一種基于能量耗散理論的巖石加速蠕變模型

劉文博，張樹光，李若木

(1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 土木工程學(xué)院，遼寧 阜新 123000; 2.桂林理工大學(xué) 土木與建筑工程學(xué)院，廣西 桂林 541000; 3.廣西巖土力學(xué)與工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 桂林 541004; 4.阜新市產(chǎn)業(yè)技術(shù)創(chuàng)新推廣中心(市產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院)，遼寧 阜新 123000)

隨著地下工程向深部發(fā)展，地下圍巖在復(fù)雜地應(yīng)力的作用下表現(xiàn)出的隨時(shí)間發(fā)展的大變形、難支護(hù)以及失穩(wěn)破壞等工程問題日益增多。因此在巖基、邊坡、水利工程以及隧道等地下工程領(lǐng)域進(jìn)行巖石工程流變學(xué)的研究具有重要的價(jià)值[1-3]。巖體流變理論就是研究巖石或巖體在外力、水力、溫度、地質(zhì)特征及施工擾動(dòng)等各種環(huán)境、地質(zhì)與工程因素作用下，巖體材料及巖體結(jié)構(gòu)與時(shí)間相關(guān)的力學(xué)特性[4-6]。

于立業(yè)等[7]對(duì)高煤級(jí)原生結(jié)構(gòu)煤進(jìn)行了不同溫度及不同應(yīng)變速率流變?cè)囼?yàn)，并進(jìn)行紅外光譜檢測，探討了其流變特征與流變形態(tài)轉(zhuǎn)換條件。結(jié)果表明溫度對(duì)其脆韌性流變有影響，內(nèi)部結(jié)構(gòu)發(fā)生重大變化。沈才華等[8]基于應(yīng)變能理論，從內(nèi)能角度出發(fā)，將Perzyna黏塑性理論與西原模型相結(jié)合，采用Drucker-Prager屈服準(zhǔn)則考慮應(yīng)力狀態(tài)對(duì)加速蠕變階段的影響，建立了能預(yù)測加速蠕變并能反映蠕變?nèi)A段的簡化蠕變本構(gòu)模型。張瀧等[9]基于Rice不可逆內(nèi)變量熱力學(xué)理論對(duì)巖石蠕變與松弛的一致性問題進(jìn)行討論，通過不同約束條件建立了黏彈—黏塑性蠕變與應(yīng)力松弛本構(gòu)方程，并通過模型相似性材料蠕變?cè)囼?yàn)得以驗(yàn)證。高文華等[10]基于粉砂巖蠕變實(shí)驗(yàn)，建立了MCVISC模型，并利用FLAC3D進(jìn)行了自定義模型的開發(fā)，并對(duì)該程序進(jìn)行了驗(yàn)證，數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)曲線吻合較好。

對(duì)于巖土類材料的加速蠕變階段特性，如何進(jìn)行判斷和描述破壞機(jī)理還具有較大的爭議，往往對(duì)于加速蠕變的研究都是基于試驗(yàn)結(jié)果的擬合，或者將傳統(tǒng)的本構(gòu)模型添加新建立的元件，來判別和模擬材料的加速蠕變過程。目前國內(nèi)外學(xué)者認(rèn)為，蠕變的產(chǎn)生主要由于微裂縫的產(chǎn)生和演變[11-12]，尤其巖石蠕變過程與裂紋的擴(kuò)展密不可分。因此，筆者基于最小能耗原理研究巖石蠕變斷裂破壞的機(jī)理，建立一種基于能量耗散理論的非線性加速蠕變模型，最終結(jié)合巖石三軸蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)模型的正確性與合理性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 基于能量耗散理論的加速蠕變模型建立

