一道推理證明題的多解探究

王青楠

中圖分類號(hào)：G634.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-1578（2019）01-02002-01

在學(xué)習(xí)推理與證明一節(jié)內(nèi)容時(shí)，筆者對(duì)一道填空題進(jìn)行了多解探究，并將結(jié)論進(jìn)行了推廣。現(xiàn)整理成文，與大家分享。

題目：若a，b，c是RtΔABC的三條邊，其中c為斜邊，則aⁿ+bⁿ與cⁿ（n>2，n∈N）的大小關(guān)系為。

解法1：（構(gòu)造冪函數(shù)法）

在RtΔABC中，a²+b²=c²，且a2，n∈N時(shí)，，所以

點(diǎn)評(píng)：本解法利用了同向不等式的可加性，將aⁿ+bⁿ傳遞到cⁿ，其中不等式a^n-2n-2和b^n-2n-2利用了冪函數(shù)y=x⁰的單調(diào)性。另外本題中并沒有利用到n∈N這一條件，這說明命題對(duì)n>2，n∈R也成立，所以我們可以得到推論1。

推論1：若a，b，c是Rt△ABC的三條邊，其中c為斜邊，則有aⁿ+bⁿn（n>2，n∈R）成立。

解法2：（構(gòu)造指數(shù)函數(shù)法）

在RtΔABC中，a²+b²=c²，且a

點(diǎn)評(píng)：本解法同樣利用了同向不等式的可加性，只不過后面用到了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。

解法3：（解直角三角形，邊角轉(zhuǎn)換法）

在RtΔABC中，a=csin A，b=ccos A，則aⁿ+bⁿ=cⁿsinⁿA+cⁿcosⁿA=cⁿ（sinⁿA+cosⁿA），因?yàn)榻茿為銳角，所以sinA∈（0，1），當(dāng)n>2，n∈N時(shí)，則sinⁿA2A，cosⁿA2A，所以cⁿ（sinⁿA+cosⁿA）n（sin²A+cos²A）=cⁿ，從而有aⁿ+bⁿn。

點(diǎn)評(píng)：解三角形的本質(zhì)是將三角形的邊與角進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化。本解法巧妙地運(yùn)用a=csin A，b=ccos A，將問題轉(zhuǎn)化為比較sinⁿA與sinⁿA，cosⁿA與cos²A的大小，從而利用三角恒等式sin²A+cos²A=1解決問題。

解法4：（二項(xiàng)式定理法）

在RtΔABC中，a2+b²=c²，所以

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k，且k∈N*，則cⁿ=（2²+b²）k>a²k+b²k=aⁿ+bⁿ;

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k+1且k∈N*，則

綜上，對(duì)任意n>2，n∈N，都有aⁿ+bⁿn。

點(diǎn)評(píng)：不等式可由二項(xiàng)式定理推導(dǎo)證明。考慮到在鈍角三角形ABC中，若C為鈍角，且a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，有a²+b²2成立，可以得到推論2a

推論2：在鈍角三角形ABC中，若C為鈍角，且a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，則有aⁿ+bⁿn，n2。（證明留給讀者思考）

在學(xué)習(xí)類比推理時(shí)，曾經(jīng)將勾股定理推廣到直四面體S-ABC中，過頂點(diǎn)S的三條棱兩兩垂直，則。聯(lián)想此結(jié)論可得到推論3。

推論3：對(duì)于n個(gè)正數(shù)a₁，a₂，a₃，…，a_n均小于c，（證明留給讀者思考）

美國著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說：“當(dāng)你找到第一個(gè)蘑菇或做出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，它們總是成群生長的。”總之，在平時(shí)解題時(shí)我們不能僅僅滿足于得出答案，而應(yīng)該從不同視角去思考問題，甚至可以將問題進(jìn)行一般化推廣，往往會(huì)有橫看成嶺側(cè)成峰的效果，一題多解其樂融融。