數(shù)學(xué)思想方法在高等代數(shù)教學(xué)中的滲透

陳垚 廣安職業(yè)技術(shù)學(xué)院 四川廣安 638000

前言：高等代數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的重要組成部分，也是高等院校中的基礎(chǔ)課程，是基于初高中代數(shù)科目的進(jìn)一步發(fā)展。高等代數(shù)與初高中代數(shù)知識(shí)相比存在較大差異，包括內(nèi)容差異、深度差異、觀點(diǎn)差異及方法差異，高等代數(shù)具備高度抽象性，概念繁多且理論嚴(yán)密，這就導(dǎo)致學(xué)生對(duì)高等代數(shù)產(chǎn)生一定的畏難心理，針對(duì)這種問題，就需要探討更加有效的教學(xué)方法。

一、高等數(shù)學(xué)的一般化思想

高等數(shù)學(xué)知識(shí)體系的教學(xué)活動(dòng)，教師可以針對(duì)其既有知識(shí)進(jìn)行延伸拓展，強(qiáng)化高等數(shù)學(xué)知識(shí)特點(diǎn)進(jìn)行思想理念的深入分析。高等代數(shù)具備較強(qiáng)的抽象性及聯(lián)系性，這就使得在高等代數(shù)教學(xué)中，思想方法的研究可以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)更好地理解高等代數(shù)相關(guān)知識(shí)。

我國學(xué)生在中學(xué)階段就接觸過空間向量的相關(guān)知識(shí)，高等代數(shù)相關(guān)知識(shí)的教學(xué)中，對(duì)于空間向量的研究層次進(jìn)一步提升，包含運(yùn)算法則與數(shù)學(xué)性質(zhì)，以及一些其他的數(shù)學(xué)內(nèi)容。比如高等代數(shù)中的“數(shù)乘”，而這一理念很顯然在以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中并未接觸過，但這一只是可以與“點(diǎn)乘”理念進(jìn)行對(duì)比，通過比對(duì)教學(xué)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于相關(guān)知識(shí)的理解能力。

代數(shù)中的數(shù)乘計(jì)算以向量形式為主要結(jié)果，點(diǎn)乘計(jì)算以數(shù)字形式為主要結(jié)果，二者也有不同的運(yùn)算法則。比如α?β的運(yùn)算法則，比如 α=（1,2,5,0）β=（-1,-4,0,5），則 α?β=-9，其計(jì)算結(jié)果 -9為點(diǎn)乘結(jié)果。κα為數(shù)乘法則，且 κ=-12，即κ為數(shù)，那么κα=-12（1,2,5,0）=（-12,-24,-60,0），其計(jì)算結(jié)果為向量?；谝酝鶎W(xué)習(xí)結(jié)果中對(duì)于方程信息及方程組的理解，高等代數(shù)知識(shí)可以幫助學(xué)生對(duì)更加多元及更加廣泛的知識(shí)加以理解，提高學(xué)生高等代數(shù)知識(shí)的理解能力，更好地奠定學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

二、高等數(shù)學(xué)的具象化思想

與其他知識(shí)相比，高等代數(shù)具備抽象性特征，但在高等代數(shù)教學(xué)中，通過數(shù)學(xué)思想可以實(shí)現(xiàn)抽象化知識(shí)的具象化轉(zhuǎn)化，提高學(xué)生的理解能夠能力。比如在空間運(yùn)算過程中，通過向量運(yùn)算的有效減簡化，以空間坐標(biāo)的形式進(jìn)行運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)空間向量知識(shí)的平面轉(zhuǎn)化，降低學(xué)生的理解難度，減少數(shù)學(xué)運(yùn)算步驟【1】。例如，在數(shù)學(xué)矩陣知識(shí)的簡化過程中，可引導(dǎo)學(xué)生將相關(guān)知識(shí)理解為相關(guān)方程逐步簡化與互相消元過程，也就是在逐步解析方程組所產(chǎn)生的結(jié)果，逐步實(shí)現(xiàn)抽象化向具象化的轉(zhuǎn)化，并獲取最終計(jì)算結(jié)果。