基于對(duì)巖石蠕變?cè)囼?yàn)曲線特征的分析，可知巖石的蠕變變形都具有明顯的黏彈塑性行為。當(dāng)應(yīng)力小于屈服強(qiáng)度值時(shí)，巖石蠕變變形會(huì)隨著時(shí)間的發(fā)展而呈現(xiàn)出衰減態(tài)勢，并且變形最終趨于穩(wěn)定;當(dāng)應(yīng)力高于屈服強(qiáng)度值時(shí)，蠕變變形由減速蠕變過渡到等速蠕變，應(yīng)變速率近似為一定值，應(yīng)變隨時(shí)間線性增長。當(dāng)蠕變應(yīng)變達(dá)到某一值時(shí)，巖石變形便會(huì)進(jìn)入加速蠕變階段，產(chǎn)生不可逆的變形，并最終變形導(dǎo)致斷裂破壞。

一般常用西原體模型(圖1)對(duì)巖石蠕變變形進(jìn)行描述，其一維流變模型的蠕變方程為

(1)

式中，E0為彈性模量;E1為黏彈性模量;η1和η2為黏滯系數(shù);σ為總應(yīng)力;ε為總應(yīng)變;σs為長期強(qiáng)度;t為蠕變時(shí)間。

圖1 西原模型Fig.1 Nishihara model

(2)

式中，η為黏塑性黏滯系數(shù);F為巖石屈服函數(shù);{m}黏塑性流動(dòng)方向;“〈〉”是麥考利括號(hào)，括號(hào)內(nèi)的函數(shù)為分段函數(shù);{·}為向量表述形式。

其中φ(F)為F的任意函數(shù)，一般可以表示為

(3)

式中，n為參數(shù);σs1為初始屈服強(qiáng)度。

圖2 蠕變分段臨界示意Fig.2 Creeping piecewise critical sketch map

根據(jù)能耗理論[16-17]可知，耗散率是關(guān)于應(yīng)力與不可逆應(yīng)變率函數(shù)，在黏塑性變形階段耗能率γ為

(4)

假設(shè)巖石在屈服函數(shù)約束下:

(5)

式中，λ為比例常數(shù)。

結(jié)合式(3)和(5)將F的任意函數(shù)φ(F)重新定義為

(6)

在巖石加載蠕變過程中，當(dāng)耗散率值大于臨界值γ1時(shí)，蠕變就會(huì)進(jìn)入穩(wěn)定蠕變階段，假設(shè)此時(shí)產(chǎn)生的蠕變變形都是不可逆變形，故對(duì)于應(yīng)變?nèi)≈禐榕R界點(diǎn)處的蠕變變形值εγ1，故根據(jù)式(4)中將蠕變變形值求導(dǎo)得出臨界耗散率為

(7)

根據(jù)式(7)得出臨界耗散率下限值為

(8)

由于{m}在一維狀態(tài)下采用相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則時(shí)，流動(dòng)方向與塑性流動(dòng)方向一致，故取值為{m}=1，同時(shí)結(jié)合式(4)得出蠕變耗散率可表示為

(9)

聯(lián)立式(6)～(9)代入到式(2)中得到改進(jìn)后黏塑性應(yīng)變率模型為

(10)

其中，作為穩(wěn)定蠕變階段耗散率中的蠕變變形率，實(shí)質(zhì)是蠕變?cè)囼?yàn)曲線在各數(shù)據(jù)點(diǎn)的斜率，同時(shí)由文獻(xiàn)[18]可知采用對(duì)數(shù)以及多項(xiàng)式結(jié)合的經(jīng)驗(yàn)公式可以很好地巖石的蠕變變形特性，即

εt=a+blnt+ct+dtk

(11)

式中，a，b，c，d，k均為材料參數(shù)，當(dāng)處于非破壞應(yīng)力水平時(shí)k=0，此時(shí)a+d為瞬時(shí)應(yīng)變;t為蠕變時(shí)間。

將式(11)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算得到蠕變變形速率為

(12)

同時(shí)假設(shè)巖石的長期強(qiáng)度與初期屈服強(qiáng)度呈線性關(guān)系[19]，將式(12)代入到式(10)中得到

(13)

式中，σ0為初始屈服強(qiáng)度。

同時(shí)根據(jù)巖石耗散能定義可知，耗散率與臨界耗散率具有以下關(guān)系

(14)

