一般代數方程歷史及其數學思想評述

何小琴

摘 要：本文主要講述了一般代數方程從古至今的歷史及其發展，以及對代數方程解法的數學思想，另外介紹了歷史上一些偉大的數學家，包括Lagrange，伽羅瓦，魯菲尼，高斯等，以及相應的數學思想置換，劃歸等數學思想的發展，并對代數方程的求解歷史進行探究，從一元一次，一元二次到后來的一元五次及五次以上方程解的發展。

關鍵詞：代數方程;發展歷史;Lagrange;伽羅瓦;預解式

一、一般代數方程的發展歷史

古代時期對方程理論已經有所發現，對方程思想的記錄也有很多，其中比較古老且富有價值的便是1899年在河南發掘的殷商文字，即甲骨文，就有計數符號流傳，除此之外，還有鐘鼎文或叫金文。其實，方程在古老的春秋戰國時期就已經有符號的記錄，關于方程、開方等在著名的《九章算術》中有詳細的記載。雖然對于方程的起源的具體時間難以探索，但我們仍能找到古代對方程的記載，對方程的發展能帶來很大的幫助。

在秦漢時期，方程思想開始了最初的發展階段;在魏晉時期，方程思想快速發展;在宋元時期，方程思想發展達到高峰期，這些發展階段都是以《九章算術》為基礎，通過對《九章算術》的修改和整理，使得方程論不斷發展，由于《九章算術》經過修訂后仍存在許多弊端，在此基礎上，劉徽注了《九章算術注》并對方程的解法提出了更簡單的方法，他提出直除法，是古代解方程最簡單也是最早的方法。

到公元1000年左右，一元一次和一元二次方程的解法大多數人都可以很好的掌握，而一元三次、一元四次代數方程的求解則相對復雜，最早出現三次方程都是通過查表法解決，最早公開發表三次方程的求解方法、求根公式和幾何驗證其解法的是卡爾達諾，在卡爾達諾的《大法》中也包括了費拉里求解四次方程的方法。

在代數方程的求解發展過程中，有很多數學家都做出過貢獻，其中較突出的一位是法國的Lagrange，他使代數方程的求解發生了巨大的變化，他指出解原方程的輔助方程是非常重要的一步，因此在解四次方程的時候，如果一個三次的輔助方程能預解出，那么就可解原四次方程，原方程的解可以通過解輔助方程來順利得到，這就是用置換的思想進行代數方程的求解，這是偉大的數學家Lagrange提出的，預解式的概念也由此提出來。

許多的代數學家都被Lagrange對于方程求解的理論影響，這為他們研究代數方程的求解做了很多鋪墊，是代數方程發展的基石，從而讓代數方程更好地發展起來，比如著名的數學家高斯，另外還有魯菲尼對于高次方程沒有根式解發表多篇文章.Lagrange只是提出了求解理論，但并沒有取得任意次方程的解，而五次代數方程是沒有一般解的，這是由數學家魯菲尼提出來的，這是他通過分析證明得到的，魯菲尼的宣告的可靠性遭到了很多數學家的質疑，一般根式解是否不能存在于五次代數方程中，大家對代數方程求解的思考正是由于這些數學家而被推動了，去解五次及五次以上的方程不再是數學家們一味研究的事情了，而是去思考代數方程的解是否存在的問題，他是在吸收了Lagrange的大量工作后，得出來的一系列的結論，所以在前人的基礎上進行研究能幫助數學更好地發展。

二、一般代數方程數學思想及其評述

在三次、四次代數方程可求解之后，數學家們就開始了更高次的代數方程的求解，在提出高次方程的根式求解之后，數學家們都致力于求高次方程的根式解，而并沒有思考這種方程是否有根式解，所以他們對于五次方程的求解都失敗了，直到后來，偉大的數學家Lagrange把置換的概念引進了代數方程的求解，置換的概念對代數方程的根式解問題非常重要.[6]

在Lagrange的影響下，高斯給出了特殊方程分圓方程的根式解，雖然他們的結論受到了很多人的否定，但是也推進了代數方程求解的發展，置換思想在魯菲尼的證明中起著非常重要的作用，但他的證明并不完整，直到阿貝爾做了一些新的證明，并得到了阿貝爾定理，阿貝爾的工作是對魯菲尼的工作的修正和補充，這種重要的思想用在了他對高次方程的根式解證明中，收到了很好的效果，繼承了Lagrange轉化的思想后又有了伽羅瓦理論，把預解式的構成同置換群聯系起來，突破了前人的傳統，在觀念上發生了根本的變化。

轉化和劃歸的思想就是將問題由難化易，從而使問題簡單化，便于我們求解，在代數方程的研究中，轉化和劃歸的思想無處不在，劃歸即是一種重要的數學思想，也是一種重要的思維方式，代數方程涉及的知識點較多，最重要、最基本的數學方法之一就包含了劃歸思想方法，它對于揭示聯系、實現轉化很重要，并達到問題的規范化，常將不熟悉和難解決的問題轉化為易知的問題，將抽象的問題轉化為具體直觀的問題，從而將實際問題轉化為數學問題。

三、結束語

本文主要研究的是一般代數方程的歷史及其部分數學思想，首先運用文獻發，對一般代數方程理論的發展進行了梳理，然后對一般代數方程的歷史進行數學家在解代數方程中的數學思想進行了相關的說明，最后針對代數方程在數學中的重要性進行介紹，認識到一般代數方程的數學思想在實際的解題中的廣泛運用，并且介紹了不同歷史時期偉大的數學家對一般代數方稱求解過程中做出的貢獻。

通過本次課題研究，對課程相關資料的收集調查，加強了我的學習知識，拓展了代數方程數學思想在數學領域中的應用，使得更容易把實際問題轉化為數學問題，并易于把理論知識靈活地運用到實際問題的解決中，提高自己解決問題的能力，為今后的工作和學習打下了堅實的基礎。

參考文獻：

[1]楊文杉.談中國方程式理論的發展史[M].中教研究2017.3.

[2]趙增遜.數系發展對代數方程的影響[M].陜西：陜西鐵路工程職業技術學院2011.11.

[3]李文林.數學史概論（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2000：1-31，74-75，126-130.