為發展學科一般觀念而教
——兼談解析幾何復習起始課教學

李昌官

(浙江省臺州市教育局教研室 318000)

1 何為學科一般觀念

本文把解析幾何、立體幾何、概率統計等相對獨立的數學分支也視為學科.學科一般觀念是指對本學科學習和研究具有廣泛、持久、深刻影響的基本數學思想方法和基本思維策略方法.從學習與掌握視角看，學科一般觀念具有直觀、簡明、易懂但難深入等特點；從功能與價值視角看，它具有統攝性、一般性、普適性強等特點.如解析幾何中的坐標法、借助方程研究幾何圖形的性質、運動變化觀點等，都屬于學科一般觀念的范疇.

2 為何要發展學科一般觀念

學科一般觀念是學好本學科的基礎和關鍵.因為它是學科的核心與靈魂，是學科成長和發展的基石；它為如何構建本學科知識、提出問題和解決問題提供思維的方向與策略；離開了一般觀念的引領和組織，該學科的學習將變得松散、零碎、低效、缺少靈性和活力.

學科一般觀念是解決本學科問題的金鑰匙.“數學教學的根本任務是發展學生的思維能力，說到底就是要使學生在面對問題時總能想到辦法.注重一般觀念的思維引領作用，可以提高思維的系統性、結構性，有效克服‘做得到但想不到’的尷尬，使數學的發現更具‘必然性’”[1]780.學科一般觀念的特點決定了它對本學科問題的解決具有很強的引領與指導功能，數學應有意識地培養學生“從基本概念、基本原理及其聯系性出發思考和解決問題的習慣”[1]737.這既是提高學生應試能力的大道和王道，也是發展學生思維能力的大道和王道.

發展學科一般觀念是提升核心素養的需要.學科核心素養是學科知識、技能遺忘后留余下來的并持續發揮作用的東西.“數學的本質是不斷拋棄較特殊的概念，尋求較一般的概念；拋棄特殊的方法，尋求一般的方法.”[2]數學教育的目標不僅在于數學概念、數學定理的積累，更在于形成這些概念和定理背后蘊含的一般觀念、一般方法和學科品性.

3 如何發展學科一般觀念

為了有效地發展學生的學科一般觀念，可采取如下教學策略.

3.1 追根溯源，揭示學科一般觀念產生的背景、過程與方法

學科一般觀念不可能在真空中產生，它需要一定的土壤、環境與溫度，并且必然有一個萌芽、孕育、生長、發展、成熟的過程.揭示學科一般觀念產生的背景、過程與方法，有助于解決抽象觀念與具體情境的脫節問題，有助于學生更深刻、更全面地理解一般觀念.以解析幾何復習起始課教學為例,應揭示解析幾何的產生是為了使直觀形象的“形”能借助抽象精確的“數”進行計算，其源頭是坐標平面上的點與有序數對的一一對應；應揭示和梳理解析幾何形成與發展的軌跡(具體可參見后面的圖5)；應剔除不必要的細節內容，突出和強調一般觀念，幫助學生形成具有廣泛應用性和深遠影響的解析幾何問題的研究思路與研究方法.

3.2 “虛”“實”結合，用“虛”指導“實”，又從“實”中提煉“虛”

這里的“實”是指知識、技能、題目等容易觸摸的東西；“虛”是指思想、觀念、策略等難以把握的東西.應處理好認識“森林”與認識“樹木”的關系，尋找“實”的東西背后所蘊含的“虛”的東西：既先見森林、后見樹木，又善于通過樹木來認識森林.應切記：“一般觀念是將特殊結果聯系起來的手段.畢竟，具體的特殊事物才是重要的.因此，在你對事物進行數學處理時，結果無論多具體也不為過，方法無論多一般也不為過”[3]29.以解析幾何復習起始課教學為例,一方面，應在解析幾何一般觀念的指導和引領下，探尋解析幾何的源頭，探究發現曲線的性質，解決包括數學高考題在內的數學問題；另一方面，應通過相關知識的學習、相應問題的解決來提煉解析幾何一般觀念，深化學生對它們的認識.更進一步，解析幾何復習起始課解題教學的目的主要不在解題本身，而在于通過解題來說明解析幾何的學習目標與考試要求，強化解析幾何解決問題的一般思路與一般方法；是“抓住為數不多的闡明整體的一般觀念，持久穩定地匯集所有相關的輔助事實”[3]48.