式中，εs為長期強(qiáng)度σs所對(duì)應(yīng)的蠕變變形值。

從而應(yīng)力σ與長期強(qiáng)度σs的關(guān)系可以表示為臨界耗散率的關(guān)系，將式(13)和式(14)結(jié)合西原體，得到改進(jìn)后的黏塑性蠕變本構(gòu)模型為

(15)

而對(duì)于加速蠕變階段而言，耗散率的求解方法與穩(wěn)定蠕變階段一致，不存在由于加速蠕變各穩(wěn)定蠕變兩個(gè)蠕變階段特性的不一致，導(dǎo)致巖石黏塑性蠕變速率出現(xiàn)較大差異，其中對(duì)于巖石耗散率的求解也只需要考慮該階段的蠕變變形率。因此，通過耗散率和文中假設(shè)得出加速蠕變和穩(wěn)定蠕變臨界下限耗散率為

(16)

巖石處于加速蠕變階段時(shí)，即巖石應(yīng)力已經(jīng)處于破壞應(yīng)力水平，此時(shí)巖石的應(yīng)變速率為

(17)

將式(17)代入到式(2)中得到改進(jìn)后加速蠕變階段的黏塑性應(yīng)變率模型為

(18)

綜上所述，可以得到基于能耗理論一維狀態(tài)下，巖石的黏彈塑性本構(gòu)模型為

(19)

(20)

(21)

式中，λ1為衰減蠕變和穩(wěn)定蠕變臨界點(diǎn)處的比例常數(shù)；λ2為穩(wěn)定蠕變和加速蠕變臨界點(diǎn)處的比例常數(shù)；σ0為屈服應(yīng)力。

通常情況下，在實(shí)際的地下結(jié)構(gòu)中工程巖體都處在復(fù)雜的二向、三向受力狀態(tài)，為更好地模擬工程巖石所處的這種受力狀態(tài)，常在巖石室內(nèi)流變?cè)囼?yàn)時(shí)進(jìn)行三軸壓縮流變?cè)囼?yàn)，旨在揭示其流變力學(xué)特性，為建立適合的流變本構(gòu)模型、并為進(jìn)行工程巖體流變數(shù)值分析提供有關(guān)流變參數(shù)[20-22]。因此，建立巖石在三維應(yīng)力狀態(tài)下的蠕變本構(gòu)方程具有重要意義。

然后將一維西原體轉(zhuǎn)化為三維西原體，本文將上述基于能耗理論一維狀態(tài)下黏彈塑性本構(gòu)模型推廣到三維狀態(tài)如下,即

(22)

(23)

(24)

式中，G0為彈性體的剪切模量；K為體積模量；G1為黏彈性體的剪切模量;n為試驗(yàn)常數(shù)，通常取n=1[23]。

一般認(rèn)為在蠕變過程中，屈服函數(shù)選取連續(xù)可微的廣義Mises中的Druck-Prager屈服函數(shù)為[24]:

(25)

式中，J2為應(yīng)力偏量第二不變量。

將式(25)代入到式(22)～(24)中得到三維狀態(tài)下基于能耗理論巖石的非線性黏彈塑性本構(gòu)模型。

2 砂巖室內(nèi)試驗(yàn)

2.1 試驗(yàn)儀器

本次試驗(yàn)是在礦業(yè)學(xué)院采礦重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 MTS815.02 型三軸試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行的(圖3(a))。該試驗(yàn)機(jī)是美國 MTS 公司生產(chǎn)的專門用于巖石及混凝土實(shí)驗(yàn)的多功能電液伺服控制的剛性試驗(yàn)機(jī)，配有伺服控制的全自動(dòng)三軸加壓和測量系統(tǒng)，試驗(yàn)系統(tǒng)由加載部分、測試部分和控制部分3部分組成，具備軸壓、圍壓和孔隙水壓3套獨(dú)立的閉環(huán)伺服控制功能。該設(shè)備性能好，測試數(shù)據(jù)客觀可靠，雙均值軸向引伸計(jì)以及周向引伸計(jì)測試精度高，伺服控制方式多樣化，是目前世界上最先進(jìn)的巖石與混凝土測試系統(tǒng)。試驗(yàn)機(jī)的主要技術(shù)參數(shù):試驗(yàn)框架整體剛度為7.0 GN/m,最大軸向壓力1 600 kN，最大圍壓70 MPa，最大孔隙水壓70 MPa，滿足試驗(yàn)要求。試驗(yàn)所采用的砂巖試樣如圖3(b)所示。

