從應用題到建模問題的回譯
——一種開發數學建模素材的新思路①

黃英芬 顏寶平 龍紅蘭

(銅仁學院大數據學院 554300)

數學建模是聯接現實世界與數學世界的橋梁.把數學建模作為一門課程可以追溯到20世紀70年代，英國著名的劍橋大學率先給研究生開設了這門課程，后來人們嘗試給大學本科生上，再后來給中小學生上.進入21世紀，各國數學課程標準紛紛對數學建模提出明確要求，如美國、澳大利亞、德國、瑞典、新加坡、中國等，數學建模越來越受到世界范圍內教育界的關注和重視.我國的中學數學建模教學首先在北京、上海等發達地區展開實踐.2003年，數學建模首次被寫進《普通高中數學課程標準(實驗)》，課標要求在高中階段至少為學生安排一次完整的數學建模活動[1].這標志著數學建模成為高中生正式學習的內容.2018年初由教育部頒布的《普通高中數學課程標準(2017年版)》把數學建模作為數學六大核心素養之一，要求數學建模作為課程內容主線，并安排了具體課時[2].這意味著我國高中數學建模教學又往前邁進了一大步.至今，中國高中階段的數學建模已經有了二十多年的積累，但相對于全國所有高中的基數來說，仍然處于起步階段，還存在很多亟待解決的問題，教師問題就是其中之一[3].很多教師會將“應用題的練習”等價于“數學建模”[4]，不能理解數學建模的內涵.另一方面對數學建模資源的總結不夠，用于全員推廣的可操作性有待提高[5].現有高中數學教材中的數學建模內容貧乏，缺乏適合學生學習和教師講解的數學建模問題，而由于種種原因，許多教師又難找到或提煉出合適的數學建模問題，致使他們在數學建模教學時有“巧婦難為無米之炊”之感[6].關于高中數學建模素材的開發，文[6]給出了幾種改編高中數學建模素材的途徑，但并未給出具體實例.由美國數學及其應用聯合會(COMAP)、美國工業與應用數學學會(SIAM)原著，由梁貫成教授等編譯的《數學建模教學與評估指南》一書中給出了如何從一個數學問題出發改編成一個建模問題的例子[7]，但受經驗的限制，難度較大.本文將給出一種簡單實用的開發高中數學建模素材的新思路，期望對廣大一線教師有借鑒意義.

1 數學建模的內涵

通俗地講，數學建模就是建立數學模型解決實際問題的過程.《普通高中數學課程標準(2017版)》把“數學建模”定義為是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的過程[2].如果問題沒有得到很好地解決，還需要重復進行建模過程.

2007年，Blum和Leiβ提出建模七階段循環過程[8]，即把整個建模過程分為七個環節，六個狀態(如圖1)：

圖1 七階段建模循環模型

(1)理解“現實問題”構造“情景模型”；

(2)簡化“情景模型”構造“現實模型”；

(3)數學化，即用數學的語言描述“現實模型”從而構造“數學模型”；

(4)運用數學方法得到數學結果；

(5)根據現實問題解釋數學結果，獲得現實結果；

(6)結合原來的情景驗證結果，如果答案差強人意，則重新進行建模過程；

(7)介紹問題解決方案，并與他人交流.

數學建模是一個過程，而最重要也是學生感覺最困難的是“現實問題→……→數學模型”這一子過程.為了更好地提高學生的數學建模能力，尋找一個好的數學建模問題是關鍵.

2 建模問題與應用題

90年代初期，我國高考題中開始出現應用題，并延續至今.長期以來，我國已有豐富的應用題資源.談起應用題，一線教師可謂如數家珍.不難發現應用題的特點：(1)抽象性.有實際背景，但已經對現實進行過度簡化、提煉和抽象.(2)確定性.問題表述清楚，條件不多也不少，所需數據明確給出，答案唯一.(3)封閉性.學生完成這個問題不需要考慮實際情況，只需要理解題目中的數量關系或空間形式，恰當地使用數學知識便可以解決問題，不需要反復修正.

與應用題相比，建模問題沒有明顯的數據和關系可用，給出的條件也不一定有用，學生需要自己做出假設，并篩選數據和有用的條件，得出的結論往往不唯一.建模問題具有現實意義，學生得到數學結果后，必須考慮實際，若結果不符合實際，則需要返回到最初并重新做出假設.因此，建模問題具有現實性、模糊性、開放性.