3.3 注重整體，抓“大”放“小”，避免被繁雜的細節所干擾

“如果你深入到細節中去，你就可能在細節中迷失自我.過多過細的枝節對思維是一種負擔.它們會阻礙你對要點投入足夠的注意力，甚至會使你全然看不到要點”[4].對解析幾何復習起始課而言，應重在明晰課程標準與考試大綱關于解析幾何考查的原則性、框架性要求，而不是數學高考中解析幾何的題型分布與知識點分布；應重在解決一般性、框架性、策略性問題，而不是具體的細節問題；應重在用解析幾何的一般觀念把前面所學的內容串聯起來，使之形成一個統一的整體，而不是關注某類問題的特定解法；應重在解決學生解析幾何學習中存在的普遍性、全局性問題(如學習習慣、學習方法問題)，而不是解決特定知識點學習中存在的問題.也就是說，復習起始課應強化整體把握、整體指導，為學生后續復習提供包括復習目標、復習方法、復習路徑、一般觀念等在內的先行組織者.

3.4 強化感悟，尤其是學生的自我感悟和綜合感知

陳述性知識的學習主要靠傳授，程序性知識的掌握主要靠訓練，策略性知識、觀念性知識的形成主要靠教師指導基礎上的學生自我實踐、自我感悟與自我內化.因為沒有學生的親身實踐和自我感悟作基礎的“一般觀念”是脫離情境的、抽象的、空洞的言語信息，是難以遷移、難以用于解決問題的他人的一般觀念.另外，由于學科一般觀念具有很強的整體性、結構性和綜合性，因此應通過綜合感知、整體感知，使學生“對隱藏于數學對象深層的數學事物關系間的和諧性與規律性有深切感受，對隱藏于數學知識間的邏輯脈絡和演繹方式有深切感受”[5].

4 為發展學科一般觀念而教之案例——解析幾何復習起始課教學

4.1 解析幾何課程目標與考試目標

盡管解析幾何的課程目標與考試目標遠不是一節復習起始課所能達成的，但它們仍然是制定復習起始課教學目標的重要依據.《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出，解析幾何的課程目標是“在平面直角坐標系中，認識直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線的幾何特征，建立它們的標準方程；運用代數方法進一步認識圓錐曲線的性質以及它們的位置關系；運用平面解析幾何方法解決簡單的數學問題和實際問題，感悟解析幾何中蘊含的數學思想”；解析幾何的學業要求是“能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程：根據具體問題情境的特點，建立平面直角坐標系；根據幾何問題和圖形的特點，用代數語言把幾何問題轉化成為代數問題；根據對幾何問題(圖形)的分析，探索解決問題的思路；運用代數方法解決問題得到結論；給出代數結論合理的幾何解釋，解決幾何問題.能夠根據不同的情境，建立平面直線和圓的方程，建立橢圓、拋物線、雙曲線的標準方程，能運用代數的方法研究上述曲線之間的基本關系，能運用平面解析幾何的思想解決一些簡單的實際問題”[6].

由上不難發現，無論是解析幾何的課程目標還是學業要求，它們的根基和核心都是坐標法，需要解決的問題都是曲線的性質及其位置關系方面的，解決的基本思路都是借助方程對曲線進行計算.因此解析幾何復習教學應該突出和強化一般觀念，突出和強化一般觀念與具體解題之間的聯系；應在一般觀念的指導下解決具體問題，同時在具體問題解決的過程中提煉、強化一般能力和一般觀念.

4.2 學生解析幾何方面的認知基礎與認知缺陷

通過解析幾何新課學習，學生對解析幾何的基本概念、基本思想、基本技能有一定的了解、理解或掌握，但他們的學習明顯存在如下問題：一是重具體技能而輕一般觀念，對解析幾何的學科意義、學科價值、基本思想認識不到位，以至于許多學生面對高考題——教材中“坐標平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內容體現出解析幾何的本質是什么——時不知所措，答分率低下；二是重知識積累，而輕知識梳理，他們學到的往往是孤立的、碎片化的知識，而不是作為整體的一部分、相互聯系的知識；三是重知識是什么，而輕知識為什么是這樣，他們對知識的掌握往往停留在記憶、理解和運用的水平上，而達不到分析、評價與創造的水平；四是解題重數量而輕質量，他們往往為完成教師布置的任務而解題，盲目解題、機械解題、“入寶山而空返”現象嚴重.筆者曾對臺州市30000多的高三學生進行問卷調查，結果表明：從高一到高三，學生的學習習慣、解題習慣不僅沒有得到優化，反而是惡化.