圖3 試驗(yàn)儀器與試樣Fig.3 Rock mechanics test system and sandstone rock sample

2.2 常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)

首先進(jìn)行圍壓分別為0，10與15 MPa條件下的砂巖三軸常規(guī)壓縮試驗(yàn)。以500 N/s的加載速率同步施加側(cè)向壓力及軸向壓力至預(yù)定的圍壓值，使試件處于靜水壓力狀態(tài)并保持側(cè)向壓力在實(shí)驗(yàn)過程中不變，注意圍壓活塞的進(jìn)程，避免實(shí)驗(yàn)過程中圍壓的減少。設(shè)計(jì)相應(yīng)加載程序，設(shè)定位移上限值，采用位移控制方式以0.002 mm/s的加載速率施加軸向荷載，試驗(yàn)數(shù)據(jù)由試驗(yàn)機(jī)自動(dòng)采集并換算成對(duì)應(yīng)的應(yīng)變與應(yīng)力輸出到數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，采樣間隔為2 s，并繪制出砂巖應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖4所示。三軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果見表1。

表1 常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果
Table 1 Test results of conventional triaxial compression

圍壓/MPa01015峰值強(qiáng)度/MPa42.7682.05104.16軸向峰值應(yīng)變/%0.573 380.302 440.359 53徑向峰值應(yīng)變/%-0.411 03-0.232 18-0.336 07體積峰值應(yīng)變/%-0.248 68-0.161 92-0.312 62E50/GPa29.5433.5934.64

注:E50為軸向應(yīng)變等于峰值應(yīng)變50%時(shí)對(duì)應(yīng)的彈性模量。

圖4 常規(guī)三軸壓縮偏應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系Fig.4 Deviatoric stress-strain relationship of conventional triaxial compression

由圖4可知，隨著圍壓的增大，砂巖峰值強(qiáng)度增大，彈性模量增大，抵抗變形以及承受荷載的能力增大，圍壓的增大將會(huì)使得砂巖各向峰值應(yīng)變?cè)龃螅龃罅松皫r的擴(kuò)容量，使得砂巖更不容易破壞。

2.3 蠕變?cè)囼?yàn)方案

本文決定采用單體逐級(jí)增量加載進(jìn)行室內(nèi)蠕變?cè)囼?yàn)，由室內(nèi)三軸壓縮試驗(yàn)所測各圍壓條件下的最大偏應(yīng)力，來確定蠕變?cè)囼?yàn)各級(jí)應(yīng)力水平大小，為了更好地驗(yàn)證建立加速蠕變模型的合理性與適用性，本文進(jìn)行的蠕變?cè)囼?yàn)分為加載蠕變?cè)囼?yàn)(定圍壓分級(jí)增軸壓三軸蠕變?cè)囼?yàn))和卸載蠕變?cè)囼?yàn)(定軸壓分級(jí)卸圍壓三軸蠕變?cè)囼?yàn))兩種。