從建模七循環過程，可以看出應用題應該介于“現實問題”與“數學模型”之間，即“現實問題→……→應用題→……→數學模型”.應用題是對現實問題的抽象和簡化，只包含問題的基本要素，從而更易于數學處理.現實問題就是指來自現實世界的建模問題.我們要把一個應用題改編成一個建模問題，就是對上述過程的回譯，即需要隱藏某些數據，降低應用題的抽象層級，重拾被應用題拋棄的細節，把提煉的條件重新放回現實中，從而改變應用題的三個特性，實現從應用題到建模問題的華麗轉身.

3 實例

應用題1城市居民購置一輛小轎車需一次性投入12萬元.使用期間每年還需支付保險、維修、汽油、養路費等維持費：第一年需8000元，以后每年遞增12%(假設維持費在每年年初支付).車輛使用10年后報廢.問：在這10年內，相當于每年投入多少資金(設銀行年利率為3%)？(上海市1999年決賽)[9]

經過分析，不難發現“數據明確且不多不少，問題清楚”是導致其封閉的關鍵因素.想要破壞應用題的這一特性，首先需要觀察并調整數據.

第一步：調整數據.題目不僅給出需要考慮的因素，還做出假設如維持費的逐年遞增率，車輛使用的年限.題目還提示要考慮銀行存款年利率.學生做題時，不需要考慮實際情況，只需要根據題目給出的條件找到數據之間的關系即可解決問題.為了讓題目具有開放性，現在我們隱藏數據“8000、12%、3%”，讓學生去調查并估算這些數據.我們暫時把它稱為“開放應用題”.

開放應用題1城市居民購置一輛小轎車需一次性投入12萬元.使用期間每年還需支付保險、維修、汽油、養路費等維持費.假設車輛使用10年后報廢.問：在這10年內，相當于每年投入多少資金？

學生為了解決問題會去調查一輛價值12萬的小轎車一年的維持費需要多少，最初可能并沒有考慮到維持費可能會逐年遞增，但調查的過程中，車主可能會無意中說到維修費用等會逐年增加，但是“12%”這樣的數據卻是需要自己去估算的.缺少了“銀行利率3%”的提示，大多數同學可能會忽略這一點.學生在討論中，會逐漸完善這些信息.同時，他們也明白了現實生活中的問題不像書上的應用題那么清晰、明確.這個問題雖然開了一扇窗，讓學生親身經歷了搜集、估算數據的過程，但是還缺乏更加實際的意義.現在我們給它尋找一個更加貼近實際的情景.

第二步：現實化.想一想對于收入一般的家庭，準備買車的時候在思考什么？他可能很糾結買車以后方便了出行，但是增加了開支.

建模問題1假如你的父母是該市的普通上班族，現在決定買一輛家用汽車，請你綜合考慮汽車的價格，以及使用期間所要支付的保險、維修、汽油、養路費等，為你的父母測算適合買一個什么價位的汽車.

經過改編，問題變得開放了，學生想要完成這個問題，必須去了解父母的收入，家庭開支，以及養一輛汽車所需的費用等.學生在做調查的同時，也能感受到買車不是越貴越好，有利于消除攀比心理，這使問題變得更加有意義.

第三步，延伸.為了把問題做得更深入，除了從經濟上，還應綜合考慮汽車的配置、舒適、美觀等因素，做出綜合決策方案.

第四步，發散.除了買車，還可以考慮買房.假設你的父母購買住房時需要貸款30萬元，他們希望盡可能少付一些利息即盡量縮短貸款年限，又希望每個月還完房貸后對家庭生活質量不要產生太大影響.現在請你為父母設計一個合理的貸款方案.

還可以考慮貸款時，采用“等額本金”還是“等額本息”的方式來還款.過了幾年以后，你父母的月收入增加了，想要提前還貸，你還可以為他們計算已還多少本金和利息，還剩多少本金和利息，為他們的決策提供參考……

應用題2設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離.測量者在A的同側河岸邊選定一點C，現測得AC=55 m，∠BAC=101°，∠ACB=55°(如圖2).求A、B兩點的距離(精確到1 m).

