MN=BM+MN′=BN′最短．

說明通過對兩種方法進行比較，發現方法1比較好，應盡量作定點B的對稱點，因為動點N

存在不確定性．該問題利用軸對稱性作對稱點后，雖然可以將線段拉直，但因為只有一個定點，作出對稱點后，還要注意利用“垂線段最短”等基本事實．

設計意圖例1、例2涉及的元素較多，學生獨立解決有困難．教學中應引導學生根據條件畫出草圖，利用數學知識的生長點“兩點之間線段最短”、“垂線段最短”進行具體化的數學構思，在思考問題和解決問題的過程中，學會構建數學模型，透過現象看本質，培養科學獨特的數學思維方式．

4 通過歸納感悟，實現問題解決，提升數學思維的高度

數學專題課是課堂教學的重要補充，本節課通過對線段和的最小值進行一系列層次性的探索，分清問題所涉及的定點與動點，以及它們之間的位置關系，讓學生經歷直觀想象、動手操作、邏輯推理，找到解決問題所需的鋪墊方法，構建數學模型，幫助學生整體把握轉化思想，提升數學思維的高度，最終獲得解決問題的策略：對于直線同側的點，無論是已知兩定點求一動點，還是已知一定點求兩動點，都應通過軸對稱轉化成直線異側的點，從而求得線段和的最小值．在解題過程中，可以用一些通俗易懂的語言總結歸納解題技巧，如：“平移不變量，聚攏分散線”、“作軸對稱，拉直線段”等，最終以流程圖簡單扼要說明解決“軸對稱視角下線段和的最小值問題”的途徑(如圖8)．

圖8

在軸對稱視角下，探索線段和的最小值問題，通過專題教學讓學生獲得數學的眼光，培養數學的思維，形成數學的語言，實現在層次性探索中發展學生的數學思維．