在設(shè)計(jì)加載蠕變?cè)囼?yàn)時(shí)，為了保證試驗(yàn)的可行性，采用分級(jí)加載的方式，對(duì)于圍壓10 MPa的試樣，起始荷載選取三軸壓縮最大偏應(yīng)力的50%，為了計(jì)算方便將起始荷載取整為40 MPa，對(duì)于圍壓15 MPa的試樣，起始荷載也選取三軸壓縮最大偏應(yīng)力的50%，為了計(jì)算方便將起始荷載取整為50 MPa，分級(jí)荷載依次均增加10 MPa，加載速率設(shè)定為500 N/s，各級(jí)荷載在變形穩(wěn)定之后，將測試進(jìn)入下一應(yīng)力水平直至破壞。卸載蠕變?cè)囼?yàn)采用分級(jí)卸載的方式，初始圍壓設(shè)定為15 MPa，圍壓卸載速率為500 N/s，每次圍壓減少5 MPa，兩組蠕變?cè)囼?yàn)軸壓分別設(shè)定為80 MPa與60 MPa，卸載蠕變?cè)囼?yàn)按照?qǐng)D5中加載速率先施加軸向荷載，在施加第1級(jí)應(yīng)力水平的穩(wěn)定之后，再施加圍壓荷載到預(yù)定值并保持恒定，測量和記錄巖石試樣的軸向應(yīng)變和時(shí)間關(guān)系，然后按照試驗(yàn)方案逐步進(jìn)行圍壓卸載。同時(shí)為保證實(shí)現(xiàn)如圖5所示的卸載路徑，必須保證在卸荷過程中軸向應(yīng)力σ1恒定，各級(jí)荷載持續(xù)時(shí)間在變形穩(wěn)定之后，試驗(yàn)進(jìn)入下一應(yīng)力水平直至破壞。

圖5 試驗(yàn)應(yīng)力路徑卸載示意Fig.5 Schematic diagram of test stress path

三軸蠕變?cè)囼?yàn)步驟與三軸常規(guī)試驗(yàn)大致相當(dāng)，僅加載方式稍有不同:設(shè)計(jì)相應(yīng)加載程序，設(shè)定位移上限值，分級(jí)增軸壓蠕變?cè)囼?yàn)時(shí)采用荷載控制方式以500 N/s的加載速率施加軸向荷載直至預(yù)定荷載，并設(shè)定荷載持續(xù)時(shí)間為25 h，同理設(shè)定后1級(jí)荷載以及持續(xù)時(shí)間，而分級(jí)卸圍壓蠕變?cè)囼?yàn)時(shí)亦按照同樣的荷載速率卸圍壓至預(yù)定值，試驗(yàn)數(shù)據(jù)由試驗(yàn)機(jī)自動(dòng)采集并換算成對(duì)應(yīng)的應(yīng)變與應(yīng)力輸出到數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，采樣間隔為5 s，并繪制出軸向應(yīng)變-時(shí)間歷時(shí)曲線。

2.4 蠕變?cè)囼?yàn)結(jié)果分析

由圖6可知，在軸向應(yīng)力水平下，試件軸向均有瞬時(shí)應(yīng)變產(chǎn)生，而后進(jìn)入衰減蠕變與穩(wěn)定蠕變階段，當(dāng)應(yīng)力水平較高時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)加速蠕變階段。對(duì)各級(jí)應(yīng)力狀況下的軸向瞬時(shí)應(yīng)變進(jìn)行分析，就會(huì)發(fā)現(xiàn)瞬時(shí)應(yīng)變的大小與應(yīng)力水平有關(guān)，應(yīng)力水平越高，瞬時(shí)應(yīng)變值也就越大，但瞬時(shí)應(yīng)變占總應(yīng)變的比例先增大后減小，這是由于加載初期巖石內(nèi)部空隙的擠壓閉合以及后期荷載作用下裂紋擴(kuò)張貫通所引起的。例如圍壓10 MPa情況下，40 MPa軸向應(yīng)力作用下的瞬時(shí)應(yīng)變?yōu)?.076 8%，占總應(yīng)變的94.2%，50 MPa軸向應(yīng)力作用下的瞬時(shí)應(yīng)變占總應(yīng)變的95.4%，70 MPa軸向應(yīng)力作用下的瞬時(shí)應(yīng)變值為0.223 2%，占總應(yīng)變的80.4%。瞬時(shí)應(yīng)變的增大不僅與荷載應(yīng)力水平有關(guān)，而且受到前期加載歷史的影響。對(duì)各級(jí)應(yīng)力狀態(tài)下的軸向蠕變變形進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)軸向蠕變變形總體上隨應(yīng)力水平的增加而增加，但蠕變變形占總變形的的比例先減小再增大，反映了試樣內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不斷損傷與劣化過程。例如圍壓15 MPa情況下，50 MPa軸向應(yīng)力作用下的蠕變變形為0.004%，占總應(yīng)變的4.4%，70 MPa軸向應(yīng)力作用下的蠕變變形占總應(yīng)變的2.5%，90 MPa軸向應(yīng)力作用下的蠕變變形為0.044%，占總應(yīng)變的14.65%，60 MPa比50 MPa軸向應(yīng)力作用下的蠕變變形量稍小，可能原因是50 MPa荷載作用下試件的變形還包含空隙的壓密帶來的軸向變形。各級(jí)應(yīng)力狀態(tài)下蠕變變形量的增大的影響因素與瞬時(shí)應(yīng)變?cè)龃蟮囊蛩匾恢隆?/p>