4.3 解析幾何復習起始課的教學功能與教學目標

4.3.1復習起始課的教學功能

復習起始課與新課起始課的環境與條件不同：新課起始課學生缺乏相應的經驗與感受，教師難以為學生提供清晰的學習框架，而復習起始課則不同；新課起始課學生還沒有暴露出學習的問題與不足，教師只能憑經驗進行教學，而復習起始課則可基于對學生前期學習情況的調查與檢測、針對學生存在的問題與不足進行教學.復習起始課的教學功能與新課起始課的教學功能既有共同點，也有不同點.其共同點都是為后繼學習提供先行組織者；都不是重在解決具體細節問題，而是重在解決一些整體性、框架性、一般性問題.其不同點在于：新課起始課重在孕育一般觀念，而復習起始課重在強化一般觀念；新課起始課重在搭建學習框架與知識框架，而復習起始課重在梳理和完善已經初步形成的知識框架.從學習心理看，新課學習時教師和學生都難免被新的東西所吸引，進而把注意力放在新的情境、新的知識、新的技能上，放在對特定問題的認識和解決上，而復習起始課則有條件跳出具體知識和解決問題的細節，在更一般、更寬廣的視角下重視審視所學知識，以更好地形成學科一般觀念，掌握學科基本方法.

4.3.2解析幾何復習起始課的教學目標

根據解析幾何的課程目標與學業要求，根據學生的認知基礎，針對學生前期學習中暴露出來的問題，制定解析幾何復習起始課教學目標如下：

(1)能在具體情境和解決問題的過程中，感受解析幾何的孕育與發展，深化對解析幾何本質的認識，明晰解析幾何解決問題的一般思路與一般方法，強化解析幾何的一般觀念，欣賞解析幾何的價值；

(2)在對解析幾何高考題的分析與梳理中，明晰解析幾何高考的主要內容與考查目標，感知解析幾何高考的基本要求；

(3)能反思解析幾何新課學習中存在的問題與不足，有彌補這些不足、優化自己的學習習慣與學習方法的意識與行為.

4.4 解析幾何復習起始課的教學過程

4.4.1回顧檢測，暴露問題，明確目標

回顧與檢測1你能判斷圖1(1)中點P1與P2是否關于y軸對稱嗎？能判斷圖1(2)中點O、A、B、C是否共線嗎？如果已知點A、B、C的坐標分別為(3，8)，(5，13)，(8，21)(如圖1(3))呢？

圖1

【設計說明】(1)目的是了解學生對解析幾何特點與優點的認識；(2)對圖1(1)，可先讓學生充分發表自己的看法，猜想結果，然后教師借助數學軟件顯示這兩點的坐標；(3)讓學生認識到：幾何具有形象直觀的優點，但也有不便計算和難以精確刻畫的缺點，解析幾何用坐標表示點、用方程表示曲線，正是為了使圖形能夠借助坐標和方程進行運算，進而使數學同時具有“數”與“形”的優勢.

回顧與檢測2解析幾何為什么能夠通過方程研究曲線？“曲線與方程”和“點與有序數對的一一對應”有怎樣的聯系？

【設計說明】(1)目的是了解學生對解析幾何基本思想理解的深刻程度.(2)解析幾何的源頭是點與有序數對的一一對應關系，其基本思想有兩個基本要點：一是坐標法；二是運動變化觀點.在解析幾何中，曲線被看作點運動所成的軌跡，方程被看作有序數對變化時所滿足的條件.正是在這種運動變化中，點與有序數對始終保持一一對應關系，因此人們能夠通過方程來研究曲線.(3)在學生討論的基礎上，出示2004年上海數學高考題——教材中“坐標平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內容體現出解析幾何的本質是什么？強化學生對解析幾何本質及其重要性的認識.

回顧與檢測3下列是2018年全國卷Ⅰ理科解析幾何部分的高考題，它們涉及哪些曲線和曲線的哪些性質？所用的基本思路與基本方法是什么？

A.5 B.6 C.7 D.8

①當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；

②設O為坐標原點，證明：∠OMA=∠OMB.