例如：求使下列二次型實(shí)現(xiàn)正定的數(shù)值。

解析：要想對(duì)上式正定加以證明，需基于數(shù)學(xué)定義進(jìn)行抽象化的二次型轉(zhuǎn)化，使其與對(duì)應(yīng)矩陣的正定，對(duì)抽象化二次型轉(zhuǎn)化為相對(duì)具象化的對(duì)稱矩陣，對(duì)簡化之后的矩陣進(jìn)行求解。

實(shí)際上，對(duì)于矩陣而言，其順序主子式大于0，這是其實(shí)二次型正定的等價(jià)條件：的情況下，二次型實(shí)現(xiàn)正定，經(jīng)過解析可以確定方程組為，經(jīng)過一系列解析，最終原二次型正定的條件為-1

基于此，可以確定的是，抽象性思維應(yīng)當(dāng)作為高等代數(shù)教育教學(xué)過程中著重培養(yǎng)的思維模式，通過抽象性思維，可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵與本質(zhì)，簡化復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)，確保數(shù)學(xué)知識(shí)的解析能夠有跡可尋。

三、高等數(shù)學(xué)的公理化思想

在高等代數(shù)課程教學(xué)活動(dòng)的開展，涵蓋許多數(shù)學(xué)定理等相關(guān)知識(shí)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)原理的證明效果，將其作為高等代數(shù)的解決基礎(chǔ)。在實(shí)際證明過程中，應(yīng)當(dāng)將已知條件中發(fā)掘潛在信息，并將其與知識(shí)定理進(jìn)行樹立，以更好地獲取正確數(shù)學(xué)結(jié)果，公理化思想方法的應(yīng)用，是一種更加系統(tǒng)的數(shù)學(xué)演繹方法，需要不斷加以實(shí)踐及探索，從而在實(shí)際的高等代教學(xué)過程中，公理化方法可以幫助學(xué)生更好地整理數(shù)學(xué)知識(shí)，幫助學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)向更高層次及更高水平發(fā)展與提升。公理化思想在高等代數(shù)中的應(yīng)用，實(shí)際上就是將高等代數(shù)相關(guān)內(nèi)容歸納于相同標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中，對(duì)其相關(guān)運(yùn)算等相關(guān)內(nèi)容加以討論。

公理化思想在高等代數(shù)中的應(yīng)用，是通過系列化的分析與整體性的整合，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)采用更加科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言串聯(lián)數(shù)學(xué)邏輯，提高學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)的理解與串聯(lián)，便于學(xué)生更好地理解高等代數(shù)知識(shí)的內(nèi)涵，強(qiáng)化學(xué)生的自我總結(jié)能力，提高學(xué)生對(duì)于高等代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣與積極性。

除公理化思想以外，普遍聯(lián)系在高等代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用也可取得較好的學(xué)習(xí)效果，要求在教學(xué)中幫助學(xué)生將既有知識(shí)與當(dāng)前所學(xué)相互聯(lián)結(jié)，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)的融匯貫通。數(shù)學(xué)這門學(xué)科中，高等代數(shù)可以更好地應(yīng)用于實(shí)際問題的解決，通過高等代數(shù)知識(shí)的鞏固與深化，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。高等代數(shù)采取辯證理念進(jìn)行學(xué)習(xí)，通過辯證法對(duì)相關(guān)問題加以解決，明確問題數(shù)學(xué)問題的現(xiàn)象與本質(zhì)，簡化代數(shù)題目的計(jì)算過程，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題的簡單化調(diào)整，提高學(xué)生對(duì)于高等代數(shù)相關(guān)問題的解析能力【2】。

結(jié)語：

在高等代數(shù)教學(xué)過程中，教師需要充分運(yùn)用數(shù)學(xué)思想開展教育教學(xué)活動(dòng)，會(huì)將抽象化的代數(shù)知識(shí)轉(zhuǎn)化為具象化的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過一般化思想、具象化思想及公理化思想開展高等代數(shù)的教學(xué)活動(dòng)，提高高等代數(shù)教學(xué)的有效性及科學(xué)性。