圖6 不同軸向應(yīng)力下軸向蠕變(加載)Fig.6 Creep of axial under different axial stress state(loading)

綜合分析瞬時(shí)應(yīng)變與蠕變變形占總變形的比例值，可以發(fā)現(xiàn)瞬時(shí)變形在總變形中占有絕對(duì)的比重，試件破壞的主要因素還是外部荷載引起的瞬時(shí)變形。

圖7 分級(jí)卸圍壓Fig 7 Unloading confining pressure

由圖7可知，以軸向60 MPa作用下砂巖卸圍壓蠕變?cè)囼?yàn)為例，在軸壓60 MPa條件下試樣共經(jīng)歷了3級(jí)圍壓，分別為15，10，5 MPa，砂巖試樣蠕變歷時(shí)為62.28 h，軸向最終破壞極限應(yīng)變?yōu)?.311 5%，大于分級(jí)增軸壓定圍壓三軸蠕變?cè)囼?yàn)軸向最終變形值，反映了卸圍壓對(duì)砂巖試樣極限變形的影響較增軸壓更大，圍壓越低，破壞時(shí)的變形量越大。通過對(duì)比分級(jí)增軸壓三軸蠕變?cè)囼?yàn)，可以發(fā)現(xiàn)分級(jí)卸圍壓引起的偏應(yīng)力增大更容易使試樣由衰減蠕變過渡到穩(wěn)定以及加速蠕變階段，卸圍壓蠕變變形更為顯著，比如圍壓10 MPa條件下的分級(jí)增軸壓試驗(yàn)破壞偏應(yīng)力為60 MPa，而軸壓60 MPa條件下的分級(jí)卸圍壓試驗(yàn)破壞偏應(yīng)力為55 MPa，且破壞時(shí)間更短。主要原因是巖樣內(nèi)部積累的能量向卸荷方向釋放，因而造成裂隙尖端拉應(yīng)力超過該點(diǎn)抗拉強(qiáng)度，從而裂紋逐漸擴(kuò)張，橫向變形逐漸增大，巖樣內(nèi)部結(jié)構(gòu)損傷加劇，最終局部喪失承載能力而失穩(wěn)破壞。在較高的圍壓(σ3= 15 MPa)作用下，各向變形呈現(xiàn)衰減蠕變形態(tài)，在中等圍壓(σ3= 10 MPa)作用下，各向變形最終呈現(xiàn)穩(wěn)定蠕變形態(tài)，在較低圍壓(σ3=5 MPa)作用下，各向變形最終呈現(xiàn)加速蠕變破壞形態(tài)。對(duì)各級(jí)圍壓作用下的各向蠕變變形進(jìn)行分析可以發(fā)現(xiàn)各向蠕變變形總體上隨圍壓的降低而增加，蠕變變形占總變形的比例隨圍壓的降低而增大，瞬時(shí)變形隨圍壓的降低而增加，但占總變形的比例隨圍壓的降低而降低。例如圍壓15 MPa情況下徑向瞬時(shí)應(yīng)變量為-0.058 63%，占總應(yīng)變的92.6%，10 MPa圍壓作用下的徑向瞬時(shí)應(yīng)變?yōu)?0.112 74%，占總應(yīng)變的76.5%，5 MPa圍壓作用下的瞬時(shí)徑向應(yīng)變值為-0.232 93%，占總應(yīng)變的64.4%。