【設計說明】(1)呈現最新的高考真題，目的一是為了了解學生看待高考題的角度；二是為了讓學生了解解析幾何高考的基本現狀和主要內容；三是為了以之為載體，說明解析幾何高考考查的基本問題及所用的基本思路與基本方法，為后繼復習指明方向.(2)分析時，不關注考查具體的知識點，也不關注具體的解題細節，只關注試題所對應的基本問題以及解決所用的基本思路與方法.(3)分析發現：考查所涉及的曲線包括直線、橢圓、雙曲線、拋物線等，所要解決的是它們的位置關系和度量大小問題，所用的基本思路與方法是先求相應曲線的方程，然后借助方程來解決問題.

【回顧與檢測1-3設計總說明】直面解析幾何的學科本質和高三學習的主要任務，揭示解析幾何發展的內在邏輯，深化解析幾何的一般觀念，同時盡最大可能暴露學生前期學習中存在的問題與不足，為學生后續復習指明目標與方向.

4.4.2實戰演練，強基固本，提升能力

圖2

問題1(2017年浙江寧波中考第11題)如圖2，四邊形ABCD是邊長為6的正方形，點E在邊AB上，BE=4，過點E作EF∥BC，分別交BD，CD于G，F兩點.若M，N分別是DG，CE的中點，求MN的長.

【設計說明】(1)距離是幾何的核心概念，是解析幾何應用的重要方面.(2)在沒有呈現解析幾何背景的情況下，引導學生自覺地利用坐標法加以解決幾何問題.(3)深化學生對運用坐標法解決問題的思路、方法與價值的認識.

圖3

問題2如圖3，已知△ABC為等腰三角形，AB=AC，D是AC的中點，且BD=3，求△ABC面積的最大值.

分析：(1)首先應從運動與變化的視角看待問題.(2)考慮到此問題是最值問題，故可從函數角度切入.為此，只要把S△ABC用某個變量的解析式表示.(3)考慮到已知BD=3，故可把B，D看作定點，把A，C看作動點.由D是AC的中點，知S△ABD=S△BCD，故可通過求點A的軌跡方程來求S△ABC的最大值.

【設計說明】問題2與問題1一脈相承，學生面對的都是沒有解析幾何背景、真實的平面幾何問題，但問題1只用坐標法就能解決，而問題2要通過建立方程、研究方程才能解決，因此問題2更利于發展學生運用解析幾何基本思想解決問題的能力.

問題3前面回顧與檢測3的第(2)題.

【設計說明】(1)運用高考真題激發和調動學生的積極性，同時借此進一步揭示高考考查的基本問題與基本方法.(2)對解析幾何運算，指導學生先理解運算對象、明確運算目標、分析運算條件、探尋運算思路、確定運算方法，避免盲目地、無章法地計算.(3)強化解析幾何解題的另一個一般觀念——充分利用圖形的幾何性質來簡化計算；對選擇題、填空題，尤其應做到“小題小作”，而不是“小題大做”.如圖4，應能意識到∠MOF=∠NOF=∠ONF=30°.

圖4

【問題1-3設計總說明】(1)這3個問題均先學生獨立思考，然后學生相互討論，最后教師點評、講解.如果學生相互討論仍不能解決問題，那么教師提前作啟發性、引導性點撥.(2)強化解析幾何一般觀念與具體問題解決的相互促進.(3)問題解決后，應強化學生的自我反思與自我感悟，為學生內化解題策略、深化一般觀念留出時間和空間.

4.4.3回顧反思，梳理結構，指導學法

(1)學生回顧、反思本節課的學習，進一步感悟和內化解析幾何一般觀念，同時注意尋找自身學習存在的問題與不足.

(2)教師按圖5梳理解析幾何的結構體系與高考重點.

圖5

(3)學法指導.提醒學生在解析幾何復習中注意如下幾點：第一，把握利用方程研究曲線性質這一根本性的學科特點與思維方式；第二，分析題目條件與條件之間、條件與結論之間的聯系，弄清楚為何一件事成為另一件事發生的依據，并意識到這是思維的核心與關鍵；第三，傷其十指，不如斷其一指，應加強解題后的回顧與反思，做到舉一反三、觸類旁通，提高解題效益；第四，解析幾何運算應重算理、優算法、不怕繁，應把運算作為優化自己個性品性的載體與平臺.

5 結束語

數學教學應基于“四基”，發展“四能”，孕育數學核心素養；應基于學科知識提煉凝聚學科觀念，孕育發展學科品性.即便是高三復習教學，也應通過發展思維能力和學科一般觀念來提升考試成績，做到“育分”與“育人”雙豐收.