圖2

第一步：調整數據.由于題目中已經測得相關數據，學生只要聯想到正弦定理，問題便迎刃而解.為了達到讓學生自己體驗的目的，我們應該隱藏“AC=55 m,∠BAC=101°,∠ACB=55°”這些數據，留給學生自己去測量.經過這樣的改編，題目具有了一定的開放性，我們暫時把它稱為開放應用題.

開放應用題2為了測得河岸兩點A、B間的距離，在A的同一測選擇一點C(如圖3)，并測量AC的長度，∠BAC，∠ACB的度數，求AB的長(精確到0.1 m).

圖3

經過改編，題目具有一定的開放性.學生不同的選擇會導致AC過長或過短，經過計算會發現過長或過短可能導致誤差過大，于是會重新調整.還有的學生為了減少誤差可能會選擇多測兩次，取平均值.另外就是角度的測量，合適的測量工具可能顯得很重要.總之，在這樣的過程中，學生能夠體會到數學在現實中的應用.但是這個問題的開放程度還不夠，因為題目給出了測量方案，包含明確的數學提示，這樣會限制學生的發散思維.

第二步：現實化.為了構建更加貼近實際，更加開放的建模問題，我們需要還原真實情景.第一，我們可以把“測量地面上兩個不可到達的地點的距離”作為問題，給建模者留出自由發揮的空間.第二，給這個問題尋找一個理由，并還原到真實場景.

于是，我們可以得到：

建模問題2某市有一不規則湖泊(如圖3)，居住在D區的人想要到過E區需要繞很遠的路.鑒于此，市政府決定在D、E兩區(即A、B兩點)之間建立一座橋.請你運用所學知識設計一個方案來測量一下A、B兩點之間的距離，以方便估算建橋所需的材料.

經過改編，學生感覺自己做這道題目是有意義的，并且可以根據自己所掌握的知識選擇不同的測量方案.如果學生對正弦定理的內容比較熟悉，就可以選擇應用題2中的方案，利用正弦定理來解決問題.也有學生對初中學過的全等三角形的知識印象深刻，于是想到利用全等三角形的知識把測量A、B的距離轉化到測量岸邊上某線段的長度.即在AB的垂直線上取兩點C、D，并使得CD與AC的長度相等，做DE⊥AD，并使得E與B、C在同一直線上(如圖4)，根據三角形全等的知識，可知測得DE的長度就能知道AB的長度.類似地，當CD與AC的長度不相等時，可以利用相似三角形的知識求得AB.最后，小組間進行交流，可以拓寬知識，感受運用數學知識解決實際問題的可行性與靈活性.同時，也說明經過回譯得到的題目是一道真正的建模問題，它的開放性決定了可適用于不同層次的中學生做.

圖4

第三步：延伸.在建模題2中，我們事先選定了A、B兩點.而在實際問題中，我們關心的是怎樣選擇A、B兩點，才能使得AB最短.

第四步：發散.現實生活中，關于測量的問題不止這一個.有的時候，我們還需要測量不能到達的河對岸兩點之間的距離.

我們不僅可以測量平面上兩點的距離，也可以測量空間中某個物體的高度，比如旗桿，市內某個很高的建筑物……

通過上面兩個例子，我們可以發現把一道應用題回譯成一道或若干道建模題，需要經歷以下四個步驟：

(1)調整數據：隱藏那些適于學生調查或測量的數據，給學生留出親身體驗的機會.

(2)現實化：重新組合題目的要素，并還原真實場景，使問題更加有意義.

(3)延伸：考慮解決這個問題更多、更實際的因素，以使問題得到更好的解決.

(4)發散：聯系類似的情景，以便找到更多的建模問題.正如波利亞指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長……當你找到第一個蘑菇或做出第一個發現后，再四處看看，就能發現一堆蘑菇.”

圖5 從應用題到建模問題的回譯過程

新課標對數學建模的要求，表明了下一階段將在高中階段全面推進數學建模的教學.數學建模是將數學應用到現實生活的過程，非常值得教師在數學課堂引入相應教學以加強學生學習數學的動機和興趣.然而，到目前為止，還有很多高中學校并未實際開展數學建模活動，還有相當數量的數學教師并不知道數學建模的涵義.本文所給出的開發數學建模素材的方法正是為這些教師準備的，教師可以通過這種方式感受什么是簡單的建模問題，也可以用“延伸”、“發散”的思維方式引導學生發現并提出新的問題.