3 模型參數(shù)識(shí)別

3.1 模型臨界參數(shù)確定

由于實(shí)驗(yàn)過程中試樣的非均勻性，各向異性以及微缺陷的存在，造成試驗(yàn)數(shù)據(jù)的震蕩，由原始試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行蠕變速率的確定勢必造成蠕變速率發(fā)展趨勢上下波動(dòng)較大，不利于對(duì)蠕變速率進(jìn)行分析，難以反映蠕變變形規(guī)律，故采用經(jīng)驗(yàn)公式(11)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)后進(jìn)行擬合，以定圍壓分級(jí)加載軸壓試驗(yàn)方案中的圍壓10 MPa為例，擬合參數(shù)見表2。

表2 定圍壓分級(jí)加載軸壓的軸向蠕變擬合參數(shù)
(σ3= 10MPa)
Table 2 Fitting parameters of axial creep under stagedloading with constant confining pressure(σ3= 10MPa)

σ1/MPa40506070a-0.404-0.371-0.3340.283b8.832×10-46.112×10-45.523×10-40.012c1.928×10-5-3.96×10-63.418×10-50.499d0.4940.5040.549-0.508k0000.982R20.9560.9920.9910.992

繪制出在不同圍壓條件下的蠕變速率與時(shí)間的規(guī)律曲線，如圖8所示，然后根據(jù)圖8得出模型曲線有關(guān)蠕變變形速率的參數(shù)。

圖8 蠕變速率(σ3= 10 MPa)Fig.8 Creep strain rate when σ3= 10 MPa

由圖8可知，當(dāng)應(yīng)力水平較低時(shí)(σ1= 40 MPa)，軸向與蠕變?nèi)渥兯俾首罱K趨于0，說明了試樣僅經(jīng)歷衰減蠕變階段;當(dāng)位于中等應(yīng)力水平時(shí)(σ1= 50，60 MPa)，軸向蠕變速率逐漸減小最終趨于一個(gè)穩(wěn)定值，說明試樣經(jīng)歷了衰減蠕變與穩(wěn)定蠕變兩個(gè)階段;當(dāng)應(yīng)力水平較高時(shí)(σ1= 70 MPa)，蠕變速率先減小趨于穩(wěn)定，而后迅速增大直至巖樣破壞，說明了試樣經(jīng)歷了蠕變3階段。

表3 臨界點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)值
Table 3 Corresponding parameters of critical point

σ1/MPa506070t1/h4.7355.0320.847t2/h——5.245ε·sγ11.192×10-41.689×10-41.273×10-4ε·sγ2——2.763×10-4

3.2 模型計(jì)算值與試驗(yàn)值對(duì)比

現(xiàn)將上述對(duì)于臨界參數(shù)的數(shù)值代入到改進(jìn)后蠕變公式(22)～(24)中，然后通過Origin基于最小二乘法(Levenberg-Marquard優(yōu)化算法)對(duì)定圍壓分級(jí)加載軸壓試驗(yàn)中的圍壓10 MPa和定軸壓分級(jí)卸圍壓試驗(yàn)中的軸壓60 MPa下的三軸蠕變?cè)囼?yàn)曲線進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)[25]，得到其模型參數(shù)見表4,5，其中相關(guān)系數(shù)均在0.95以上。同理，可以得到其他定軸壓分級(jí)卸圍壓和定圍壓分級(jí)加載軸壓條件下三軸模型計(jì)算值與試驗(yàn)值對(duì)比。

表4 定圍壓分級(jí)加載軸壓三軸蠕變模型參數(shù)(σ3=10MPa)
Table 4 Three-axis creep model parameters of axial compression loading(σ3=10MPa)

σ1/MPaG0/GPaK/GPaG1/GPaη1/(GPa·h-1)η2/(GPa·h-1)η3/(GPa·h-1)λλ1λ′λ240138.752210.314 296.244 175.188 ——————50146.966 251.561 604.906 363.527 1 012.224 —8.5222.641 ——60153.461 293.365 1 805.797 256.090 1 545.442 —7.8915.723 ——7059.680 250.373 122.514 123.307 1 301.0183 190.5217.06710.553 4.909 1.197

表5 定軸壓分級(jí)卸圍壓三軸蠕變模型參數(shù)(σ1=60MPa)
Table 5 Three-axis creep model parameters of fixed axial compression and unloading confining pressure(σ1=60MPa)

σ3/MPaG0/GPaK/GPaG1/GPaη1/(GPa·h-1)η2/(GPa·h-1)η3/(GPa·h-1)λλ1λ′λ215279.362 423.444 596.152 648.119 ——————10295.899 506.488 1 217.707 686.485 4 317.153 —7.033 10.661 ——5120.158504.096 246.679 278.768 2 247.710 5 502.7637.450 12.751 6.008 4.186

圖9 試驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算值對(duì)比Fig.9 Experimental results contrast calculated values

根據(jù)前文所建立的基于能耗理論巖石的黏彈塑性非線性蠕變方程，對(duì)圍壓10 MPa四級(jí)蠕變?cè)囼?yàn)曲線反演所獲得的參數(shù)和軸壓60 MPa三級(jí)蠕變?cè)囼?yàn)曲線反演所獲得的參數(shù)，代入改進(jìn)后蠕變損傷方程(22)～(24)中，繪制出蠕變變形與時(shí)間關(guān)系的曲線，如圖9所示。

如圖9所示，推導(dǎo)出的非線性蠕變損傷模型在圍壓為10 MPa和15 MPa(加載蠕變?cè)囼?yàn))、以及軸壓60 MPa和80 MPa(卸載蠕變?cè)囼?yàn))下都符合蠕變曲線變化規(guī)律，從以上不同圍壓、不同應(yīng)力下砂巖蠕變?cè)囼?yàn)曲線與模型曲線的對(duì)比圖中可以充分地說明，對(duì)基于能耗理論改進(jìn)傳統(tǒng)的黏塑性應(yīng)變率本構(gòu)模型的方式來反映巖石蠕變?nèi)^程變形規(guī)律是合適可行的。該模型不僅準(zhǔn)確地反映衰減和穩(wěn)定蠕變階段的蠕變特性，也克服了傳統(tǒng)西原體難以描述加速蠕變的缺點(diǎn)，總體上該模型具有更高的擬合度，對(duì)三軸蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)具有一個(gè)良好的預(yù)測分析。

4 結(jié) 論

(1)基于彈塑性理論對(duì)傳統(tǒng)西原模型進(jìn)行改進(jìn)，可以較好地描述巖土類材料的黏彈性蠕變和黏塑性蠕變特性，也為研究蠕變模型和蠕變力學(xué)特性提供一個(gè)思路。

(2)蠕變加載過程中的能耗和蠕變損傷主要來源于巖土類材料內(nèi)部的內(nèi)能變化，基于能量耗散理論和考慮蠕變速率變化構(gòu)建的巖石加速蠕變模型能更好地描述巖石黏彈塑性蠕變特性，更好地反映了巖石能量耗散與蠕變變化之間的關(guān)系，也突出了蠕變速率和蠕變應(yīng)力狀態(tài)對(duì)于加速蠕變的影響。

(3)基于能耗理論改進(jìn)傳統(tǒng)的黏塑性應(yīng)變率本構(gòu)模型，不僅準(zhǔn)確地反映衰減和穩(wěn)定蠕變階段的蠕變特性，也克服了傳統(tǒng)西原體難以描述加速蠕變的缺點(diǎn)，總體上該模型具有更高的擬合度，對(duì)三軸蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)具有一個(gè)良好的預(yù)測分析。

(4)試驗(yàn)數(shù)據(jù)與模型曲線結(jié)果良好的一致性，也說明本文通過運(yùn)用耗散率值來定義不同蠕變階段的控制閾值方法是可行的，為預(yù)測蠕變變形全過程和劃分蠕變變形各階段提供一個(gè)新的方法。